azar

GUERRA DE CACAS

La manera más divertida y extraña de encontrar un fósil probablemente fue ésta. Un tarde de 1976, un grupo de paleontólogos pasaba el rato jugando al típico juego al que todos nos entregaríamos sin dudarlo… eh…. lanzarse boñigas de elefante unos a otros.

Entre tanto lanzamiento apestoso, entre risas y chirigotas paleontológicas, hallaron por casualidad unas huellas. Las huellas fósiles de Laetoli, hechas por unos homínidos hace 3,7 millones de años. Líneas de huellas de homínidos, descubiertas en 1976-1977 por Mary Leakey, Richard Hay y su equipo, preservadas en ceniza de una erupción del volcán Sadiman.

La importancia de estas huellas es que demuestran que esos homínidos caminaban erectos habitualmente. Los pies no tienen el dedo gordo móvil como los simios, en cambio tienen un arco típico de los humanos modernos.

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Hace un par de días presentábamos un pequeño enigma conocido como la Paradoja de San Petersburgo. Se trata de un juego de azar cuyo valor esperado es infinito, y por tanto, el precio justo por jugar también debería ser infinito, a pesar de que eso atenta contra la intuición y el sentido común. ¿Dónde está el fallo o la trampa? como ya dijimos en el post original, el resultado matemático es perfectamente correcto. Sin embargo, se nos escapa algo.

En los comentarios se han aportado ideas y puntos de vista muy interesantes. A mi juicio, de entre todos ellos, la reflexión más interesante es la de aquellos que piensan que el valor esperado “real” del juego se reduce porque el número de veces que podemos jugar no puede ser infinito, sino que está físicamente limitado. Pero aun así, el valor esperado del juego sigue siendo demasiado grande como para que el precio justo sea razonable (por ejemplo si tuviésemos un tope de mil tiradas, el valor esperado sería de 500 €, pero la probabilidad de que lleguemos a superar las cinco o seis caras seguidas sigue siendo igual de remota).

La solución a enigma llegó en 1738 precisamente de la mano de Daniel Bernoulli, sobrino de Nicholas Bernoulli (quien propuso la paradoja), aunque Gabriel Cramer ya había adelantado el resultado años antes. La clave está en la pista que ya dimos en el planteamiento original: el valor del dinero no es el mismo para los matemáticos que para el común de los mortales.

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Hoy os proponemos un pequeño reto relacionado con una de las ramas más interesantes de la Economía (sobre todo para los que procedemos del mundo de las ciencias y las ingenierías), que es el estudio de la elección con incertidumbre. Se trata de añadir la teoría de la probabilidad a los modelos económicos habituales y estudiar los juegos de azar y las loterías (un concepto que en el fondo es aplicable a cualquier situación de la vida real ya que el resultado de nuestras elecciones habitualmente depende de factores aleatorios externos).

Partimos del valor esperado de un juego de azar. Esto no es más que la ganancia promedio que obtendremos al jugar a dicho juego. Por ejemplo, supongamos un juego en el cual recibimos siete euros si al lanzar un dado sacamos un 6, y un euro si sacamos cualquier otro número. Hay 1/6 de probabilidades de obtener siete euros, y 5/6 de obtener un euro. Por tanto, el valor esperado de este juego será de 1/6 · 7 + 5/6 · 1 = 2. Es decir, si jugamos muchas veces, acabaremos obteniendo en promedio unos dos euros por tirada.

Desde un punto de vista matemático, parece claro que un juego es “justo” si el precio que pagamos es igual al valor esperado. Si pagamos dos euros cada vez que jugamos, nadie nos está estafando ni sacando beneficios extraordinarios. La banca no ganaría dinero cobrando dos euros por tirada, ya que en promedio pagaría dos euros por tirada. Este razonamiento parece abrumadoramente lógico. Y sin embargo, hace unos 300 años, Nicholas Bernoulli le encontró una grieta importante, reflejada en la paradoja de San Petersburgo.

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Continuamos hablando de números primos. En el post anterior vimos su carácter aleatorio. Aparecen aquí y allá sin que alguien pueda predecir dónde. No hay una fórmula conocida que nos devuelva siempre números primos, y de hecho, se debe verificar computacionalmente si los posibles ‘candidatos’ a número primo realmente lo son.

Sin embargo, hay ciertos números primos que siguen determinadas fórmulas matemáticas. (Ojo, esto no quiere decir que todos los números que siguen dichas fórmulas sean necesariamente primos). En algunas ocasiones, esto implica curiosas propiedades matemáticas, como veremos a continuación.

Primos de Mersenne

Un número de Mersenne es de forma N = 2^p – 1, donde p es primo. No todos los números de Mersenne son primos, de hecho, sólo se conocen 47 primos de Mersenne. Sucede algo interesante: los nueve mayores números primos que se conocen son de Mersenne. ¿Por qué?

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Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de los que les quiero convencer de una forma tan contundente que quede grabada en sus corazones. El primero es que [...] los números primos crecen como malas hierbas entre los números naturales, aparentemente sin obedecer ninguna ley a parte del azar, y nadie puede predecir dónde florecerá el siguiente. El segundo hecho es todavía más sorprendente, ya que implica exactamente lo contrario: los números primos muestran una asombrosa regularidad, hay leyes que gobiernan su comportamiento y que ellos obedecen con precisión casi militar.

Don Zagier.

El estudio de los números primos es uno de los campos que más ha apasionado a los grandes matemáticos de la Historia. De caracter aparentemente impredecible, lo cierto es que los primos obedecen muchas leyes y aparecen en muchos teoremas matemáticos. Sin embargo, sólo con los ordenadores más potentes del mundo se puede seguir prediciendo qué números son primos y cuáles son compuestos.

Euclides enunció hace más de dos milenios el teorema que lleva su nombre y que establece que hay infinitos números primos. La prueba del Teorema de Euclides es muy sencilla:

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