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La paradoja de San Petersburgo

La paradoja de San Petersburgo
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Hoy os proponemos un pequeño reto relacionado con una de las ramas más interesantes de la Economía (sobre todo para los que procedemos del mundo de las ciencias y las ingenierías), que es el estudio de la elección con incertidumbre. Se trata de añadir la teoría de la probabilidad a los modelos económicos habituales y estudiar los juegos de azar y las loterías (un concepto que en el fondo es aplicable a cualquier situación de la vida real ya que el resultado de nuestras elecciones habitualmente depende de factores aleatorios externos).

Partimos del valor esperado de un juego de azar. Esto no es más que la ganancia promedio que obtendremos al jugar a dicho juego. Por ejemplo, supongamos un juego en el cual recibimos siete euros si al lanzar un dado sacamos un 6, y un euro si sacamos cualquier otro número. Hay 1/6 de probabilidades de obtener siete euros, y 5/6 de obtener un euro. Por tanto, el valor esperado de este juego será de 1/6 · 7 + 5/6 · 1 = 2. Es decir, si jugamos muchas veces, acabaremos obteniendo en promedio unos dos euros por tirada.

Desde un punto de vista matemático, parece claro que un juego es "justo" si el precio que pagamos es igual al valor esperado. Si pagamos dos euros cada vez que jugamos, nadie nos está estafando ni sacando beneficios extraordinarios. La banca no ganaría dinero cobrando dos euros por tirada, ya que en promedio pagaría dos euros por tirada. Este razonamiento parece abrumadoramente lógico. Y sin embargo, hace unos 300 años, Nicholas Bernoulli le encontró una grieta importante, reflejada en la paradoja de San Petersburgo.

Bernoulli se planteó el siguiente reto: supongamos un juego que consiste en lanzar una moneda al aire y conseguir el máximo número posible de caras seguidas, hasta que sale una cruz y se deja de jugar. Cada vez que sale una nueva cara se duplica el premio, hasta que salga una cruz y entonces el jugador se lleva toda la ganancia acumulada.

Es decir, si la primera tirada es cruz, no se gana nada; si la primera es cara y la siguiente cruz, se ganan dos euros; si saliesen dos caras y una cruz, se ganan cuatro, y así sucesivamente. Por ejemplo, si hubiese alguien tan afortunado como para sacar diez caras seguidas antes de obtener una cruz, ganaría 210 euros, o sea, 1024 euros.

¿Cuál es el valor esperado de este juego? Veamos, la posibilidad de sacar una cara es de 1/2 y tiene un premio de 2 euros; la de sacar dos caras es de (1/2)·(1/2) y el premio es de 4 euros; la de sacar tres caras es de (1/2)·(1/2)·(1/2) y se ganarían 8 euros... es fácil de ver que el valor esperado es 2/2 + 22/22 + 23/23 + ... = 1 + 1 + 1 + 1 + ... ¡hasta el infinito!

Actualización: en el párrafo anterior, en realidad las probabilidades son correctas si consideramos que la primera tirada no es cruz. Estrictamente, habría que dividir todas las probabilidades dadas por 2, así la probabilidad de sacar una cara sería en realidad 1/4 (cara en la primera, cruz en la segunda y se liquida el premio). Pero no afecta para nada a nuestro razonamiento: ¡la mitad de infinito sigue siendo igual de infinito!)

La paradoja resulta en que tenemos un juego de azar cuyo valor esperado es infinito. Y sin embargo, resulta absurdo pensar que "infinito" pueda ser un precio justo para jugar. De hecho, si hiciésemos una encuesta, es probable que poca gente estuviese dispuesta a participar pagando más de cinco o seis euros. Parece que nuestro razonamiento inicial sobre el "precio justo" de los juegos de azar tiene algún tipo de fallo importante. Pero, ¿cuál?

La solución, próximamente, mientras tanto os invitamos a devanaros un poco los sesos (nada de buscar en Wikipedia y publicar el resultado ;)). Una pista: el dinero no vale lo mismo para los matemáticos que para el común de los mortales.

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