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La paradoja de San Petersburgo: la solución

La paradoja de San Petersburgo: la solución
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Hace un par de días presentábamos un pequeño enigma conocido como la Paradoja de San Petersburgo. Se trata de un juego de azar cuyo valor esperado es infinito, y por tanto, el precio justo por jugar también debería ser infinito, a pesar de que eso atenta contra la intuición y el sentido común. ¿Dónde está el fallo o la trampa? como ya dijimos en el post original, el resultado matemático es perfectamente correcto. Sin embargo, se nos escapa algo.

En los comentarios se han aportado ideas y puntos de vista muy interesantes. A mi juicio, de entre todos ellos, la reflexión más interesante es la de aquellos que piensan que el valor esperado "real" del juego se reduce porque el número de veces que podemos jugar no puede ser infinito, sino que está físicamente limitado. Pero aun así, el valor esperado del juego sigue siendo demasiado grande como para que el precio justo sea razonable (por ejemplo si tuviésemos un tope de mil tiradas, el valor esperado sería de 500 €, pero la probabilidad de que lleguemos a superar las cinco o seis caras seguidas sigue siendo igual de remota).

La solución a enigma llegó en 1738 precisamente de la mano de Daniel Bernoulli, sobrino de Nicholas Bernoulli (quien propuso la paradoja), aunque Gabriel Cramer ya había adelantado el resultado años antes. La clave está en la pista que ya dimos en el planteamiento original: el valor del dinero no es el mismo para los matemáticos que para el común de los mortales.

De hecho, en su "Nueva Teoría de Medición de la Suerte", Daniel Bernoulli afirma lo siguiente:

Los matemáticos, en su teoría, valoran el dinero en proporción a la cantidad del mismo; la gente con sentido común, en la práctica, lo valora en proporción a la utilidad que puede obtener de él.

La función de utilidad (u(x)) es el truco que los economistas usan para poder representar matemáticamente las preferencias de los agentes económicos, y en el caso de una persona racional, aunque es siempre creciente, crece de forma cóncava (es decir, crece cada vez más despacio). El sentido común apoya esta intuición. El valor "real" de 100 euros para alguien que tiene cero es muchísimo (ya que es una cuestión de supervivencia), pero para alguien que ya tiene un millón de euros, es ínfimo. Dicho de otra forma, la utilidad marginal del dinero es decreciente.

Por lo tanto, no hay que medir el valor esperado del juego, sino la utilidad esperada (que llamaremos U). Repasando las fórmulas del otro post, nos daríamos cuenta rápidamente de que dicha utilidad es U = (1/4)·u(2) + (1/8)·u(4) + (1/16)·u(8) + ... = Σ[u(2n)/2n+1], donde u(x) representa la utilidad de percibir x euros.

Pero ¿qué pinta tiene la función u(x)? en realidad, es imposible medir numéricamente la satisfacción obtenida, y de hecho, cada consumidor tendrá su propia función de utilidad (por ejemplo, un amante del riesgo percibirá en el juego una utilidad esperada mayor que una persona muy conservadora). Lo que hicieron Cramer y Bernoulli fue probar con funciones que respondiesen a las características que debe tener una función de utilidad: creciente, cóncava y nula en el origen (la utilidad que produce de tener cero euros también es cero).

En concreto, Cramer probó con la función √x. Desarrollando la expresión, veríamos que U = Σ[2n/2/2n+1] = Σ[2-(n/2)-1]. Si realizamos la suma de infinitos términos (que no tiene mayor problema, porque es geométrica y convergente), resulta que la utilidad esperada del juego es 1,207.

Pero la utilidad es √x, y a nosotros lo que nos interesa es x (que representa el dinero). De modo que √x = 1,207 ⟶ x = 1,457 €. ¡Nuestro precio justo ha pasado de infinito a poco menos de un euro y medio! En realidad, no es disparatado, ya que al fin y al cabo tenemos un 50% de posibilidades de perder el dinero invertido.

Bernoulli hizo sus ejemplos con la función logaritmo. Si tomamos la función log(x+1) (añadiendo el +1 para que la función sea nula en el origen) y repetimos la operación, tendríamos U = Σ[log(2n+1)/2n+1]. Esta serie también converge, y el resultado numérico sería U = 0,832, y como u = log(x+1) sacaríamos x = 1,298 €, todavía menos en el caso anterior.

Como hemos comentado, la elección de la función de utilidad es subjetiva. Estos dos ejemplos corresponderían a personas muy conservadoras, aversas al riesgo. El hecho de que tengamos 50% de posibilidades de perder todo el dinero reduce drásticamente la utilidad esperada del juego. Si hiciésemos una pequeña modificación en el juego de forma que los que sacan cruz a la primera tirada no se fuesen con las manos vacías sino que recibiesen un euro y calculamos de nuevo, veríamos que con la fórmula de Cramer pasaríamos a x = 2,914 €: eliminando el riesgo de volver de vacío, estaríamos dispuestos a duplicar la inversión.

También podríamos analizar otras funciones de utilidad menos conservadoras, que sigan cumpliendo las propiedades. Por ejemplo, alguien más amante del riesgo con una función de utilidad u = x2/3 estaría dispuesto a pagar 2,668 € por jugar incluso con el 50% de probabilidades de no ganar nada. Pero en cualquier caso, la cuestión es que aunque el valor esperado del juego sea infinito, la utilidad esperada no lo es, y una persona racional, por muy amante del riesgo que sea, no pagaría un precio muy elevado por jugar (sería de hecho casi imposible encontrar a nadie dispuesto a pagar más de 10 €).

En mi opinión, este tipo de cosas son lo más interesante de la Economía: utilizar las matemáticas para representar conceptos tan subjetivos como la aversión al riesgo. Claro que evidentemente los modelos son modelos, y muchas veces (como estamos viendo con la crisis) fallan estrepitosamente.

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