números

Para muchos, a lo largo de la historia, el número más importante ha sido el 12. Incluso por encima del 10. Hasta existen organizaciones formadas para proteger el 12. Pero ¿qué tiene el número 12 de especial en una sociedad construida alrededor de la base 10? ¿Duodecimal o decimal?

El 12 ha estado ligado durante miles de años a la medición del tiempo. Relojes y calendarios se organizan en base 12. 12 meses. 24 horas. División de la hora en 5 × 12 minutos. Y del minuto en 5 × 12 segundos. La graduación usual de la circunferencia es también 360º = 12 × 30º.

A pesar de que el sistema de numeración de base 10 no tardó en imponerse sobre el 12, lo cierto es que se conservó en algunas áreas, como en los pesos, longitudes o capacidades, porque el 12, a diferencia del 10, permite las operaciones de dividir por mitades o por terceras partes. Si una vara de medir se divide en 12 partes, quedan marcadas en la vara las fracciones ¼, ½, ¾, 1/3, 2/3.

Por esa razón, muchas personas han intentado proteger al 12 de diversas maneras. Platón, por ejemplo, era un ferviente admirador de este número. Y Herbert Spencer o H. G. Wells. O el escritor norteamericano F. Emerson Andrews, que fundó The Duodecimal Society el 5 de abril de 1944 con el propósito de

dirigir investigación y educación pública en la ciencia matemática, con especial dedicación al uso de la Base Doce de numeración, en matemáticas, pesos y medidas.

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Algunas personas no dan ningún crédito a las estadísticas. Pero lo cierto es que las estadísticas pueden ser una forma muy aproximada de conocer la realidad y evaluarla. El problema es que las estadísticas también son fácilmente manipulables o pueden presentar errores muy comunes de forma.

Los tres errores más frecuentes en una estadística mal hecha son:

-No hacer advertencias sobre la fuente de los números.

-Aplicar datos recogidos en un contexto a otro diferente.

-Extraer de forma simplista conclusiones injustificadas basándose en los números.

Un ejemplo en el que se cometen los tres errores simultáneamente lo encontramos en las declaraciones de Mark Easton, corresponsal de asuntos interiores de la BBC, en uno de los principales informativos de Reino Unido:

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Se encuentran en un bar un inglés, un chino y un español. No, no es el principio de un chiste. Es un experimento para demostrar cuán influyente es una lengua en nuestra arquitectura mental y nuestras capacidades y costumbres.

Y también en nuestras habilidades con la asignatura de matemáticas.

Imaginad que le pedimos al chino y al inglés que lean en voz alta esta serie de números: 4, 8, 5, 3, 9, 7, 6. Y que luego aparten la vista y se pasen 20 segundos memorizando al secuencia antes de repetirla en voz alta otra vez.

El resultado es sorprendente. El angloparlante tendría el 50 % de probabilidades de recordar la secuencia perfectamente. Pero el chino se acercara al 100 %. La razón de ello es que el cerebro humano almacena dígitos en un lapso de memoria que dura unos 2 segundos.

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Llevábamos mucho tiempo sin un nuevo post en la serie sobre números primos, pero hoy por fin acaba la espera. En entregas anteriores hemos hablado fundamentalmente de distintos tipos de números primos y conjeturas que hablan sobre ellos. Hoy daremos una pequeña vuelta de tuerca y jugaremos un poco con los números primos y los números complejos. En concreto, hablaremos de los primos gaussianos.

Como sabemos, los números complejos son del tipo x + yi, donde x (la “parte real”) e y (la “parte imaginaria”) son números reales, mientras que i es la llamada “unidad imaginaria”, es decir, la raíz cuadrada de -1. Todas las ecuaciones algebraicas tienen solución en los números complejos, cosa que no siempre sucede con los reales (por ejemplo, la ecuación x² = -1 no tiene solución real, pero tiene dos soluciones complejas: i y -i).

Los enteros de Gauss (o gaussianos) son un subconjunto particular de los complejos, donde tanto x como y son enteros. Por ejemplo, 5 + 3i es un entero de Gauss. Por simplificar, llamaremos Z a dicho conjunto. Los “elementos primos” de Z son todos aquellos que no se puedan factorizar (descomponer) en otros elementos de Z. Se les llama también primos gaussianos, pero no debéis confundiros con la terminología. Los llamados primos gaussianos no son (necesariamente) números primos (ya que los números primos son números naturales). Para evitar dudas, los seguiremos denominando elementos primos de Z.

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En la anterior entrega hablamos de los estudios de Cantor sobre el infinito. Según su teoría, si un conjunto se puede poner en correspondencia uno a uno con los números naturales (enteros positivos), tiene los mismos elementos que el conjunto de los naturales.

Hasta aquí nada extraño, de no ser porque Cantor demostró con facilidad que, al contrario de lo que dice la intuición, esto implica que los números enteros (que incluyen además los negativos) y los racionales (que incluyen las fracciones) son exactamente tantos como los naturales. A esta cantidad (infinita) se le bautizó como ℵ₀. Teniendo en cuenta que puede haber infinitos “más grandes” que otros, en realidad, ¿qué sentido tiene decir que son infinitos? Por esta razón, se acuñó el término de números transfinitos.

La cardinalidad del continuo

Aunque los conjuntos de los números racionales y de los números reales son infinitos, hay más números reales que números racionales (es decir, la cardinalidad de los reales es mayor que la de los racionales). Los números reales corresponden a todos los números con decimales, incluyendo a aquellos que no proceden de una fracción (y por tanto tienen infinitos decimales en una sucesión no periódica), como pueda ser el número π, sin ir más lejos. A conjunto de los números reales se le llama, en este contexto, ‘el continuo‘.

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En el reciente post sobre el Teorema de los Infinitos Monos se vio una demostración práctica de que infinito no es una cantidad muy grande, sino que infinito es infinito, y por ello muchas veces no podemos tratarlo como una cantidad ‘normal’. Por eso mismo, tiene propiedades muy interesantes, y que a veces desafían nuestros razonamientos lógicos.

Por ejemplo, aunque infinito sea mayor que cualquier cantidad “real” imaginable, resulta que hay infinitos más grandes que otros. Y sin embargo, esa no es la propiedad más sorprendente de los infinitos. Desde la antigüedad clásica, se asume que la parte no puede ser tan grande como el todo como un dogma filosófico. Pues la teoría de los infinitos demuestra que no.

El responsable de estas chocantes conclusiones es el matemático alemán (aunque nacido en Rusia) Georg Cantor. Los resultados que obtuvo atentaban de tal forma a las convenciones que fue tachado de loco por sus coetáneos. No sólo eso, sino que además comenzó a sufrir crisis nerviosas y episodios de demencia cada vez que se daba cuenta de que su mente rechazaba sus propios descubrimientos. Tanto es así que falleció en la pobreza en un psiquiátrico.

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No todos los teoremas matemáticos son sesudos e incomprensibles, hay muchos fenómenos sencillos que también tienen su explicación. El Teorema de los Infinitos Monos es un enunciado muy conocido, que asegura que

Un mono aporreando una máquina de escribir durante un tiempo infinito podría llegar a escribir cualquier texto dado, como por ejemplo las obras completas de Shakespeare.

Este teorema se usa para ilustrar lo difícil que es intentar abarcar el concepto de infinito. El teorema es cierto, en un tiempo suficientemente grande el mono acabaría por escribir las obras completas de Shakespeare, y las de Cervantes también si hiciera falta, pero la probabilidad de que eso suceda en un intervalo de tiempo tan grande como la edad del Universo es prácticamente nula. ‘Infinito tiempo’ no es ‘mucho tiempo’, sencillamente es… infinito.

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En la anterior entrega de la serie hablamos de la Conjetura de Goldbach, que asegura que cualquier número par mayor que 2 es la suma de dos primos. Aunque aún no se ha podido demostrar, se cree que es cierta. Existe otra conjetura muy famosa sobre los números primos que es la que presentamos hoy.

Conjetura de los primos gemelos

Recordemos (como vimos en el segundo capítulo) que los primos gemelos son aquellos que están separados tan solo por una unidad. Por ejemplo, 11 y 13. Según la conjetura:

Existen infinitas parejas de primos gemelos

Se trata de un enunciado apócrifo, pero que al igual que la conjetura de Goldbach, ha atraído durante años la atención de muchos de los mejores matemáticos.

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En la anterior entrega de la serie prometíamos habloar de una de las grandes cuestiones sin resolver de las matemáticas, que está relacionada con los números primos. Como quizá muchos hayáis adivinado, me refería a la…

Conjetura de Goldbach

En 1742, el matemático prusiano Christian Goldbach le propuso a su homólogo Euler la siguiente conjetura:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos

Euler contestó que lo consideraba como un teorema completamente cierto, pero que no podía probarlo… ni nadie lo ha logrado hasta hoy. Por eso, sigue siendo una conjetura.

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