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El Teorema de los Infinitos Monos

El Teorema de los Infinitos Monos
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No todos los teoremas matemáticos son sesudos e incomprensibles, hay muchos fenómenos sencillos que también tienen su explicación. El Teorema de los Infinitos Monos es un enunciado muy conocido, que asegura que

Un mono aporreando una máquina de escribir durante un tiempo infinito podría llegar a escribir cualquier texto dado, como por ejemplo las obras completas de Shakespeare.

Este teorema se usa para ilustrar lo difícil que es intentar abarcar el concepto de infinito. El teorema es cierto, en un tiempo suficientemente grande el mono acabaría por escribir las obras completas de Shakespeare, y las de Cervantes también si hiciera falta, pero la probabilidad de que eso suceda en un intervalo de tiempo tan grande como la edad del Universo es prácticamente nula. ‘Infinito tiempo’ no es ‘mucho tiempo’, sencillamente es… infinito.

Otra variante del teorema afirma que infinitos monos podrían escribir cualquier texto dado en cualquier intervalo de tiempo (no necesariamente infinito). La analogía es la misma. ‘Infinitos monos’ no quiere decir un millón de monos, ni miles de millones, sencillamente quiere decir… infinitos.

Los ‘monos’ en realidad son una metáfora de cualquier dispositivo capaz de generar texto aleatoriamente. El teorema se puede generalizar, en el sentido de que cualquier experimiento aleatorio podrá producir un determinado resultado siempre que la experiencia se realice tantas veces como sea necesario.

Por ejemplo, es posible (aunque la probabilidad sea prácticamente nula), que al lanzar una moneda al aire obtengamos cara mil veces seguidas. Sólo hay que tirar la moneda un suficiente número de veces. De hecho, si lanzásemos la moneda infinitas veces, obtendríamos secuencias de un millón de caras seguidas, de un billón, o de todas las que queramos.

Demostración

Supongamos que cada tecla pulsada es un evento aleatorio, estadísticamente independiente del anterior (en el caso de un mono aporreando un teclado, no sería estrictamente cierto, evidentemente es más probable que con cada golpe se pulsen varias teclas en una determinada vecindad, pero esto es rizar el rizo innecesariamente para el objetivo del teorema).

Si dos eventos son independientes, la probabilidad de que ocurran ambos a la vez es el producto de ambas probabilidades (por ejemplo, si dos tiradas de moneda son independientes, la posibilidad de que salga cara en las dos es 0,5 * 0,5 = 0,25). Si suponemos que usamos un teclado con el alfabeto castellano, sin acentos, números y obviando los signos de puntuación, tenemos 27 letras, con lo cual podemos asumir que la probabilidad de que se pulse cada una de ellas es 1/27.

La probabilidad de escribir una determinada palabra de n letras, bajo el supuesto de independiencia, será (1/27)*(1/27)*...*(1/27) = 1/27n. Por ejemplo, aplicando esta fórmula, la probabilidad de escribir al azar la palabra ‘gato’ al pulsar cuatro veces el teclado sería de una entre medio millón.

Siguiendo el razonamiento, la probabilidad de no escribir una determinada palabra de n letras en una secuencia de n pulsaciones es 1 – 1/27n. Para el siguiente bloque de n letras, exactamente igual, y así sucesivamente. Si suponemos que cada bloque es independiente, la probabilidad de no escribir una determinada palabra de n letras en k bloques seguidos, es (1 –  1/27n)k.

Si el tamaño del bloque n es acotado (tan grande como queramos, pero finito), siendo k la cantidad de veces que repetimos el experimento, podemos ver que el límite cuando k tiende a infinito es cero. Es decir, la probabilidad de que no escribamos cualquier sucesión de letras (por ejemplo, las obras completas de Shakespeare) tiende a cero si realizamos infinitos experimentos. O visto de otro modo, la probabilidad de que sí escribamos cualquier texto dado tiende al 100%.

Sin embargo, el concepto de ‘infinitos experimentos’, como ya hemos recalcado, no significa ‘muchísimos experimentos’. Intentemos poner cifras. Supongamos que tenemos tantos monos como partículas existen en el Universo (unos 1080) y que cada uno de ellos es capaz de pulsar 1000 teclas por segundo, durante un tiempo 100 veces superior a la edad del Universo. Pues aun así, la probabilidad de que pudiesen llegar a reproducir cualquier libro ya existente es prácticamente nula.

Cuando ‘infinitos monos’ significa muchísimos más monos que todas las partículas existentes en el Universo, e ‘infinito tiempo’ significa muchísimo más tiempo que cien veces la edad del Universo, el concepto de ‘infinito’ deja de tener sentido práctico, para ser una mera herramienta teórica. Aunque intuitivamente asociamos ‘infinito’ con ‘muy grande’, vemos en este caso que esto no siempre funciona.

Los experimentos realizados con simuladores informáticos han demostrado completamente este hecho, e incluso ‘tecleando’ a una velocidad miles de veces más rápida de lo que lo haría un mono real, sólo muy de cuando en cuando se obtienen más de dos palabras seguidas con sentido. En otro experimento, se dejó un teclado en una jaula con monos, y después de que se dedicaran mayormente a golpearlo con piedras y orinar sobre él quedó claro que no se trata de buenos ejemplos de generadores aleatorios.

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