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La ley de Benford (y II)

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Pero, ¿por qué aparece esta regularidad tan curiosa? ¿Es que a caso los números no pueden empezar por el dígito que les de la gana? En realidad, la respuesta es muy sencilla: la ley de Benford se debe a que empezamos a contar por el uno.

Imaginad, que estamos numerando los edificios de una calle. Resulta que hay 23 portales, por ejemplo. Los nueve primeros obtienen números de un sólo dígito, así que hasta aquí todos los dígitos son igualmente probables. Ahora bien, los diez siguientes, todos ellos, obtienen un número que comienza con la cifra 1.

En definitiva, entre los 23 números tendremos once que comienzan por “1” (esto es, el 47,8%), cinco que comienzan por “2” (21,7%), y sólo uno del resto de dígitos (4,3%).

En este ejemplo tan sencillo no se respetan las proporciones predichas por Benford porque la muestra que tenemos es muy pequeña, pero la tendencia a que el “1” sea el más probable ya se puede observar muy claramente.

El caso es que, en cualquier secuencia de números que se obtenga contando una cantidad limitada de elementos, siempre contendrá más cifras que empiecen por “1”, precisamente porque empezamos a contar por ese número. Siguiendo el mismo razonamiento, el segundo número más probable será el “2”, y así sucesivamente.

Teniendo en cuenta lo dicho, esta ley no se cumplirá en aquellos casos en que los números se elijen arbitrariamente, sin seguir una secuencia numerada. Por desgracia, Benfor no nos hará ricos jugando a la lotería.

De esta forma, lo que nos decía nuestro lector en su mensaje acerca del fisco no es descabellado. Si intentamos inventarnos las cifras de nuestra declaración de la renta, lo más probable es que lo hagamos poniendo números al azar, sin ton ni son. Cómo si jugáramos a la lotería. De esta forma, todas las cifras se vuelven igualmente probables, desobedeciendo la ley de Benford.

Por lo tanto, el ministerio de hacienda podría comprobar la veracidad de las cifras presentadas simplemente mirando cuántas de ellas empiezan por el dígito “1”. O, mejor aún, viendo la frecuencia estadística de cada dígito inicial. De todas formas, haciendo esto sólo podrían sacar un indicio, una indicación de que vale la pena investigar a fondo al contribuyente en cuestión.

Pero nunca, en ningún caso, podrán condenar a alguien únicamente en base a esto. Porque la ley de Benfor es probabilística, no determinista. La cantidad de números que contiene una declaración no es muy representativa, es una muestra más bien pequeña, así que siempre es posible que no se cumpla la ley de Benfor por pura mala suerte.

Eso sí, si te inventas los números, y no quieres que te investiguen, seguro que es buena idea seguir la ley de Benford.

Fotos | Ezra Wolfe

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