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La ley de Benford (I)

La ley de Benford (I)
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Nos llega a la dirección del blog una pregunta realmente curiosa: ¿Es cierto que el fisco utiliza la Ley de Benford para detectar si intentamos defraudar? Difícilmente podremos dar una respuesta definitiva al tema, ya que ni Sergio ni yo somos agentes fiscales, pero sí que podemos hablar un poco de dicha ley.

En resumidas cuentas, Benford viene a decir que es mucho más probable que una cifra de la vida real empiece por el dígito “1” que cualquier otro, aproximadamente un 30%. De hecho, la probabilidad es decreciente, el segundo dígito más probable es el “2” (18%), y el menos probable es el “9”, con menos de un 5%.

A este efecto, recordad que una cifra no puede empezar por 0, ya que un cero a la izquierda siempre se puede eliminar.

Hay que hacer notar que esta ley se aplica a los números que aparecen en la cotidianidad, no a los números en general. Si tomamos al azar una cantidad de números de entre todos los que existen en un intervalo matemático (por ejemplo, en un sorteo de lotería), esta ley no se cumplirá. Pero si lo que hacemos es recopilar cifras de la vida real, por ejemplo todas las que aparecen en un periódico, su distribución se acercará bastante a lo predicho por Benford.

Probabilidade que un número de la vida diaria comience por cada dígito, según la Ley de Benford
Al parecer, el primero en darse cuenta de esta regularidad fue Simon Newcomb al rededor de 1881 (se cumple la ley de Stingler, según la cual los descubrimientos científicos raramente reciben el nombre de su descubridor original), quien se dio cuenta que los libros de tablas de logaritmos estaban más gastados en sus primeras páginas que en las últimas.

Un poco de contexto histórico: por aquél entonces no existían ordenadores ni calculadoras, así que cada vez que había que calcular un logaritmo con suficiente precisión se acudía a las tablas. Al ver que las primeras páginas estaban mucho más usadas, Newcomb infirió que sus compañeros en la universidad realizaban cálculos con números que empiezan por dígitos bajos de forma mucho más frecuente. Frank Bedford realizó una observación similar, de forma independiente (o eso se cree), en 1938.

A partir de esta observación, infirió una sencilla ley logarítmica que permitía calcular la probabilidad de que un número concreto comience por un dígito determinado. De hecho, su fórmula se podía extender para calcular la probabilidad que un número en concreto comience con una secuencia concreta de dígitos, no sólo el primero. Por ejemplo, según esta ley, la probabilidad de que un número comience por 79 es del 0.055%.

No os voy a poner la fórmula, pero seguro que los interesados la podéis encontrar muy fácilmente por internet. Además, podéis jugar un poco con ella usando esta sencilla calculadora on-line de la Ley de Benford.

Fotos | Bark

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