Hace un par de días presentábamos un pequeño enigma conocido como la Paradoja de San Petersburgo. Se trata de un juego de azar cuyo valor esperado es infinito, y por tanto, el precio justo por jugar también debería ser infinito, a pesar de que eso atenta contra la intuición y el sentido común. ¿Dónde está el fallo o la trampa? como ya dijimos en el post original, el resultado matemático es perfectamente correcto. Sin embargo, se nos escapa algo.
En los comentarios se han aportado ideas y puntos de vista muy interesantes. A mi juicio, de entre todos ellos, la reflexión más interesante es la de aquellos que piensan que el valor esperado “real” del juego se reduce porque el número de veces que podemos jugar no puede ser infinito, sino que está físicamente limitado. Pero aun así, el valor esperado del juego sigue siendo demasiado grande como para que el precio justo sea razonable (por ejemplo si tuviésemos un tope de mil tiradas, el valor esperado sería de 500 €, pero la probabilidad de que lleguemos a superar las cinco o seis caras seguidas sigue siendo igual de remota).
La solución a enigma llegó en 1738 precisamente de la mano de Daniel Bernoulli, sobrino de Nicholas Bernoulli (quien propuso la paradoja), aunque Gabriel Cramer ya había adelantado el resultado años antes. La clave está en la pista que ya dimos en el planteamiento original: el valor del dinero no es el mismo para los matemáticos que para el común de los mortales.
De hecho, en su “Nueva Teoría de Medición de la Suerte”, Daniel Bernoulli afirma lo siguiente:
Los matemáticos, en su teoría, valoran el dinero en proporción a la cantidad del mismo; la gente con sentido común, en la práctica, lo valora en proporción a la utilidad que puede obtener de él.
La función de utilidad (u(x)) es el truco que los economistas usan para poder representar matemáticamente las preferencias de los agentes económicos, y en el caso de una persona racional, aunque es siempre creciente, crece de forma cóncava (es decir, crece cada vez más despacio). El sentido común apoya esta intuición. El valor “real” de 100 euros para alguien que tiene cero es muchísimo (ya que es una cuestión de supervivencia), pero para alguien que ya tiene un millón de euros, es ínfimo. Dicho de otra forma, la utilidad marginal del dinero es decreciente.
Por lo tanto, no hay que medir el valor esperado del juego, sino la utilidad esperada (que llamaremos U). Repasando las fórmulas del otro post, nos daríamos cuenta rápidamente de que dicha utilidad es U = (1/4)·u(2) + (1/8)·u(4) + (1/16)·u(8) + ... = Σ[u(2n)/2n+1], donde u(x) representa la utilidad de percibir x euros.
Pero ¿qué pinta tiene la función u(x)? en realidad, es imposible medir numéricamente la satisfacción obtenida, y de hecho, cada consumidor tendrá su propia función de utilidad (por ejemplo, un amante del riesgo percibirá en el juego una utilidad esperada mayor que una persona muy conservadora). Lo que hicieron Cramer y Bernoulli fue probar con funciones que respondiesen a las características que debe tener una función de utilidad: creciente, cóncava y nula en el origen (la utilidad que produce de tener cero euros también es cero).
En concreto, Cramer probó con la función √x. Desarrollando la expresión, veríamos que U = Σ[2n/2/2n+1] = Σ[2-(n/2)-1]. Si realizamos la suma de infinitos términos (que no tiene mayor problema, porque es geométrica y convergente), resulta que la utilidad esperada del juego es 1,207.
Pero la utilidad es √x, y a nosotros lo que nos interesa es x (que representa el dinero). De modo que √x = 1,207 ⟶ x = 1,457 €. ¡Nuestro precio justo ha pasado de infinito a poco menos de un euro y medio! En realidad, no es disparatado, ya que al fin y al cabo tenemos un 50% de posibilidades de perder el dinero invertido.
Bernoulli hizo sus ejemplos con la función logaritmo. Si tomamos la función log(x+1) (añadiendo el +1 para que la función sea nula en el origen) y repetimos la operación, tendríamos U = Σ[log(2n+1)/2n+1]. Esta serie también converge, y el resultado numérico sería U = 0,832, y como u = log(x+1) sacaríamos x = 1,298 €, todavía menos en el caso anterior.
Como hemos comentado, la elección de la función de utilidad es subjetiva. Estos dos ejemplos corresponderían a personas muy conservadoras, aversas al riesgo. El hecho de que tengamos 50% de posibilidades de perder todo el dinero reduce drásticamente la utilidad esperada del juego. Si hiciésemos una pequeña modificación en el juego de forma que los que sacan cruz a la primera tirada no se fuesen con las manos vacías sino que recibiesen un euro y calculamos de nuevo, veríamos que con la fórmula de Cramer pasaríamos a x = 2,914 €: eliminando el riesgo de volver de vacío, estaríamos dispuestos a duplicar la inversión.
También podríamos analizar otras funciones de utilidad menos conservadoras, que sigan cumpliendo las propiedades. Por ejemplo, alguien más amante del riesgo con una función de utilidad u = x2/3 estaría dispuesto a pagar 2,668 € por jugar incluso con el 50% de probabilidades de no ganar nada. Pero en cualquier caso, la cuestión es que aunque el valor esperado del juego sea infinito, la utilidad esperada no lo es, y una persona racional, por muy amante del riesgo que sea, no pagaría un precio muy elevado por jugar (sería de hecho casi imposible encontrar a nadie dispuesto a pagar más de 10 €).
En mi opinión, este tipo de cosas son lo más interesante de la Economía: utilizar las matemáticas para representar conceptos tan subjetivos como la aversión al riesgo. Claro que evidentemente los modelos son modelos, y muchas veces (como estamos viendo con la crisis) fallan estrepitosamente.
Comentarios
También hay gente dispuesta a jugar "Lotería" con riesgos muchos más grandes, así que no es descarado pensar que alguien estuviese dispuesto a pagar esos 10€.-
Muy buen artículo. Debería haber más artículos tipo "paradojas y quiz Genciencia". Son muy interesantes.
Reflexionando un poco, he sacado una conclusión, pero no sé si estaré equivocado: Si cada persona le da un valor distinto al dinero según su riqueza y su personalidad... El precio justo podría ser cualquiera ¿verdad? "Sería de hecho casi imposible encontrar a nadie dispuesto a pagar más de 10 €" : Pero si hubiera alguien dispuesto a ello, también se conseguría un precio justo. Puede que sea imposible e ilógico apostar ciertas cantidades, pero en el caso de que alguien estuviera tan loco como para apostar una fortuna, también se conseguiría un precio justo. Como dice el artículo, es imposible medir numéricamente la satisfacción obtenida, y de hecho, cada consumidor tendrá su propia función de utilidad.
PD: ¿Por qué se llama "de San Petersburgo"? ¿Es que fue formulada allí la paradoja?
interesante
Yo nunca juego a la lotería. Prefiero ahorrar ese dinero y gastarlo (o invertirlo) en algo más útil. Lo siento, invidentes, pero conmigo no hacéis negocio :-) Priefiero llegar a ser rico usando mis capacidades e invirtiendo correctamente.
#3 yo también pienso lo que tú, pero estaría bien saber que piensa un ganador de Euromillones de que le llamen invidente por jugar lotería en lugar de usar ese dinero para otra cosa..xDD
#4 yo creo que nemilk ser refería con "invidentes" a los de la ONCE...XD
Muy interesante el artículo, la verdad es que juego muy poco a juegos de azar, pero cuando lo hago me gusta calcular antes las probabilidades de ganar, curiosear cuanto se han gastado los organizadores y cuanto lo rentablizan, etc. El azar no es más que otra cara de las matemáticas ;)
#1 haz la prueba. Explícale a la gente cómo funciona el juego y cuánto estarían dispuestos a pagar por participar ;) seguro que habría gente dispuesta a participar por 10 €... pero poca.
#2 tienes toda la razón. El "precio justo" real (no el matemático) depende de cada cual. ¿Es justo pagar X € por jugar a este juego? Tan justo como que un futbolista cobre X, o que una caña cueste X, depende de cada cual.
Pero hay un segundo factor con el que no nos hemos metido, que es el placer obtenido por el mero hecho de jugar, es decir, no la satisfacción por el dinero recibido, sino por el simple hecho de participar en el juego. Hay gente que es ludópata, pero ese es un comportamiento patológico. La gente juega a las tragaperras por las luces, los sonidos, la sensación de estar llevando a cabo una "estrategia" de juego... si pusieran una caja negra donde metes el dinero, das una palanca, y te sale por un agujero un premio con la misma probabilidad que en la tragaperras, no jugaría nadie.
#3 las inversiones también son un juego de azar ;). Desde el punto de vista matemático no hay absolutamente ninguna diferencia con una lotería. Es una inversión con una determinada probabilidad de éxito... o de fracaso. ¡Mira toda la gente que jugó a comprar viviendas en España! La probabilidad de perder todo el dinero invertido en la bolsa es mucho más baja que la probabilidad de perder todo el dinero invertido en el billete de lotería, pero la inversión necesaria para tener opciones a una mínima rentabilidad en bolsa es muchísimo mayor que el coste de un billete de lotería.
interesante
#2 se me olvidó comentarte lo del nombre. Bernoulli fue invitado a la Academia de Ciencias de San Petersburgo, que en aquél entonces (pleno esplendor de la corte zarista) era prácticamente la capital del mundo, al menos en el plano cultural. La paradoja y su solición (en el marco de la "Nueva Teoría sobre la Medición de la Suerte") fueron publicadas de hecho en el boletín de la academia peterburguesa.
¡Ah! hay otro factor del que no he hablado y que explica por qué, a pesar de todo, la gente juega a la lotería. Al margen de la "utilidad esperada", también existe el enfoque del "arrepentimiento esperado", es decir, la insatisfacción que nos produciría haber renunciado al premio. Por eso, es más normal que alguien pague un euro por una lotería en la que puede ganar 1000 € con 0.001 de probabilidad a una en la que puede ganar 2 € con 0.5 de probabilidad. También explica el típico comportamiento de "yo siempre compro un décimo de navidad en el bar porque imagínate que toca y yo soy el único pringao que se queda sin premio".
Sí, los negocios también son un juego de azar, y puede que hasta más peligrosos XD De todos modos, mientras que en la lotería solo interviene el factor azar, en los negocios hay que sumar el factor "experiencia" e "inteligencia". La burbuja inmoviliaria iba a explotar, y como yo lo sabía, viví de alquiler hasta que explotó y pude comprar más barato XDDD
#8 pero en realidad, en ese juego, has "perdido" el dinero que pagaste mientras viviste de alquiler... ¿cuál habría sido el momento X óptimo para que la suma "alquiler pagado hasta X + hipoteca pagada a partir de X" fuese mínimo? es impredecible. Pero, en cualquier caso, desde el momento en que interviene el factor del azar, desde el punto de vista matemático es totalmente equiparable a una lotería. Mientras haya incertidumbre, da igual que sea entre 98 y 102 euros que entre cero y 5000, formalmente el estudio es el mismo.
Ah, por cierto, en la lotería no solo interviene el factor azar. Recuerdo la historia de un fulano que calculó, teniendo en cuenta la tipografía utilizada, cuáles eran las bolas de la lotería primitiva que pesaban más porque tenían más pintura (por ejemplo, la bola del 49 pesa más que la del 1). Tras muchos intentos, acabó llevándose el bote y filtrando el secreto, por lo que la administración decidió cambiar de bolas :D
hoola espero que andes bien kuidate cmuho
muh buenoooo
Para los que no juegan a la lotería y prefieren ganar el dinero con su esfuerzo. Deberíais pensar más en la función de utilidad. Yo también gano mi dinero con mi esfuerzo diario, pero eso no quita para que todas las semanas eche un euro al euromillones. Un euro semanal son 52 al año y 2600 en 50 años. Aunque ahorres ese euro durante 50 años no te vas a hacer rico. Sin embargo, cada semana tienes la posibilidad de obtener (dependiendo del bote) entre 10 y 120 millones de euros. Para mí, jugar un euro a la semana no me supone nada y el premio que puedo obtener es abrumador. Un juego que cuesta 0 y puede tener ganancia infinita es un juego bastante justo, y aplicando al euromillones mi función de utilidad, pues se reduce a eso, por eso juego.
#7 y 9 Ignacio: En primer lugar, gracias por la explicación del nombre. Respecto al tema de que las inversiones son azar, creo que desde un punto de vista realista (olvidándonos por un momento de las matemáticas), un corredor de bolsa o una asociación profesional tiene muchas más posibilidades de ganar que una persona cualquiera. La suerte es muy importante claro, pero un profesional puede inclinar la balanza a su favor (invirtiendo en el momento justo, invirtiendo en las empresas que vayan a triunfar, decidiendo correctamente la cantidad justa para invertir...).
Puede que el punto más importante siguiera siendo la suerte, pero ya no sería una lotería. En la lotería, todos parten con las mismas posibilidades y se lo dejan todo al azar (no tengo en cuenta trampas y demás porque actualmente es muy difícil hacerlas, imposible diría yo), mientras que en los negocios, la gente que sabe invertir parte con ventaja.
#11: Coincido contigo en lo que dices, pero creo que los primeros comentarios no se referían a gastarse un euro a la semana (eso no es nada...), sino a gastarse montones de dinero comprando muchos décimos y billetes de lotería.
#12, sea un euro o 20 a la semana, la cuestión principal es lo que signifique para tí, no es lo mismo que supongo un 0,1% de tu sueldo semanal a que signifique un 3%. La clave está en que para tí sea una cantidad despreciable y el premio sea grande, en esos supuestos el juego es favorable para el jugador (y tb para el Estado, claro, jeje). No conozco a mucha gente que se arruine con la primitiva, quiniela, euromillones, etc. no es como un casino. Por eso creo que son juegos interesantes desde el punto de vista de la utilidad. De todas formas, en la quiniela se puede inclinar la balanza a tu favor igual que en la bolsa, si sabes hacerlo y tienes ganas de invertir.
:-D Muy interesante los comentarios. Pero hablando de rentabilidad os pongo un ejemplo. Hace 5 años me gasté 5000€ en una cámara de video. Teniendo en cuenta la cantidad de bodas y comuniones que he realizado, el total asciende a 20.000€ de beneficios (el coste por DVD es despreciable XD). En mi opinión (lo digo por si alguien quiere hacer dinero) es más rentable invertir en un negocio que en la bolsa. Me río de la cuenta naranja.
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