probabilidad

Después de tantos y tantos posts hablando sobre los diagramas de Feynman, acabamos de ver que los caprichos de la cuántica hacen que sea imposible determinar que diagrama describe realmente una interacción concreta. Pero eso no significa que sean inútiles, por supuesto.

La explicación a todo esto viene por una técnica matemática, extremadamente importante en Física, llamada integral sobre caminos. De hecho, fue el propio Feynman quien introdujo el concepto.

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Nuestro cerebro, además de ser un negado para los números demasiado grandes, tampoco es muy eficaz a la hora de calcular probabilidades, como demostraron los psicólogos estadounidenses Amos Tversky y Daniel Kahneman.

Un problema clásico en teoría de la probabilidad se refiere a las conjunciones: la probabilidad de que 2 o más cosas en un mimo individuo sean verdaderas. Como el lógico, entonces, la probabilidad de que una conjunción sea verdadera nunca puede ser mayor que la probabilidad de que lo sea uno de sus elementos constituyentes.

Esto se entiende mejor con un ejemplo:

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Hace un par de días presentábamos un pequeño enigma conocido como la Paradoja de San Petersburgo. Se trata de un juego de azar cuyo valor esperado es infinito, y por tanto, el precio justo por jugar también debería ser infinito, a pesar de que eso atenta contra la intuición y el sentido común. ¿Dónde está el fallo o la trampa? como ya dijimos en el post original, el resultado matemático es perfectamente correcto. Sin embargo, se nos escapa algo.

En los comentarios se han aportado ideas y puntos de vista muy interesantes. A mi juicio, de entre todos ellos, la reflexión más interesante es la de aquellos que piensan que el valor esperado “real” del juego se reduce porque el número de veces que podemos jugar no puede ser infinito, sino que está físicamente limitado. Pero aun así, el valor esperado del juego sigue siendo demasiado grande como para que el precio justo sea razonable (por ejemplo si tuviésemos un tope de mil tiradas, el valor esperado sería de 500 €, pero la probabilidad de que lleguemos a superar las cinco o seis caras seguidas sigue siendo igual de remota).

La solución a enigma llegó en 1738 precisamente de la mano de Daniel Bernoulli, sobrino de Nicholas Bernoulli (quien propuso la paradoja), aunque Gabriel Cramer ya había adelantado el resultado años antes. La clave está en la pista que ya dimos en el planteamiento original: el valor del dinero no es el mismo para los matemáticos que para el común de los mortales.

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Hoy os proponemos un pequeño reto relacionado con una de las ramas más interesantes de la Economía (sobre todo para los que procedemos del mundo de las ciencias y las ingenierías), que es el estudio de la elección con incertidumbre. Se trata de añadir la teoría de la probabilidad a los modelos económicos habituales y estudiar los juegos de azar y las loterías (un concepto que en el fondo es aplicable a cualquier situación de la vida real ya que el resultado de nuestras elecciones habitualmente depende de factores aleatorios externos).

Partimos del valor esperado de un juego de azar. Esto no es más que la ganancia promedio que obtendremos al jugar a dicho juego. Por ejemplo, supongamos un juego en el cual recibimos siete euros si al lanzar un dado sacamos un 6, y un euro si sacamos cualquier otro número. Hay 1/6 de probabilidades de obtener siete euros, y 5/6 de obtener un euro. Por tanto, el valor esperado de este juego será de 1/6 · 7 + 5/6 · 1 = 2. Es decir, si jugamos muchas veces, acabaremos obteniendo en promedio unos dos euros por tirada.

Desde un punto de vista matemático, parece claro que un juego es “justo” si el precio que pagamos es igual al valor esperado. Si pagamos dos euros cada vez que jugamos, nadie nos está estafando ni sacando beneficios extraordinarios. La banca no ganaría dinero cobrando dos euros por tirada, ya que en promedio pagaría dos euros por tirada. Este razonamiento parece abrumadoramente lógico. Y sin embargo, hace unos 300 años, Nicholas Bernoulli le encontró una grieta importante, reflejada en la paradoja de San Petersburgo.

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No todos los teoremas matemáticos son sesudos e incomprensibles, hay muchos fenómenos sencillos que también tienen su explicación. El Teorema de los Infinitos Monos es un enunciado muy conocido, que asegura que

Un mono aporreando una máquina de escribir durante un tiempo infinito podría llegar a escribir cualquier texto dado, como por ejemplo las obras completas de Shakespeare.

Este teorema se usa para ilustrar lo difícil que es intentar abarcar el concepto de infinito. El teorema es cierto, en un tiempo suficientemente grande el mono acabaría por escribir las obras completas de Shakespeare, y las de Cervantes también si hiciera falta, pero la probabilidad de que eso suceda en un intervalo de tiempo tan grande como la edad del Universo es prácticamente nula. ‘Infinito tiempo’ no es ‘mucho tiempo’, sencillamente es… infinito.

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He aquí la respuesta a la paradoja del cumpleaños. Recordemos brevemente en qué consistía el problema: ¿Verdadero o falso? En una reunión de 25 personas es bastante probable que dos personas coincidan en su fecha de cumpleaños. Concretamente: es más probable que la posibilidad contraria (que nadie coincida). Muchos habéis dado con el enfoque adecuado, aunque los números hayan variado algo de unos a otros. El error más extendido es haber interpretado la pregunta como la probabilidad de que alguien cumpla el mismo día que uno mismo, y no como la probabilidad de que dos cualesquiera coincidan en su fecha de nacimiento. La respuesta más completa y diría yo que inmejorable, es la que ha dado vicioso en su comentario:

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Plantearemos ahora una cuestión de probabilística, que quizá se pueda resolver con la experiencia personal de cada uno o requiera hacer algún cálculo mental.

¿Verdadero o falso?

En una reunión de 25 personas es bastante probable que dos personas coincidan en su fecha de cumpleaños. Concretamente: es más probable que la posibilidad contraria (que nadie coincida).

Os animamos a plantear vuestras sugerencias y posibles soluciones a la pregunta planteada. Quizá también podáis aportar datos reales al respecto (¿ocurre esto entre vuestros compañeros de trabajo? ¿íbais a clase con alguien que cumpliera el mismo día que vosotros? ¿os parecería sorprendente?).

Muchas veces nos sorprendemos de tener un conocido común con la persona menos esperada, o descubrimos que el primo de nuestro mejor amigo vive en nuestro mismo edificio, o encontramos que esa persona también ha sido invitada a la misma fiesta de cumpleaños. Solemos decir entonces, “el mundo es un pañuelo”, “no sabía que ya os conocierais”, o alguna expresión semejante. Sin embargo ¿son esas situaciones tan sorprendentes?

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