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Midiendo tus creencias: el teorema de Bayes (y II)

Midiendo tus creencias: el teorema de Bayes (y II)
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Como os decía en la anterior entrega de este artículo, vamos a usar el teorema de Bayes para entender cómo deberíamos afrontar el problema del cáncer de mama. Concretamente, la conveniencia de revisiones médicas rutinarias.

Lo que sabemos (creencia previa) es que el 1 % de las mujeres sufren cáncer de mama a los 40 años. Es decir: -p (A).

También disponemos de un test (dato nuevo) de la presencia de este cáncer: la mamografía.

El 80 % de las mujeres con cáncer de mama tendrán mamografías positivas -p (X/A), es decir positivos verdaderos, mientras que sólo el 9,6 % de las mujeres sin cáncer presentarán mamografías positivas: p (X/~A), es decir positivos falsos. Ésta es la probabilidad de obtener el dato si partimos de la base de que nuestra creencia es cierta.

Partiendo de estas cifras, parece evidente que las revisiones médicas rutinarias para el cáncer de mama son algo bueno. Así pues, si todas las mujeres se someten a una revisión, ¿qué proporción de las que presentan resultados positivos en el test padecerán realmente cáncer, expresado esto matemáticamente como p (A/X)?

Lo que pone de manifiesto el teorema de Bayes es que, si una mujer da positivo en un test de cáncer, es erróneo pensar que es muy probable que tenga cáncer. Podemos verlo más fácilmente si nos imaginamos un grupo de 10.000 mujeres.

Antes de la revisión médica, por ejemplo, hay un grupo de 100 mujeres con cáncer de mama y otro grupo de 9.900 mujeres sin cáncer de mama. El primer grupo es el 1 % que padece cáncer: p(A).

Tras la revisión médica, entonces aparecen 4 grupos. Grupo A: 80 mujeres con cáncer de mama y mamografía positiva. Grupo B: mujeres con cáncer de mama pero mamografía negativa. Es decir, el grupo A tiene el 80 % de positivos verdaderos: p(XA).

El grupo C: 950 mujeres sin cáncer de mama pero con mamografía positiva. El grupo D: 8.950 mujeres sin cáncer de mama y con mamografía negativa. Es decir, el grupo C tiene el 9,6 % de positivos falsos: p(X/~A).

Conclusión: la revisión médica da un resultado positivo en 950 mujeres que NO TIENEN cáncer y sólo en 80 que TIENEN cáncer.

Para responder a la pregunta “¿qué proporción de mujeres con el test positivo tienen cáncer?”, dividimos el grupo A por la suma del grupo A y el grupo C (número total de mujeres que dan positivo): el resultado es 7,8 %. En otras palabras, más del 90 % de las mujeres que dan positivo en el test no padecerán cáncer. Aunque la mamografía es un buen test, el teorema de Bayes nos dice que este nuevo dato no es muy útil.

Es decir, que el teorema de Bayes demostraría que es mucho más eficaz realizar el test de cáncer a un grupo de “alto riesgo” (por ejemplo a mujeres que ya tienen un historial familiar de cáncer de mama) y no a todas las mujeres de más de 40 años sin excepción.

No obstante, si todas estas operaciones os han parecido un poco abstractas o las matemáticas no son lo vuestro, prometo que a lo largo de la próxima semana publicaré un artículo sobre la polémica idea de realizar mamografías a las mujeres para prevenir el cáncer de mama.

Vía | Descubriendo el poder de la mente de Chris Frith

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