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Espacios Infinitodimensionales

Espacios Infinitodimensionales
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Una de las grandezas de las matemáticas es la capacidad de poder de trabajar con objetos que no podemos imaginar con nuestra mente. Un ejemplo claro es la posibilidad de gestionar formas en espacios de infinitas dimensiones. Vamos a ver las curiosidades que podemos extraer de dos cuerpos infinitodimensionales como la esfera y el cubo. La definición de esfera que encontramos en Wikipedia dice que es una superficie formada por todos los puntos del espacio tales que la distancia (llamada radio) a un punto determinado, denominado centro, es siempre la misma, osea, que todos los puntos equidistan respecto al centro. Si la visualizamos en un espacio de dos dimensiones tendremos un círculo, en tres dimensiones tendremos una esfera (una bola cerrada) y en ciento cincuenta dimensiones la definición es exactamente la misma, aunque no seamos capaces de concebir su forma visual. El cubo está definido como un conjunto de puntos generados a partir de vectores unitarios de una base ortonormal del espacio. En dos dimensiones tendremos un cuadrado (una superficie plana), en tres dimensiones un cubo y así para infinitas dimensiones.

Una curiosa peculiaridad aparece cuando llegamos a la siguiente cuestión: ¿Cuál es la longitud del mayor segmento que cabe dentro de un cubo y dentro de una esfera?. En una esfera siempre el mayor segmento tendrá que pasan por el punto de origen, es decir, el centro. La longitud de dicho segmento será el diámetro, que equivale a la longitud de dos veces el radio (distancia euclídea desde el centro hasta cualquier punto perteneciente a la superficie). Partiendo de la definición de esfera, en cualquier dimensión del espacio el mayor segmento que cabría dentro tendrá que pasar por el centro y tendrá la longitud doble al radio (diámetro).

Sin embargo con el cubo no ocurre lo mismo. El segmento mayor que cabe en un cuadrado es su diagonal. Si representamos el cuadrado como un grafo G=(V,A), tendremos que la diagonal es el segmento que une a dos vértices pertenecientes a G tal que no estén conectados por ninguna arista A. El ángulo que forma la diagonal con cualquier lado de longitud L es de π/4 (45º). Si queremos obtener la longitud de la diagonal solamente debemos de hacer uso de una razón trigonométrica: D = cos(π/4) * L = √2 * L. Por lo tanto para cualquier cuadrado su diagonal será √2 veces la longitud de un lado L. Si nos vamos a tres dimensiones, obtendremos un cubo. La longitud de la diagonal de un cubo es igual a √3 veces la longitud de un lado. Si nos vamos a n dimensiones, la longitud de la diagonal será igual a √n veces la longitud de un lado y por lo tanto en en un espacio de infinitas dimensiones cabe dentro una recta infinita.

Hipercubo

Referencias | Wikipedia.org

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