Continuamos hablando de números primos. En el post anterior vimos su carácter aleatorio. Aparecen aquí y allá sin que alguien pueda predecir dónde. No hay una fórmula conocida que nos devuelva siempre números primos, y de hecho, se debe verificar computacionalmente si los posibles ‘candidatos’ a número primo realmente lo son.
Sin embargo, hay ciertos números primos que siguen determinadas fórmulas matemáticas. (Ojo, esto no quiere decir que todos los números que siguen dichas fórmulas sean necesariamente primos). En algunas ocasiones, esto implica curiosas propiedades matemáticas, como veremos a continuación.
Primos de Mersenne
Un número de Mersenne es de forma N = 2p – 1, donde p es primo. No todos los números de Mersenne son primos, de hecho, sólo se conocen 47 primos de Mersenne. Sucede algo interesante: los nueve mayores números primos que se conocen son de Mersenne. ¿Por qué?
Para empezar, sólo podemos encontrar un primo de Mersenne a partir de otro primo. Esto ya reduce sensiblemente nuestro campo de búsqueda. Pero además, la fórmula de los números de Mersenne es muy simple, y esto supone que hay algoritmos de búsqueda relativamente sencillos.
En concreto, el más famoso es el algoritmo de Lucas-Lehmer. N = 2p – 1 es primo si y sólo si es divisor de Sp-2. Los términos de la sucesión Sj se definen por Sj = Sj-12 – 2, con S0 = 4.
Existe un interesante proyecto de computación colaborativa, llamado GIMPS (Great Internet Marsenne Prime Search), en la que miles de usuarios de todo el mundo colaboran en la búsqueda de primos de Marsenne instalando un programa en su ordenador. No hace falta el supercomputador más potente del mundo, como intuían algunos de nuestros lectores en la anterior entrada. En este caso, la unión hace la fuerza.
De hecho, los nueve primos más grandes conocidos hasta la fecha han sido gracias a la fundación GIMPS, es decir, gracias a miles de usuarios anónimos cediendo una pequeña parte de la potencia de su ordenador para hacer estos cálculos.
Nos podríamos preguntar cuál es la utilidad real de encontrar números primos cada vez más grandes en lugar de dedicar recursos informáticos a otras cosas. Como bien dijo alguno de vosotros en los comentarios del post anterior, los números primos son muy útiles para cifrar información, y cuanto más grandes, mejor. Si usásemos números compuestos, se podría de hecho descomponer el problema en varios problemas más sencillos y mucho más fáciles de resolver.
Primos de Fermat
Son de la forma N = 22n+ 1. Sólo se conocen cinco primos de Fermat: 3, 5, 17, 257 y 65537. Estos números tienen una propiedad geométrica muy curiosa: un polígono regular de n lados se puede construir de forma directa con regla y compas si y sólo si n = 2k·p, donde k es cualquier número entero no negativo y p es un primo de Fermat. Así que no intentéis buscar un método directo para dibujar el heptágono regular, ya que 7 no cumple la condición.
Primos de Sophie Germain y primos seguros
Un número p es un primo de Sophie Germain si es primo y además N = 2p + 1 también es primo. Por ejemplo, el 11 lo es ya que 11·2 + 1 = 23 es primo. En este caso, al número N (por ejemplo, 23) lo llamaríamos ‘primo seguro’. Este nombre se debe a que dicho tipo de primos es útil en aplicaciones de criptografía y cifrado. Salvo el 5 y el 7, no existe ningún primo seguro que sea además de Mersenne o de Fermat (los primos de Fermat, comparativamente, serían ‘menos seguros’ ya que derivan de una fórmula matemática concreta en la que no intervienen otros números primos).
Primos de Euclides
Son los números de forma p# + 1. El número p# es el llamado primorial de p. Sólo un número primo puede tener primorial. El primorial de p estaría formado por el producto de p por todos los primos menores que él. Por ejemplo: el primorial de 5 sería 5# = 5·3·2 = 30. Si nos fijamos en el número primo 31, resulta que 31 = 30 + 1 = 5# + 1, por tanto 31 es un primo de Euclides.
Estos primos están directamente relacionados con la demostración de la infinitud de los números primos dada por Euclides y que vimos en el primer post sobre números primos.
Primos gemelos
Son parejas de primos que están separados por sólo una unidad. Por ejemplo, 3 y 5, ó 17 y 19. Una de las grandes cuestiones de la teoría de números es precisamente saber si existen infinitas parejas de primos gemelos. Intuitivamente, uno tendería a pensar que la aparición de primos es cada vez menos frecuente a medida que los números se van haciendo mayores, por lo tanto debería ser cada vez más difícil encontrar dos primos separados tan solo por una unidad.
La pregunta es, ¿existe realmente algún momento en el que ya no podamos encontrar primos gemelos? no se sabe, pero la mayoría de hipótesis suponen que existen infinitas parejas de primos gemelos. Aunque esto choque con la intuición, concuerda con las sorprendentes propiedades de la distribución de números primos.
Veremos esto en la cuarta entrega de la serie, pero antes, en el siguiente post, seguiremos viendo más tipos de primos. En este caso, nos acercaremos de un modo informal y veremos números con propiedades curiosas y divertidas.
Imagen | Número de dígitos de los primos de Mersenne conocidos
En Genciencia | Los díscolos números primos (I)
Comentarios
Muy interesante, realmente me extraña que existan tantas formulas de números primos y sin embargo sean pocos los números primos que coinciden entre ellos.
¿A qué se debe eso Ignacio? La lógica nos dice que si con una fórmula hallo números primos con otra fórmula que halle número primos debería también hallar los anteriores, y sin embargo no ocurre así en muchos casos, si no más bien al contrario, tan sólo coinciden unos pocos.
El quinto numero primo de fermant (n=4) es 65537 no 63537
Primero disculpas por el comentario anterior en el que decía que los números primos no sirven para nada sin antes informarme un poco. lo que decía acerca de computadores poderosos es en base a la intuición, un procesador común y corriente basado en Windows es bastante pobre para procesar operaciones entre números.
Un profesor me decía que es diferente en Linux debido a la estructura diferente del sistema operativo. Por otro lado disculpas nuevamente e intentaré no hacer comentarios negativos en temas en los que tenga poco interés.
@1 No se trata de que determinadas fórmulas 'produzcan' números primos, sino que determinados números primos siguen ciertas fórmulas y eso implica ciertas propiedades interesantes. Es decir, por ejemplo, no es que la fórmula de Mersenne sirva para obtener primos, sino que los primos que cumplen la formula de Mersenne tienen propiedades interesantes.
@2 gracias por estar atento a los errores tipográficos, corregido!
@3 Nadie se tiene que disculpar aquí por verter sus opiniones (aunque sean negativas, creo que los números primos no se ofenden ;)) y mucho menos, nadie se tiene que disculpar por expresar dudas. Así que gracias por colaborar y no tengas ningún reparo en seguir haciéndolo con toda la libertad ;)
Tengo una duda, si nuestra base de numeración no fuese la decimal, sino otra, existirian los numero primos o es una condición de la base que se use ????... mi intuición me dice que deberian haber números que posean esas cualidades no importa la base, pero la realidad no tengo la mas remota idea....
@5 buena pregunta. Los números primos son siempre primos. Por ejemplo, "17" es primo siempre. En sistema binario, lo escribiríamos 10001 pero seguiría siendo primo, en hexademimal 11, en números romanos XVII, etc.
Si tienes 17 canicas, sólo puedes agruparlas en un grupo de 17 ó 17 grupos de 1. Da igual como representes el concepto de tener 17 unidades (canicas en este caso). En cambio, por ejemplo 16 canicas las podrías agrupar también en 2 grupos de 8, 4 grupos de 4 u 8 grupos de 2.
Los primos gemelos, a mi me parece que existn infinitamente ya que revisando el conjnto de los números primos me he dado cuenta que existen 2 conjunto de números candidatos a ser primos según la siguiente formulas, con hueco de 2, donde p inicia en 1 y x valor no primo:
6p-1 6p+1
5 7 gemelo
11 13 gemelo
17 19 gemelo
23 x
29 31 gemelo
x 37
-- editado por última vez a las 05:34
Casi me da un sincope cuando lo leo de la tremenda contradicción que he encontrado; por un instante creí que lo había refutado... luego vi que lo habías mal formulado. Vayamos al grano:
Dices que: "un polígono regular de n lados se puede construir de forma directa con regla y compás si y sólo si n = (2^k)·p, donde k es cualquier número entero no negativo y p es un primo de Fermat."
Si esto fuese cierto, los cuadrados no serian construibles, y mi experiencia me dice que si lo son. Aun así, supongamos que soy un neonato en estas artes y me creo esta sentencia a raja tabla. Entonces, llegaría a una contradicción fácilmente mediante el siguiente argumento:
"tomando k=0, p=3, deducimos que los triángulos son construibles. Mediante traslaciones, rotaciones,... podemos construir un cuadrado mediante dos triángulos rectángulos isósceles"
Como seguramente ya te habrás dado cuenta, el error se haya en que en el enunciado falta la disyuntiva "o si es una potencia de 2". Más concretamente, el enunciado correcto dice así, sino me equivoco yo también: "un polígono regular de n lados puede ser construido con regla y compás si y sólo si n es, o bien una potencia de 2, o bien el producto de una potencia de 2 y primos de Fermat distintos entre sí."
Aunque parezca que no, la cantidad de polígonos construibles según una u otra proposición es bastante diferente(pobres arquitectos y dibujantes en general: les habías dejado casi sin herramientas y formas que usar!). Me sorprende que no te dieras cuenta, que no te extrañara(ni a ti, ni a ninguno de tus lectores: impensable!).
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