Alfonso Jiménez
Durante 2006 se habló bastante de la conjetura de Poincaré. Aunque no está relacionado directamente, hoy me gustaría hablar de los simplex. Para que se entienda fácilmente, un simplex o n-simplex es análogo a un triángulo en n dimensiones. Por ejemplo, un 0-simplex es un punto, un 1-simplex un segmento, un 2-simplex un triángulo, un 3-simplex un tetraedro, un 4-simplex un pentácoron, un 5-simplex un hexatetron... Con una defición matemática un tanto más rigurosa, tenemos que un simplex es la envoltura convexa de un conjuto de (n+1) puntos independientes afines en un espacio euclidiano de dimensión n o mayor (por ejemplo, un conjunto de puntos tal que ningún m-plano contenga más de m+1 de ellos, así que se puede decir que dichos puntos están en posición general). Un simplex regular es también un politopo regular. Un n-simplex regular puede ser construido a partir de un (n-1)-simplex regular conectando un nuevo vértice a los vértices originales por la longitud común del lado.
La envoltura convexa de cualesquier subconjunto no vacío que defina un n-simplex se denomina cara del simple. En particular, la envoltura convexa de un subconjunto de tamaño m+1 (de n+1 puntos definidos) es un m-simplex, denominada m-cara del n-simplex. 0-caras se llaman vértices, las 1-caras lados, las (n-1)-caras se llaman facetas, y la única n-cara es el n-simplex en sí. En general, el número de m-caras es igual al coeficiente binomial C(n + 1, m + 1). Por lo tanto, el número de m-caras de un n-simplex puede hallarse en la columna (m + 1) de la fila (n + 1) del Triángulo de Pascal.
Aunque todos los n-simplex se pueden encontrar embedidos en el conjunto Rn es más simétrico considera un simplex en un espacio dimensional n+1. El n-simplex estándar es el subconjunto de Rn+1.
Quitando la restricción ti ≥ 0 en la condición anterior da una n-dimensional subespacio afín de Rn+1 conteniendo el estándar n-simplex. Los vértices del estándar n-simplex son los puntos:
e0 = (1, 0, 0, …, 0), e1 = (0, 1, 0, …, 0), ... en = (0, 0, 0, …, 1).
Ese es un mapa canónico desde el estándar n-simplex para un arbitrario n-simplex con vértices (v0, …, vn) dado para
Los coeficientes ti son llamados coordenadas baricentricas de un punto en el n-simplex. Este simplex general es a menudo llamado n-simplex afín, para enfatizar el mapa canónico es una transformación afín. A veces también es llamado n-simplex afín orientado para enfatizar que el mapa canónico puede ser de orientación preservada o revertido.
El volumen de un n-simplex estándar es
y el volumen general para un n-simplex regular con una única longitud de cara es
