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El problema de la Aguja de Buffon

El problema de la Aguja de Buffon
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La aguja de Buffon es un problema de probabilidad geométrica planteado y resuelto en 1777 por el matemático y naturalista francés Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon. El problema se presenta con un plano dividido en rectas paralelas equidistantes a una unidad m y con una aguja de longitud l tal que l ≤ m. El problema demuestra que la probabilidad de que la aguja corte alguna de las rectas es aproximadamente 2/π. Para determinar la probabilidad arrojaremos al azar la aguja sobre el plano trazado. Podrá darse dos casos: que la aguja corte alguna recta o que no cruce ninguna. Cuando no cruce (caso 1) tomaremos la distancia s como la longitud desde el punto medio de la aguja hasta la paralela que se encuentre más próxima y cuando se produzca una intersección (caso 2) definimos α que será el ángulo que forma la aguja con la paralela.

Obtenemos una variable aleatoria (α, s) que su valor dependerá del caso. Sus valores quedan definidos en los intervalos (0≤α≤π) y (0≤s≤m).

Vamos a describir matemáticamente la probabilidad de que se produzca el caso 2, es decir, que la aguja corte a una paralela. La probabilidad p es el área de la sinusoide dividido entre el área del rectángulo [0,π]x[0,m] (cociente entre casos dados y casos posibles).

Probabilidad

Si resolvemos la integral obtenemos como resultado final

Probabilidad

En la ecuación podemos sustituir p por C/L, dónde L será el número de lanzamientos realizados y C el número de cruces de la aguja con una recta. Si despejamos podemos obtener una aproximación de π que quedaría de la siguiente forma

Aproximación de Pi

Si se da el caso de que la aguja tiene el tamaño máximo (l=m) tenemos que

Aproximación de Pi

Aquí tenéis los resultados de un experimento que he realizado a partir de este método usando una aguja de la misma longitud que la distancia entre las líneas paralelas. Vemos que el cociente entre lanzamientos (11700) y el número de cruces (7444) se aproxima bastante a π/2.

Prueba

Más información | Applet simulador del problema de la Aguja de Buffon Más información | El Problema de la Aguja de Buffon en la Wikipedia

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