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¿Cuántas veces hay que barajar las cartas para que se mezclen adecuadamente?

¿Cuántas veces hay que barajar las cartas para que se mezclen adecuadamente?
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En 1955, un informe técnico redactado por un matemático de Bell Labs, Edgar Gilbert, esbozaba el primer modelo matemático sobre cómo debían mezclarse las cartas para que se mezclaran de forma aleatoria.

Según Gilbert, una baraja contiene una cantidad de información cuantificable. Por ejemplo, podemos pensar en que cada carta es un número o una letra: en función de cómo organicemos la baraja obtendremos diferentes mensajes.

La forma más frecuente en la que barajamos un mazo de cartas consiste en cortar la baraja en dos montones aproximadamente iguales, tomar cada uno de ellos en una mano e ir soltando las cartas con tus pulgares desde debajo de los dos montones alternativamente, entrelazándonos. Es lo que se conoce como mezcla americana.

Imaginemos que barajamos 8 cartas ordenadas del as al 8 de picas. Las cartas ya no estarán en orden, pero aún podremos distinguir las dos secuencias originales. La mezcla americana entrelaza las dos secuencias, pero no desordena las cartas dentro de cada secuencia. El as precede siempre al dos, el dos siempre precede al tres, el tres, el tres siempre precede al cuatro y así en adelante. Tal y como explica Alex Stone en Engañar a Houdini:

Al barajar solo una vez se dobla el número de las llamadas “sucesiones crecientes”. Estas son secuencias que siempre van en aumento (…) Barajar una vez produce una combinación de al menos dos sucesiones crecientes, y cada vez que se vuelven a mezclar las cartas como mucho se dobla dicho número. Si barajas dos veces, por ejemplo, la combinación resultante contendrá como mucho cuatro sucesiones crecientes. Después de barajar tres veces obtienes un máximo de ocho, y así en adelante. No siempre se duplica, porque por el camino se pierden algunas aleatoriamente, pero nunca podrás terminar con más del doble de sucesiones crecientes que en el momento anterior. Esto es siempre así sin importar el número de cartas que emplees, ya sean ocho u ocho millones. Como resultado, el número de sucesiones crecientes que existan es como un barómetro que te indica el nivel de minuciosidad con el que se ha mezclado una baraja.

Persi Diaconis
Persi Diaconis
El número de veces que debían mezclarse las cartas para que se produjera de verdad un orden aleatorio se ignoraba hasta que se puso a investigarlo Persi Diaconis, un matemático de Stanford especializado en coincidencias (y ex mago). Empleando teorías estadísticas y de análisis de probabilidad, Diaconis transformó el concepto original de Bell Labs en un nuevo modelo que se testeó mediante simulaciones por ordenador que mezclaban barajas virtuales miles de millones de veces y después analizaban los resultados.

El resultado fue que mezclar una baraja convenientemente requería una media de siete mezclas. Mucho más de lo que se había sospechado hasta ese momento.

Antes de que Bayer y Diaconis publicaran sus resultados, lo normal en la industria internacional de los casinos era barajar tres o cuatro veces antes de empezar el juego, incluso en los casos de grandes apuestas. Nadie dudó jamás que esto fuera lo adecuado. Pero con su trabajo, los dos matemáticos descubrieron un enorme fallo de seguridad en los casinos. (…) Bayer demostró que podías ganar a la banca legalmente mediante la explotación de una persistente falta de aleatoriedad en las cartas, resultado de haber mezclado pocas veces.

Foto | Søren Fuglede Jørgensen | Italian Playing Cards

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