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¿Cómo la geometría ayuda a poner cámaras de vigilancia en un recinto?

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Imaginad que debéis plantearos la instalación de cámaras de vigilancia en un museo lleno de obras de arte muy jugosas para los ladrones de guante blanco. Lo que pretendéis, pues, es que ninguna zona del museo quede ciega.

Para proceder a ello tenéis dos alternativas. La primera es la bestia, sin importaros el dinero que vais a gastar: poner cámaras en todos lados, sin ton ni son, de manera redundante y disparatada.

Pero si queréis ser un poco más lógicos y gastar lo menos posible, entonces lo mejor es usar la geometría. Una herramienta que también se usa para escoger la distribución de guardias, la iluminación, los detectores de humo, etc.

Ante cualquier planta poligonal, basta con una sola cámara instalada en un único vértice (aunque el polígono sea cóncavo, con entradas). Pero esta solución sólo funciona en polígonos con 3, 4 o 5 lados.

Para los polígonos con 6 o más lados, entonces hacen falta más puntos de control.

Victor Klee en 1973 ya conjeturó (y con razón) que para polígonos con n vértices (n ≥ 6) se precisan el entero más cercano por exceso a n/3. Para determinar estos puntos de control (siguiendo el llamado método de Fisk) se procede de la siguiente manera: dado el polígono, éste se divide en triángulos entre sus vértices. Escogido un triángulo se le asignan a cada vértice un color diferente y fijada ya esta terna de colores se colorean con ellos los otros triángulos. Entonces los controles, cámaras, guardias, etc., deben asignarse a los vértices del color que sea el menos repetido.

Tenedlo en cuenta si pensáis en fugaros de alguna cárcel que use este sistema de distribución de cámaras o guardias.

Vía | Vitaminas matemáticas de Claudi Alsina

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