Desde Euclides, los matemáticos siempre han intentado formular una serie de verdades absolutas e incontrovertibles, llamados “axiomas”, para luego deducir de ellos toda clase de conclusiones útiles. Pero con el teorema de Gödel las cosas cambiaron. Gödel utilizó el rigor de las matemáticas para demostrar, sin lugar a dudas, que las matemáticas mismas son incompletas.
Pero vayamos por partes. Para enunciar axiomas hay una serie de reglas. Primero: los axiomas deben ser los menos posibles. Y segundo: tiene que ser imposible deducir de ellos dos conclusiones que se contradigan mutuamente.
En los manuales de matemáticas de cualquier colegio ya empezamos a aprender los primeros axiomas. El más conocido, sin duda, es el de “por dos puntos cualesquiera sólo se puede trazar una recta” o “el total es la suma de las partes”. Los matemáticas, pues, son una gozada, porque, a diferencia de otras disciplinas del conocimiento, con ellas sí parece que podamos llegar a verdades absolutas, a la sabiduría de verdad.
Pero la realidad no es tan bonita. Durante muchos años se creyó que los axiomas de Euclides eran los únicos que podían constituir una geometría consistente. La únicas verdades a las que podíamos agarrarnos. Pero en el siglo XIX se demostró que modificando de cierta manera los axiomas de Euclides se podían constituir geometrías diferentes y también consistentes. A partir de ese momento, la gente ya no sabía cuál de esas geometrías era la verdadera.
Tal vez la pregunta no debería cuál es la verdadera sino cuál es la útil. Porque conjuntos de axiomas a partir de los cuales puedan surgir sistemas matemáticos consistentes hay muchos, y todos ellos son distintos entre sí. Esto va en contra de una de las reglas sobre los axiomas: que no pueden contradecirse mutuamente.
Pero imaginad el siguiente enunciado: “El enunciado que estoy haciendo es falso“.
Si es falso, entonces es falso que estoy diciendo algo falso y tengo que estar diciendo algo verdadero. Pero si estoy diciendo algo verdaero, entonces es cierto que estoy diciendo algo falso y sería v edad que estoy diciendo algo falso. Y así hasta el infinito. Es imposible demostrar lógicamente que mi enunciado es o así o no así.
Otro enunciado de las mismas características lo pronunció Sócrates: “Yo sólo sé que no sé nada“.
Pensaréis que este tipo de frases son tramposas y que la realidad no se comporta de esta forma.
En 1931, el matemático austríaco Kurt Gödel, con sólo 25 años, publicó un artículo titulado Sobre proposiciones formalmente no decidibles en Principia Mathematica y sistemas relacionados. Allí demostraba que para cualquier conjunto de axiomas siempe es posible hacer enunciados que, a partir de esos axiomas, no puede demostrarse ni que son así no que no son así. En ese sentido, es imposible elaborar jamás un conjunto de axiomas a partir de los cuales se pueda deducir un sistema matemático completo.
No os asustéis. Esto no significa que no podamos llegar nunca a la verdad. Significa que el sistema matemático nos será útil siempre que no lo empleemos más allá de sus límites. Gödel nos descubrió que la verdad es una categoría superior a la demostrabilidad. Y, por otra parte, el teorema de Gödel sólo se aplica a sistemas deductivos del tipo que se utiliza en matemáticas. Nos demuestra que el sistema matemático más perfecto que podamos conseguir, con un número finito de axiomas y reglas de inferencia, es incapaz por principio de probar la verdad/falsedad de enunciados que nosotros, desde fuera del sistema, advertimos sin problemas.
Pero, afortunadamente, la deducción no es la única manera de descubrir la verdad.
Más información | Cien preguntas básicas sobre ciencia, de Isaac Asimov / La bella teoría
Comentarios
Curioso, pero corrijan los fallos en la escritura por favor, que se hace incomodo de leer.
Muy interesante este post. Aunque, bajo mi punto de vista, no creo que las matemáticas sean incompletas si no que somos nostros los que hacemos un uso icompleto de las mismas.
Enhorabuena por el cambio de \"look\".
Las matemáticas SÍ son incompletas como ciencia humana, y Gödel lo demostró.
Hay un maravilloso libro de intriga llamado "En busca de Klingsor" de Jorge Volpi en el que se explica muy bien la trascendencia de la afirmación de Gödel y el trauma que supuso a principios del siglo XX descubrir que las matemáticas y la física estaban aún en pañales. Por una rama por la demostración de las limitaciones de las propias matemáticas, y por otra por los descubrimientos en física cuántica.
Lo cual hace reflexionar: la ciencia actual, de nuevo pagada de sí misma y con respuestas para todo, tendrá que sufrir otro vapuleo como el de hace un siglo como lección de humildad.
Excelente entrada.
Una de las aplicaciones más inmediatas del teorema de Göedel es que no se puede saber a priori si un resultado es cierto o falso y que hay resultados ciertos que jamás se podrán demostrar y falsos para los cuales no se podrá encontrar un contrajemplo. (Esto es algo que los que hacemos una tesis en matemáticas tratamos de no pensar).
Este problema se muestra en el libro \"El tío Petros y la Conjetura del Goldbach\" (Conjetura de Goldbach: todo numero par es suma de 2 primos)
No sé si Gödel se volvió loco por lo que demostró o gracias a su locura fue capaz de demostrar la incompletitud.
(Me gusta mucho la nueva apariecia)
Las matemáticas son exactas. Pero las matemáticas jamás conducirán a un humano a la verdad, porque el humano piensa palabras, no cifras, y las palabras son inexactas y muy ambiguas.
Por eso, porque somos capaces de entender casi todo lo que nos dicen otros humanos, es fascinante la mente humana.
Por eso, por mucha capacidad de cálculo numérico que tenga un macrocomputador, nunca entenderá lo que es un sentimiento.
Eso me dice dos cosas. Una, la mente humana es prodigiosa, y más lo es la madre naturaleza (o Dios, si queréis, xD xD) por crear una cosa como la neurona.
Dos, el día que inventemos un ordenador con neuronas de verdad, fliparemos... Nos van a dominar.
Un poco apocalíptico, ¿no? A propósito:
"Chuck Norris no es uno de los jinetes del Apocalipsis. Él prefiere ir en todoterreno."
5# Il Tifossi
Estoy de acuerdo con que las matemáticas no puedan conducirnos a una verdad absoluta, como bien explica el post, utiliza axiomas que son unos, pero podían ser otros (y esto nos llevaría a una matemática diferente).
Aun así, no comparto la opinión tuya de que el humano piense palabras. Puede que no quisieses decirlo así, pero te he entendido que pensamos palabras intrínsecamente. Yo intentaría dejar claro que pensamos palabras porque se nos ha educado así, porque el lenguaje ha sido la herramienta que nos han enseñado a utilizar para pensar, leer, expresarnos. Pero, ¿y si no se nos hubiese enseñado?, ¿cómo piensan los niños pequeños? Yo opino que sí pueden pensar (no en la misma medida) pero no utilizan el lenguaje; supongo -y digo supongo porque no me acuerdo- que lo que ronda su cabeza son sus estados físicos y anímicos, los impulsos de la naturaleza, y los nexos de unión (con la madre, etc).
Volviendo al tema, yo creo que si queremos conocer algo tendrá que ser de alguna manera imprecisa: midiendo -"medir es equivocarse"-, "matematizando", utilizando el lenguaje, la ciencia experimental. No llegaremos a verdades absolutas (aunque las matemáticas en sí, pese a su base no tan sólida sean racionales), pero la verdad (tanto relativa como parcial) a la que se llegaría debería de ser suficiente. Asimismo, se debería siempre contemplar la posibilidad de que nuestra "verdad" podría no serlo (por haber cometido errores, utilizado matemática no euclidiana, etc).
Debemos ser inconformistas pero sin llegar a los extremos, tenemos que conseguir que lo que decimos, pensamos o intentamos conocer sea lo más preciso posible, pero teniendo en cuenta que el ser humano erra, se equivoca, y que nuestras herramientas no nos pueden llevar a la verdad absoluta.
Muy interesante el post Sergio, os sigo desde hace ya tiempo.
Yo, por caso, sin ir más lejos, he llegado matemáticamente a una verdad incontestable a partir del sistema cartesiano:
1) \"Pienso, luego existo.\" (Descartes)
2) Las rubias tontas no piensan.
3) Luego, las rubias tontas no existen.
4) Mi amigo dice que no es mariquita porque sale con una rubia inteligente.
5) Si una rubia inteligente saliese con mi amigo sería una tonta.
6) Como las rubias tontas no existen, mi amigo no sale con nadie.
Conclusión: mi amigo es mariquita!!!.
Saluditos. ;))))
El mundo, todo lo que conocéis y creéis saber es una paradoja, y esto es incontestable, lo que vuelve a ser un paradoja...
Eso son las matemáticas. Eso es la lógica. Eso es lo que sucede cuando tratas de llegar a la esencia de las cosas. Eso es el teorema de Gödel. Eso es la locura. Eso es lo absurdo de la vida. Eso es el tao. Eso representa el Ying-Yang. Esto contiene el Om, lo que no puede ser nombrado.
Es lo que sucede cuando buscas la esencia de la esencia, lo último, lo incontestable y lo encuentras y te das cuenta que te has contradicho a ti mismo, y entonces te ríes no te puedes reprimir.
Eso es la masa y la energía, lo mismo, 2 manifestaciones diferentes. Es como buscar el extremo en el círculo, cuando tratas de llegar te das cuenta que estás en el lado opuesto. Y así es la recta ideal, la infinita la que carece de extremo... porque es un círculo.
Estoy diciendo exactamente lo mismo de 20 maneras diferentes, porque lo que trato de expresar no es lógico, lo trasciende.
¿Y tú? ¿Lo comprendes?
¡Increible!
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