¿Cuánta potencia desarrolla un aerogenerador? (I)

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Aerogenerador

La energía eólica está en pleno crecimiento y se consolida como una alternativa para la obtención de electricidad de una forma respetuosa con el medio ambiente. Los aerogeneradores, que adornan cada vez más paisajes, son los molinos que transforman la energía del viento en electricidad.

El viento, como todos sabemos, es aire en movimiento. Y al haber movimiento, hay energía cinética. La energía cinética depende de la masa y la velocidad, de forma 0,5·m·v². La velocidad del aire es fácil de evaluar, pero debemos determinar cuál es la masa de aire que atraviesa el aerogenerador. Para ello, calcularemos su volumen y lo multiplicaremos por la densidad.

Considerando que las aspas del molino giran y forman un círculo, la masa de aire que cruza el aerogenerador tendrá forma de cilindro. ¿Cuál es la energía cinética contenida en dicho cilindro? Para calcularlo, supongamos un periodo de tiempo arbitrario t, durante el cual asumimos que la velocidad v permanece constante.

La base de nuestro cilindro imaginario será el área del molino, que como bien sabemos es π·r², siendo r la longitud de las aspas el radio de la circunferencia (que es igual a la longitud de las aspas más el radio del rotor). Por su parte, la altura del cilindro será la distancia recorrida por el aire en el tiempo t, que evidentemente será v·t.

Y como el volumen del cilindro es base × altura, tenemos que V = π·r²·v·t (no confundir la V de ‘volumen’ con la v de ‘velocidad’). Por otro lado, la masa de aire que cruza el aerogenerador es igual al volumen × densidad del aire. Llamaremos ρ a la densidad (su valor es aproximadamente 1,29 kg/m³, pero depende de muchos factores, por ejemplo la altitud sobre el mar).

Ya vamos obteniendo resultados: la energía cinética del aire que barre el aerogenerador es 0,5·m·v² = 0,5·(V·ρ)·v² = 0,5·(π·r²·v·t·ρ)·v² = 0,5·π·ρ·r²·v³·t. ¡La energía depende cúbicamente de la velocidad del aire! es decir, que pequeños aumentos de velocidad del aire pueden suponer grandes incrementos de la electricidad obtenida.

Ahora hay que tener en cuenta que la transformación de energía cinética en eléctrica no es perfecta. Los sistemas reales nunca son ideales, tienen pérdidas e imperfecciones, y por tanto hay que considerar un factor de rendimiento al que llamaremos η y que siempre será, por definición, menor que 1 (típicamente suele valer alrededor de 0,5, es decir que el rendimiento suele estar en torno al 50%).

Tenemos en nuestra ecuación un factor incómodo, que es el tiempo t. La energía obtenida, obviamente, depende del tiempo que permanezcamos midiendo. Por eso, la potencia es una magnitud mucho más adecuada, ya que no depende del tiempo. La potencia es igual a la energía dividida por el tiempo. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos:

P = (η·0,5·π·ρ·r²·v³·t) / t = η·0,5·π·ρ·r²·v³.

Por hacer la ecuación algo más ‘vistosa’ podemos agrupar κ = η·0,5·π. El factor κ será siempre constante para cada aerogenerador, dependiente de las características técnicas del mismo. Tendrá un valor típico en torno a 0,8. Por tanto, ya hemos llegado al final del camino. La potencia eléctrica obtenida por un aerogenerador es:

P = κ·ρ·r²·v³

Esto ha sido la teoría, en el siguiente post analizaremos las implicaciones prácticas de estos resultados.

Actualización: Hemos corregido un pequeño detalle sobre el radio r, se trata del radio de la circunferencia barrida, y por tanto no es la longitud de las aspas, sino un poquito más (ya que hay que sumar el radio del rotor). Para evitar este tipo de ambiguedades, a verces se usa el diámetro D y la fórmula queda P = κ´·ρ·D²·v³, donde κ´= η·0,5·π.

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