En la anterior entrega de la serie prometíamos habloar de una de las grandes cuestiones sin resolver de las matemáticas, que está relacionada con los números primos. Como quizá muchos hayáis adivinado, me refería a la…
Conjetura de Goldbach
En 1742, el matemático prusiano Christian Goldbach le propuso a su homólogo Euler la siguiente conjetura:
Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos
Euler contestó que lo consideraba como un teorema completamente cierto, pero que no podía probarlo… ni nadie lo ha logrado hasta hoy. Por eso, sigue siendo una conjetura.
De momento, se ha comprobado empíricamente, com métodos de computación distributiva, que todos los pares menores que 1018 cumplen la conjetura. Estadísticamente, sería toda una sorpresa que algún número mayor no cumpliera la conjetura, ya que (como se aprecia intuitivamente) cuanto mayor es el número más posibilidades existen de descomponerlo en sumandos primos.
La imagen que ilustra la entrada precisamente muestra la cantidad de posibilidades que tenemos para escribir un número par (entre 4 y 1000) como suma de dos primos. Bajo estas líneas, tenemos la misma imagen pero llegando hasta un millón.
Se aprecia la tendencia de que cuanto más grande es el número más posibilidades existen de escribirlo como suma de dos números primos. De hecho, del Teorema de los Números Primos se puede llegar a la conclusión de que el número de posibles combinaciones de dos sumandos primos para un número par n sería del orden de n / (2·ln2n).
Con estos datos en la mano, sería una rareza estadística de gran magnitud pensar que podemos encontrar un número par mayor que 1018 que no cumpla la conjetura de Goldbach (comparable a la de los infinitos monos que aporrean aleatoriamente máquinas de escribir, y que consiguen escribir, por completo azar, una obra de Shakespeare). Y sin embargo, aunque la probabilidad sea minúscula, técnicamente es posible hasta que alguien demuestre fehacientemente lo contrario.
Remarcamos un detalle: los dos primos a los que se refiere el teorema no tienen por qué ser necesariamente distintos, puede ser el mismo sumando repetido, por ejemplo 4 = 2+2. Además, 4 es el único caso donde puede aparecer el sumando 2 (¿por qué? os lo dejo como pasatiempo, es muy fácil). De modo que podríamos modificar el teorema del siguiente modo:
Todo número par mayor que 4 puede escribirse como la suma de dos números primos impares
Conjetura débil de Goldbach
Se trata de una hipótesis que Goldbach formuló previamente a la anterior. Asegura que
Cualquier número impar mayor que 7 se puede escribir como la suma de tres números primos impares
Se le llama ‘débil’ porque puede ser demostrada a partir de la original (o ‘fuerte’), pero no al contrario. Si suponemos válida la conjetura fuerte, es muy sencillo: como cualquier número par mayor que 4 puede ser escrito como suma de dos primos impares, sumando el 3 (que es otro primo impar) obtendremos cualquier número impar mayor que 7.
Se ha demostrado matemáticamente que la conjetura débil es cierta para números mayores que 101346. Bastaría comprobar todos los impares menores para darla como válida y convertirla en teorema. Sin embargo, este número es demasiado grande como para intentar comprobaciones de fuerza bruta.
Se ha demostrado también que la Hipótesis Generalizada de Riemann implica la conjetura débil de Goldbach. Esto reduciría mucho el campo de búsqueda. Pero la hipótesis de Riemann es precisamente otra de las grandes incógnitas de las matemáticas, tan difícil de demostrar como la de Goldbach.
Demostración de la conjetura de Goldbach
Aunque nadie ha dado con la clave de una demostración universal, son muchos los matemáticos que dedican sus investigaciones a ello, y han alcanzado resultados prometedores. Lo que sí ha quedado demostrado es que la proporción de números que pudieran no cumplir la conjetura tiende a cero a medida que avanzamos hacia cantidades más grandes.
En la literatura, sin embargo, son varias las menciones a matemáticos que creen haber demostrado la conjetura. La novela griega ‘El tío Petros y la conjetura de Goldbach‘ alcanzó fama mundial cuando los editores de la traducción inglesa ofrecieron un millón de dólares a quien pudiese demostrar la conjetura en un plazo de dos años. El premio quedó desierto.
La sorprendente película española ‘La habitación de Fermat‘ está protagonizado por un joven matemático que cree haber demostrado la conjetura pero al que le han robado los papeles donde contenía sus cálculos.
Sin embargo, libros y películas al margen, el problema continúa sin resolver. En el próximo capítulo, continuaremos por esta senda de misterios matemáticos.
Imágenes | Wikimedia Commons
Más información | Herramienta para descomponer números en dos sumandos primos
En Genciencia | Los díscolos números primos (I), (II), (III), (IV), (V), (VI).
Comentarios
Este es uno de esos típicos casos en que por los procedimientos que deben llevarse a cabo para la comprobación, no lo podemos dar por válido, pero la lógica y la experiencia, nos dicen que es así con toda seguridad.
La cuestión aquí es en estos casos, que se debe hacer, ¿dejarlo abierto por siempre mientras calculamos números hasta el infinito, o le hacemos caso a la lógica que nos dice a gritos que es correcto?.
@1 Como ya decía Euler hace casi tres siglos, creo que lo podemos considerar como un teorema válido desde el punto de vista práctico. Resolver el dilema tiene interés desde el punto de vista teórico (y no cabe duda de que allí esperan la Medalla Fields o el Premio Abel para el que lo haga). Las probabilidades de encontrar un contraejemplo (suponiendo que este existiese) son tan pequeñas que no merece la pena llegar a considerarlo. Te puedes entretener un rato en http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/num... probando números, para ver si encuentras la excepción y te haces famoso :)
Si, bueno, considerando las posibilidades, mejor al casino..xD
la respuesta a xke no puede aparecer 2 de sumando, es xke de lo contrario tendrias ek sumar un par y ya no seria una suma de primos, aunke lo mas probable eske la mayoria lo supiera; lo pongo solo x si acaso.
Es interesante esto de los numeros primos, aunke me parece ke cada vez deja de ser tan aleatorio como pense y se toman patrones para estos, me gustaria ver algun dia un patron absoluto el cual no importa si solo lo es capaz de realizar una super-computadora, aunke; apra demostrarlo habria ke alcanzar los limites de los numeros como tales, y por ahora lo veo un poco dificil jeje
Ahora y siempre, jamás alcanzaremos los límites de los números, por algo son "infinitos"
@4 claro, es por eso. Si aparece el sumando 2, pueden pasar dos cosas:
- Que los dos sumandos sean el 2 (entonces tenemos 2+2 = 4) - Que solo uno de los sumandos sea el 2, entonces, para obtener un par, el otro sumando debería ser par. Pero es absurdo porque el único primo par es el 2.
Bueno, eso de que "en la práctica" se puede considerar válido es una ridiculez. Las Matemáticas son exactas, y evidentemente la demostración del teorema no pasa por comprobarlo con los infinitos números primos (ya que como bien decís es imposible), sino que hay otras técnicas como por reducción al absurdo o por equivalencia con otros teoremas, entre otras muchas. ¿Con qué fin vamos a dar por válido un teorema que aún no se ha demostrado? Puede parecer que es un teorema sin importancia con fin lúdico, pero no es así en absoluto. Como bien ha dicho el autor, la hipótesis generalizada de Riemann implica la conjetura débil de Goldbach, supongamos que alguien demuestra que la conjetura de Goldbach es equivalente a la hipótesis generalizada de Riemann o a otro teormea importante que tienen infinidad de implicaciones tanto teóricas como prácticas. ¿Entonces, como "en la práctica" la conjetura de Goldbach es cierta, damos por buenos todos esos teoremas e implicaciones? ¿Y si la seguridad de millones de ciudadanos se basa en que un teorema es válido "en la práctica"? Parece ciencia ficción, pero la seguridad en internet o varias investigaciones de la NASA, entre otras muchas cosas, se basan en importantes teoremas matemáticos cuyas demostraciones han sido exhaustivamente comprobadas. Saludos
@7 las matemáticas son exactas, pero sus aplicaciones no. No es que se asuman conjeturas que no han sido demostradas, es que directamente se admiten muchisimas suposiciones que son estrictamente falsas.
Te pongo un ejemplo cualquiera relacionado con mi campo, que son las telecomunicaciones. Para calcular la ganancia de una antena siempre se supone que el ruido que tenemos es aditivo, blanco, gaussiano. Esto no sólo no es cierto, sino que una señal de ese tipo es sencillamente imposible, porque tendría potencia infinita.
Pero vayamos a ejemplos más sencillos, si quieres. Todas las leyes de la física son empíricas. No hay ninguna demostración matemática (¡ninguna!) de que la fuerza de atracción gravitatoria sea G·m1·m2/(r^2). Sencillamente, se ha comprobado empíricamente que siempre es así (¿siempre? ¿a nivel cuántico también? hasta el concepto de 'siempre' es relativo). Y te aseguro que la NASA usa esa ley en sus cálculos. Y sin embargo, desde un punto de vista estrictamente matemático, no hay nada que impida que, a partir de mañana, la Tierra deje de ser atraída por el Sol.
Desde un punto de vista empírico, la conjetura de Goldbach es cierta. Hemos estudiado cientos de miles de millones de primos y en todos ellos se cumple. No sólo eso, sino que se ha demostrado (y esto sí, amtemáticamente) que probabilísticamente a medida que sigamos aumentando sería más difícil encontrar un contraejemplo. Por tanto, desde un punto de vista práctico, de aplicación (nunca desde el punto de vista teórico) se puede considerar la conjetura de Goldbach como cierta, y eso es a lo que yo me refería.
No creo que tengan mucho que ver tus ejemplos, ya que son teoremas que se basan en mediciones inexactas en los que desprecias el error de medición pero a su vez desprecias también la propagación de ese error (y eso tienes que demostrar que es despreciable). De todas formas no sé que puede aportar considerar este teorema cierto a efectos prácticos, no le veo ningún sentido, para mí o es cierto, o no lo es o es indecidible, y cualquiera de las 3 posibilidades hay que demostrarlas.
#9, pues claro, pero he ahí el quid de la cuestión. ¿Cómo comprobamos que es cierto o que no lo es, cuando la única forma de hacerlo, es revisar todos los números hasta el infinito y ver si se cumple en todos ellos, o comprobar todos los números hasta encontrar una excepción que muy posiblemente no exista?.
#10, ese es un error que estáis cometiendo unos cuantos en los comentarios. Comprobar la veracidad de la conjetura no requiere la comprobación de todos los números, sino que se puede realizar una demostración por reducción al absurdo, por inducción, por equivalencias con otros teoremas, etc. Hay varias estrategias matemáticas para demostrar un teorema, no sólo por fuerza bruta. Por poner un ejemplo simple y que ya se ha explicado en esta serie de números primos, para demostrar que existen infinitos números primos no se ha tenido que comprobar cada número, sino que se ha hecho una demostración más elegante.
#11 ya, lo dices como si fuese tan fácil realizar una demostración por reducción al absurdo, o por inducción, o por cualquier otro método. Los más grandes matemáticos llevan casi tres siglos intentándolo. Como no estamos a la altura ni de las suelas de sus zapatos, nos tendremos que conformar con menos. Y aunque la conj. de Goldbach no esté demostrada (ni quizá lo esté nunca), a efectos prácticos podemos suponer que es cierta. ¿A qué me refiero con efectos prácticos? bien, si te diesen cualquier número par, tan grande como tú quieras, podrías afirmar con mucha más certeza que ese número cumple la conjetura de Goldbach a la certeza con la que podrías afirmar que no te vas a morir en el próximo minuto. A eso me refiero. En teoría, no podemos garantizar que un primo cumple la C. Goldbach, pero en la práctica, si por ejemplo (pongamos el caso) necesitásemos un algoritmo en el cual uno de los pasos es asumir que un par se puede descomponer en dos primos, sería una pérdida de tiempo y una ineficiencia pararse a comprobarlo, directamente lo darías por asumido.
Pero bueno, una vez más, mareamos la perdiz sobre detalles semánticos insignificantes. Si te deja más tranquilo, no, la conjetura de Goldbach *no* es un teorema.
En absoluto me refería a los métodos para resolver el problema como sencillos, eso depende del problema que se vaya a abordar, y en este caso es evidente que se trata de un problema realmente complejo, ya que ha sido atacado por muchos grandes matemáticos (incluido el que probablemente sea el más brillante de todos, Euler) y jamás ha sido resuelto. Pero has de reconocer que este es un blog de carácter divulgativo, y que gran parte de la gente que postea no tiene conocimientos matemáticos suficientes y aún así le parece un tema realmente interesante. Mucha de esa gente (como demuestran los comentarios) piensa que la única forma de resolver el problema es comprobando uno a uno los infinitos números primos (algo imposible si la conjetura resulta cierta), pero no es así, existen otras estrategias para poder afirmar que la conjetura es cierta. Por eso no puede ponerse la imposibilidad de resolver el problema como argumento para decir que "en la práctica" es válida. Que puedas utilizarlo como condición en un algoritmo lo único que significa es que la probabilidad de romper tu algoritmo es pequeña. Por ejemplo, en criptografía (en el código RSA) se utiliza el hecho no demostrado de que un número no puede ser descompuesto en factores primos de manera sencilla, pero siempre va a estar expuesto a esa vulnerabilidad. Y para acabar ponerte otro ejemplo, el de la conjetura de Polya. George Polya clasificó los números en dos tipos, los de "tipo par" (que son los que pueden descomponerse en un número par de factores primos) y los de "tipo impar" (que son los que se descomponen en un número impar de factores primos). Después construyó las funciones P(n) (que calcula la cantidad de números de "tipo par" menores o iguales que n) e I(n) (que calcula los números de "tipo impar"). Con estas definiciones conjeturó que para todo n>2 I(n) es mayor que P(n). La probabilidad de que me digas un número que no cumple esta conjetura (si no lo conocías de antemano) es más pequeña que la de que me muera en el próximo minuto y no pueda publicar este post. Sin embargo, Lehman encontró un contraejemplo en n=906180359 y posteriormente Tanaka encontró el número más pequeño que cumple esta condición: n=906150257. La conjetura se formuló en 1919 y no se encontró el primer contraejemplo hasta 1962. Esto quiere decir, que en 1920 podrían haber dado por válida "en la práctica" la conjetura y utilizarla en algún importante algoritmo de la época (Turing ya tendría 8 años). Hasta 1962 nadie habría roto ese algoritmo. Eso es lo que significa "en la práctica", puede tener utilidad y mucha, pero no rigor matemático.
Hola a todos, llevo tiempo siguiendo estos geniales artículos sobre los números primos y quiero aprovechar para darle mi más sincera enhorabuena a Ignacio por su impresionante labor.
El motivo de mi comentario es plantearos una pregunta sobre los números primos que no sé si tendrá algún sentido y estoy diciendo una tontería.
El caso es que desde siempre se ha intentado descubrir algún patrón que arroje algo de luz sobre el tema de los números primos, encontrar una regularidad más homogénea, descubrir cierto orden entre tanto caos.
¿No creéis que ese caos puede ser debido a que sólo nos centramos en nuestra numeración en base 10? ¿Y si ese "patrón maestro" que le de significado a los números primos aparece al utilizar una base 14, 27... ó 348 (por ejemplo)? ¿No estamos de algún modo limitados al numerar en base 10?
Espero haberme explicado y que mi pregunta no os parezca muy absurda.
¡Un saludo!
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