Los díscolos números primos (VII)

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Conjetura de Goldbach

En la anterior entrega de la serie prometíamos habloar de una de las grandes cuestiones sin resolver de las matemáticas, que está relacionada con los números primos. Como quizá muchos hayáis adivinado, me refería a la…

Conjetura de Goldbach

En 1742, el matemático prusiano Christian Goldbach le propuso a su homólogo Euler la siguiente conjetura:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos

Euler contestó que lo consideraba como un teorema completamente cierto, pero que no podía probarlo… ni nadie lo ha logrado hasta hoy. Por eso, sigue siendo una conjetura.

De momento, se ha comprobado empíricamente, com métodos de computación distributiva, que todos los pares menores que 1018 cumplen la conjetura. Estadísticamente, sería toda una sorpresa que algún número mayor no cumpliera la conjetura, ya que (como se aprecia intuitivamente) cuanto mayor es el número más posibilidades existen de descomponerlo en sumandos primos.

La imagen que ilustra la entrada precisamente muestra la cantidad de posibilidades que tenemos para escribir un número par (entre 4 y 1000) como suma de dos primos. Bajo estas líneas, tenemos la misma imagen pero llegando hasta un millón.

Conjetura de Goldbach

Se aprecia la tendencia de que cuanto más grande es el número más posibilidades existen de escribirlo como suma de dos números primos. De hecho, del Teorema de los Números Primos se puede llegar a la conclusión de que el número de posibles combinaciones de dos sumandos primos para un número par n sería del orden de n / (2·ln2n).

Con estos datos en la mano, sería una rareza estadística de gran magnitud pensar que podemos encontrar un número par mayor que 1018 que no cumpla la conjetura de Goldbach (comparable a la de los infinitos monos que aporrean aleatoriamente máquinas de escribir, y que consiguen escribir, por completo azar, una obra de Shakespeare). Y sin embargo, aunque la probabilidad sea minúscula, técnicamente es posible hasta que alguien demuestre fehacientemente lo contrario.

Remarcamos un detalle: los dos primos a los que se refiere el teorema no tienen por qué ser necesariamente distintos, puede ser el mismo sumando repetido, por ejemplo 4 = 2+2. Además, 4 es el único caso donde puede aparecer el sumando 2 (¿por qué? os lo dejo como pasatiempo, es muy fácil). De modo que podríamos modificar el teorema del siguiente modo:

Todo número par mayor que 4 puede escribirse como la suma de dos números primos impares

Conjetura débil de Goldbach

Se trata de una hipótesis que Goldbach formuló previamente a la anterior. Asegura que

Cualquier número impar mayor que 7 se puede escribir como la suma de tres números primos impares

Se le llama ‘débil’ porque puede ser demostrada a partir de la original (o ‘fuerte’), pero no al contrario. Si suponemos válida la conjetura fuerte, es muy sencillo: como cualquier número par mayor que 4 puede ser escrito como suma de dos primos impares, sumando el 3 (que es otro primo impar) obtendremos cualquier número impar mayor que 7.

Se ha demostrado matemáticamente que la conjetura débil es cierta para números mayores que 101346. Bastaría comprobar todos los impares menores para darla como válida y convertirla en teorema. Sin embargo, este número es demasiado grande como para intentar comprobaciones de fuerza bruta.

Se ha demostrado también que la Hipótesis Generalizada de Riemann implica la conjetura débil de Goldbach. Esto reduciría mucho el campo de búsqueda. Pero la hipótesis de Riemann es precisamente otra de las grandes incógnitas de las matemáticas, tan difícil de demostrar como la de Goldbach.

Demostración de la conjetura de Goldbach

Aunque nadie ha dado con la clave de una demostración universal, son muchos los matemáticos que dedican sus investigaciones a ello, y han alcanzado resultados prometedores. Lo que sí ha quedado demostrado es que la proporción de números que pudieran no cumplir la conjetura tiende a cero a medida que avanzamos hacia cantidades más grandes.

En la literatura, sin embargo, son varias las menciones a matemáticos que creen haber demostrado la conjetura. La novela griega El tío Petros y la conjetura de Goldbach alcanzó fama mundial cuando los editores de la traducción inglesa ofrecieron un millón de dólares a quien pudiese demostrar la conjetura en un plazo de dos años. El premio quedó desierto.

La sorprendente película española La habitación de Fermat está protagonizado por un joven matemático que cree haber demostrado la conjetura pero al que le han robado los papeles donde contenía sus cálculos.

Sin embargo, libros y películas al margen, el problema continúa sin resolver. En el próximo capítulo, continuaremos por esta senda de misterios matemáticos.

Imágenes | Wikimedia Commons
Más información | Herramienta para descomponer números en dos sumandos primos
En Genciencia | Los díscolos números primos (I), (II), (III), (IV), (V), (VI).

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