Los díscolos números primos (IX)

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Primos gaussianos

Llevábamos mucho tiempo sin un nuevo post en la serie sobre números primos, pero hoy por fin acaba la espera. En entregas anteriores hemos hablado fundamentalmente de distintos tipos de números primos y conjeturas que hablan sobre ellos. Hoy daremos una pequeña vuelta de tuerca y jugaremos un poco con los números primos y los números complejos. En concreto, hablaremos de los primos gaussianos.

Como sabemos, los números complejos son del tipo x + yi, donde x (la “parte real”) e y (la “parte imaginaria”) son números reales, mientras que i es la llamada “unidad imaginaria”, es decir, la raíz cuadrada de -1. Todas las ecuaciones algebraicas tienen solución en los números complejos, cosa que no siempre sucede con los reales (por ejemplo, la ecuación x2 = -1 no tiene solución real, pero tiene dos soluciones complejas: i y -i).

Los enteros de Gauss (o gaussianos) son un subconjunto particular de los complejos, donde tanto x como y son enteros. Por ejemplo, 5 + 3i es un entero de Gauss. Por simplificar, llamaremos Z a dicho conjunto. Los “elementos primos” de Z son todos aquellos que no se puedan factorizar (descomponer) en otros elementos de Z. Se les llama también primos gaussianos, pero no debéis confundiros con la terminología. Los llamados primos gaussianos no son (necesariamente) números primos (ya que los números primos son números naturales). Para evitar dudas, los seguiremos denominando elementos primos de Z.

Nuestra pregunta es: ¿son todos los números primos elementos primos de Z? y la respuesta es no, empezando por el primero: 2 = i·(1-i)·(1-i), no es un elemento primo de Z. Otro ejemplo puede ser 5 = (1 + 2i)·(1 – 2i). Pero sí que existen números primos que son elementos primos de Z, como por ejemplo, 7. De hecho, existen infinitos números primos que son además primos gaussianos.

¿Existe alguna forma de predecir qué números primos serán elementos primos de Z? de hecho, sí. Todos los que son de forma 4n + 3 lo son. Por ejemplo, 3, 7, 11, 19, 23, etc. Sin embargo, los que no siguen esa fórmula se pueden descomponer en factores, como sucedía con 2 y 5, y sucede con 13, 17, etc.

Los enteros de Gauss son una mera curiosidad matemática, sin embargo tienen aplicaciones concretas en determinadas demostraciones. En concreto, Gauss los utilizó para demostrar con más facilidad la ley de reciprocidad cuadrática (relacionada con los números primos). También existen unas cuantas cuestiones sin resolver respecto a ellos, por ejemplo, la conjetura de que existan infinitos primos gaussianos de forma 1 + ni, que no ha sido resuelta aún.

Por cierto, la imagen que encabeza el artículo representa todos los primos gaussianos con norma menor de 500. Los números complejos se suelen representar en dos dimensiones como en un sistema de coordenadas, donde el eje de abscisas es la parte real y el eje de ordenadas es la parte imaginaria. La norma de un entero gaussiano, por cierto, es x2 + y2. El patrón que dibujan los primos gaussianos es bastante curioso, y de hecho ya hay que lo ha usado en motivo textil.

Más información | Gaussianos
Imagen | Wikimedia Commons
En Genciencia | Los díscolos números primos (I), (II), (III), (IV), (V), (VI), (VII), (VIII).

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