Los díscolos números primos (III)

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Ejemplo de primo diédrico

Ya en la anterior entrega hablamos de distintos tipos de números primos con determinadas propiedades matemáticas, y hoy seguimos haciéndolo pero desde un punto de vista más informal. En este artículo veremos que los números primos a veces se comportan de una manera muy curiosa… y que algunos matemáticos tienen demasiado tiempo libre ;)

Como nota matemática, y atendiendo a los comentarios del post anterior: las propiedades que veremos a continuación son, en general, sólo válidas usando la base decimal (mientras que las del post anterior eran universales, un primo de Mersenne siempre lo es independientemente de la base utilizada). En otras bases, también pueden existir primos que cumplan las siguientes propiedades, pero serán otros.

‘Omirps’

Se trata de números primos que al darles la vuelta se convierten en otro primo distinto. O por llamarlos de alguna manera, ‘primos reversibles’. Al margen de los primos de una sola cifra, los siguientes en la lista son 13 / 31, 17 / 71 y 37 / 73. El ‘omirp’ más grande que se conoce es 1010006+941992101×104999+1, con más de 10.000 cifras.

Primos capicúa

Se trata de números capicúa que además tienen la propiedad de ser primos. A parte de los de una cifra, el más pequeño es 11, los siguientes son 101, 131, 151, 181 y 191. Los primos capicúa no son ‘omirps’. La condición para ser ‘omirp’ es que al darle la vuelta sea otro primo distinto, no el mismo.

Paulo Ribenboim definió en su ‘Nuevo Libro de los Récords de los Números Primos’ (suponemos que con mucho tiempo libre) los llamados ‘primos triplemente capicúa’. Son primos capicúa que tienen n cifras, donde n es un primo capicúa. Además n tiene m cifras, donde m es otro primo capicúa. El ejemplo más pequeño es 10000500001: es primo capicúa, tiene 11 cifras, 11 también es primo capicúa y tiene 2 cifras. Evidentemente 2 también es primo capicúa.

Como anécdota, la palabra capicúa es una de las pocas de la lengua castellana que proceden del catalán, en concreto de la expresión “cap i cua” que significa literalmente “cabeza y cola”.

Primos ‘repunit’

Se trata de números primos que sólo constan del dígito ‘1’ repetido. De ahí su nombre: repunit = repeated unit. El más bajo es 11, el siguiente es 1111111111111111111 y los siguientes ya tienen 23, 317 y 1031 cifras. No puede existir ningún primo formado sólo por un dígito repetido salvo que este dígito sea un ‘1’. En cualquier otro caso, sería divisible por un repunit: Por ejemplo, 77 = 11*7. No se sabe si hay infinitos repunits, aunque se sospecha que sí.

Primos permutables

Son los primos que siguen siendo primos si reordenamos sus digitos, de la forma que sea. Todos los permutables son omirps, pero no todos los omirps son permutables (salvo que tengan menos de 3 cifras). Por ejemplo, 107 es omirp ya que 701 es primo, pero no es permutable, ya que 710 es compuesto. El primo permutable más pequeño de tres cifras es 113, ya que 131 y 311 también son primos. Todos los repunits son permutables, evidentemente.

Existen nueve primos permutables de tres cifras: 113, 131, 199, 311, 337, 373, 733, 919, 991. El siguiente ya tiene ¡18 cifras! y además es un repunit. Se cree que todos los primos permutables de más de tres cifras son repunits, porque de hecho no se conoce ninguno que no lo sea.

Primos truncables

Son los primos que siguen siendo primos si se empiezan a eliminar dígitos por sus extremos. Pueden ser truncables por la derecha, por la izquierda (en este caso no pueden contener ceros) o por ambos lados. Por ejemplo, 3137 es un primo truncable por ambos lados. Por la derecha: 313, 31 y 3 son primos. Por la izquierda: 137, 37 y 7 son primos.

El conjunto de los primos truncables es limitado. El truncable por la izquierda más grande es 357686312646216567629137, por la derecha 73939133 y por ambos lados 739397 (sólo hay 15 primos truncables por los dos lados). Es normal que haya muchos menos primos truncables por la derecha, ya que cada vez que dejamos como último dígito un número par o un ‘5’, sabemos que el número obtenido ya no será primo.

Pimos de Smarandache-Wellin

Son aquellos que están formados por la concatenación consecutiva de los números primos empezando por el menor (es decir, 23571113171923…). Se conocen siete primos de Smardanche-Wellin. los primeros son 2, 23 y 2357. El siguiente tiene 355 cifras y acaba en 719.

Primos diédricos

Ya para el final, mi clasificación favorita y la clara demostración del mucho tiempo libre que tienen algunos matemáticos :). Los primos diédricos son aquellos que, representados en un display de siete segmentos (los típicos números ‘hechos con palotes’ de las calculadoras) siguen siendo primos si damos la vuelta al display o lo reflejamos en un espejo.

Espero que la imagen que ilustra la entrada aclare este concepto. El número 120121 es un primo diédrico porque, al ser representado en siete segmentos resulta que al rotarlo o reflejarlo de todas las formas posibles seguimos obteniendo números primos, en este caso 150151, 121021 y 151051. Otros ejemplos más pequeños son 2, 5, 11, 101 y 181.

En la siguiente entrega ya dejaremos el tema de los diferentes tipos de números primos y nos adentraremos en algo más interesante como es su distribución.

En Genciencia | Los díscolos números primos (I), (II)
Más información | List of prime numbers

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