La base 10 no presenta ninguna ventaja especial para organizar jerárquicamente los números. Imaginad, por ejemplo, la base 13. El 13 es un número primo, divisible solo por 1 y por sí mismo. Esto le otorgaría cierta superioridad sobre el número 10, pues la mayoría de fracciones serían irreductibles en un sistema semejante. Con la base 10, por ejemplo, se puede expresar el número 36/100 también como 18/50 o 9/25. Pero con una base prima como 13, estas representaciones múltiples no se darían.
Sin embargo, si finalmente los humanos se decantaron por la base 10 fue porque diez dedos destacaban ante los ojos de cualquiera y eran fáciles de usar. En algunas lenguas malayo-polinesias, la palabra “mano”, “lima”, es en realidad la misma que para la palabra “cinco”.
Pero no todas las civilizaciones conocidas han escogido 10 como base.
Aparte de la base 10, la más común en el mundo es la base 20, conocida como base vigesimal. Fue tremendamente popular en muchos territorios de Europa Occidental. También se basaron en los dedos para escoger esta base, pero no sólo en los dedos de las manos sino en los dedos de manos y de pies, conjuntamente. Por ejemplo, para los inuit, el número “veinte” se expresa con una frase que significa “un hombre está completo”.
Algunas lenguas modernas también conservan vestigios de este uso de base 20. En francés, el número 80 es “Quatre-vingts” (cuatro veintes). En irlandés, 40 es “daichead”, que deriva de “da fiche” (dos veces veinte). En danés, los números 60 y 80 (“tresindstyve” y “firsindstyve”, respectivamente, “tres” y “firs” abreviados) son literalmente “tres veintes y “cuatro veintes”.
Una de las bases más extrañas de la Antigüedad es la base 60 o sistema sexagesimal. Lo empleaban los sumerios en Mesopotamia, aunque sus orígenes se remontan al cuarto milenio a.C. Su legado lo podemos observar hoy en día en cómo todos nosotros representamos el tiempo en horas, minutos y segundos, o en los grados del círculo (y la subdivisión de los grados en minutos y segundos).
La razón de que los sumerios escogieran una base tan grande no está clara. Algunas especulaciones apuntan a las especiales propiedades matemáticas que posee el número 60: es el primer número divisible por 1, 2, 3, 4, 5, 6. Otras hipótesis pretenden relacionar el 60 con conceptos como el número de meses en un año o los días en un año (redondeado hasta 360), combinados de alguna forma con el número 5 o 6.
En el libro del año 2000, The Universal History of Numbers, del profesor de matemáticas y escritor Georges Ifrah, se argumentaba que el número 60 podría haber sido consecuencia de la mezcla de dos poblaciones inmigrantes. Una que usaba la base 5 y otra que usaba la base 12. La 5 tuvo su origen en el número de dedos de una mano. La base 12 (con muchos ejemplos actuales, como el sistema de pesos y medidas británico), pudo haber tenido sus orígenes en el número de articulaciones en los cuatro dedos (excluyendo el pulgar, que se usa para contar).
Aunque la base más extravagante de todas, sin embargo, la hallamos en una obra de ficción. En Las aventuras de Alicia en el País de las Maravillas, Alicia dice lo siguiente para asegurarse de que entiende todo lo extraño que sucede a su alrededor:
Intentaré, si sé, todas las cosas que solía saber. Veamos: cuatro por cinco son doce, y cuatro por seis son 13, y cuatro por siete son, ¡cielos!, jamás llegaré a veinte si sigo así.
En sus anotaciones al libro de Carroll, Alicia Anotada, del matemático Martin Gardner, ofrece una buena explicación para la extraña tabla de multiplicar de Alicia. Nos propone que Alicia simplemente usa bases diferentes a 10. Por ejemplo, si usamos la base 18, entonces, 4 × 5 = 20 es evidente que será 12 porque 20 es 1 unidad de 18, y 2 unidades de 1.
La hipótesis podría ser ciertamente muy endeble, si no fuera porque Lewis Carroll era un seudónimo de Charles Dodgson, profesor de matemáticas en Oxford.
Vía | La proporción áurea, de Mario Livio
Comentarios
Mierda, no he entendido lo del final... Mejor.
yo tampoco he entendido lo del final y eso que he pensado hasta que se me ha ido el cerebro a dormir del cansancio.
Me temo que se trata de un conflicto con un problema léxico. Sergio no puede utilizar la palabra decena para hablar de 18 unidades. Pero creo que se refiere a que 20 es una "decena" de 18 y dos unidades más. Yo a los enanos de primaria para explicar las decenas, les digo que piensen en hacer bolsitas de caramelos: con 20 caramelos en nuestro sistema tendrían para hacer dos bolsitas (dos decenas). y no les sobraría ninguno (0) En ese sistema ´sólo tendrían para hacer una bolsita de 18, y sobrarían 2.
#3 eso explicaría que 4x5 es 12 ... pero no que 4x6 es 13 ya que en base 18 sería 16 ... con lo que la explicación de usar una base diferente no explica esos resultados (ninguna base daría 4x5=12 y 4x6=13 ... corregidme si me equivoco)
A no ser que lo que alicia cambie en esa tabla sea las propias bases para ir multiplicando, y que lo corelativo sea el resultado. La base de 4x6=13 sería, en ese caso, 21. Y, francamente tendría bastante sentido si tenemos en cuenta que Alicia trata de subvertir, sobretodo, nuestro modo de pensar, invirtiendo todos los parámetros.
Hola!, vamos a ver..
sinceramente creo que el final no está bien explicado, hay términos mal empleados, entre ellos el de unidad, creo que en este caso Sergio tampoco ha llegado a entenderlo, en caso contrario creo que lo habría sabido explicar mejor.
Vamos al kit de la cuestión!. Se plantea multiplicar 4x5. El primer punto a tener en cuenta es que tanto este 4 y este 5 no son el 4 y el 5 que conocemos de toda la vida en base decimal, si está trabajando con base 18 este 4 y 5 son, en su representación decimal: 4*18exp0 * 5*18exp0 = 4*5 = 20 (el cero indica la posición del dígito y el 18 es la base empleada). Al ser los número en base 18 de una sóla cifra, su representación coincide tanto en base 10 como en base 18.
Si por ejemplo tuviéramos el número 28 en base 18, su representación decimal sería: 2*18exp1 + 8*18exp0 = 36+8 = 44.
Se demuestra que el resultado de la multiplicación es 12 porque si dividimo 20 entre 18 el cociente es igual a 1 y el resto 2. La idea es similar a lo explicado por Naiada, vamos es el concepto básico para el cambio de base.
En este caso lo difícil es realizar las multiplicaciones en la base 18. En el ejemplo del post es fácil porque la representación en base 18 es la misma que en base 10 y posteriormete para demostrar la corrección del resultado realiza un cambio de base desde la base 10 hasta la 18, pero esa no sería la manera de hacer una multiplicación en base 18.
Dada la explicación, se comprueba que 4*6 = 24 (al ser de un sólo dígito, coincide con la multiplicación en base 10), entonces si pasamos el 24 de base 10 a base 18, no encontramos que 24/18 = 1 y resto 6, entonces, su equivalente en base 18 será 16.
Para multiplicar números de más de una cifra, podemos pasar los valores a decimal y multiplicarlos, para posteriormente pasarlos a base 18.
Saludos!!
Vamos a ver.. los resultados de cualquier tabla de multiplicar son una progresión aritmética y no geométrica, de donde se deduce que 4x7 = 14 suponiendo una base mayor que cuatro, por lo tanto el comentario de alicia en el pais de las maravillas no tiene nada que ver con las bases ni con el artículo y todo lo explicado a raiz de eso es una gilipollez.
la siguiente base, siemdo la primera 18 y la segunda 21, con diferencia de 3, debería ser 24:
4x7 = 28/24 = 1+4 = 14
y tiene sentido, ya que:
4x5 = 12 4x6 = 13 luego 4x7 = 14
4x8 = 32/27 = 1+5 = 15
4x9 = 36/30 = 1+6 = 16
ahora tocaría 4xA, que sería 4xA = 40/33 = 1+7
4xB = 44/36 = 1+8 = 18
4xC = 48/39 = 1+9 = 19
4xD = 52/42 = 1+A = 1A
y a partir de ahí ya no es tan obvio XD
4x4 debió ser también base 15, ya que 4x4=16/15 = 1+1 = 11
3x4 = 12/12 = 1+0 = 10
3x3 = 9/9 = 1+0 = 10
3x2 = 6/6 = 1+0 = 10
3x1 = 3/3 = 1+0 = 10
3x0 = 0/0 = BOOM! XD
Totalmente de acuerdo!, los cálculos que hace Alicia son cálculos en base "alucinógena", da la casualidad de que 4*5 coincide con el caso planteado, pero 4*6 expresados en base 18 no son 13, son 16(base 18).
4(base 18) * 7(base 18) son 1-10 (base 18). En este caso nos sale un dígito de dos cifras, en hexadecimal estos casos se representan mediante letras, esto es: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.
En base 18 desconozco si se utiliza una representación similar.
Ciertamente se ha mezclado el tocino con la velocidad!! :))
lo que significa que si la base de multiplicación es "4", el incremento de la base numérica es "3", el aumento gradual del resultado será 4-3 = 1
por eso al cambiar la base de multiplicación por "3" y manteniendo el incremento de la base también "3" el resultado siempre es el mismo :)
jejej!! bueno, de acuerdo con Stratos, Davico!, creo que no has entendido nada!!,
"..la siguiente base, siemdo la primera 18 y la segunda 21, con diferencia de 3, debería ser 24:.."
Nada más empezar ya no tiene sentido lo que dices. Se nota que has oido campanas, pero no sabes bien por donde!
Seguramente Alicia suspendía en matemáticas :)), visto lo visto!!
pero leónidas, has leído lo que puse? el resultado con base 24 sale 14, que era lo esperado.
esa "base alucinógena" varía de 3 en 3, yo ahora mismo basado en los cálculos que hice te puedo poner este ejemplo:
5x3=15 5x4=17 5x5=19 5x6=21
o este otro:
5x3=15 5x4=16 5x5=17 5x6=18
o este otro:
5x3=15 5x4=18 5x5=21 5x6=24
como ves muy arbitrario no es :P
otra cosa es que alicia hubiera dado un resultado de 4x7 distinto de 14 ;)
Pero estás haciendo cálculos mezclando bases, no índicas en que base, y si lo haces muy confusamente, lo que está claro que es que Alicia no está haciendo los cálculos en una misma base, lo cual tampoco tiene mucho sentido. A no ser que sea una ingeniera de la Nasa y hagan falta los cálculos para aproximar cual será el error producido por un sensor de temperatura cuando la nave haga su reentrada en la atmósfera terrestre y una nube tormentosa se cruce en su camino y este demostrado que de esta manera el error de cálculo de este modo sea mínimo! XD
Si hablamos de representación y cálculos en base 18 lo que nos cuenta Alicia está mal.
4(en base 18)*6(en base 18) = 16 (en base 18) y 24 en base 10.
Hombre!, si nos ponemos a buscar bases en las cuales los cálculos coincidan pues seguramente coincida alguna, pero tampoco le veo el sentido a averiguar este dato, más aún cuando la seria de datos iniciales es tan sumamente reducida como para encontrar un criterio lógico y fiable que permita encandenar una secuencia lógica de cálculos con sentido que asegure una cierta escalabilidad a una serie mayor desconocida.
Ahora!, si es por jugar con las bases, pues ...a jugar!!! ;))
Leonidas, Davico a mi entender tiene razón.
Alicia lo que está haciendo es multiplicar 4xni en base mi.
Donde n0=0 m0=0 ni=n0+3*(i+1) mi=m0+1
Así todas las cuentas de Alicia son correctas.
ups, me da que he fallado, ni=n(i-1)+3 mi=m(i-1)+1.
Esto me pasa por intentar mezclar programación con matemáticas.
Vamos, por si no se me ha entendido, lo que quería decir, es que Alicia para contar, lo que hace es multiplicar cuatro por un número más alto cada vez (4·0, 4·1...)y a su vez aumentar la base en 3 para cada operación (3, 6.... Así se puede contar desde 7 hasta infinito.
Cierto, Davico está en lo cierto!!, mil perdones por mi precipitación al hablar!. Sólo te recomiendo Davico que emplees una notación un poco más correcta y expresiva, recuerda que los número sólos no se explican muy bien, seguro que lo sabes de sobra, ...si sólo pones un número pueden ser tomates, naranjas o millones de euros!! ;))
Resulta que los mensajes subliminales de antaño eran con contenido formativo, matemáticas avanzadas!!!, ..no como los de hoy en día.
De todas maneras, sigo pensando que Alicia no sabía muchas matemáticas y que se trata más bien de una serie "casual".
Saludos!!
Creo que aunque el que comenta esto de las diferentes bases aplicadas al cuento de Alicia, es un matemático, no deja de ser algo casual. Pienso que la interpretación de estas palabras de Alicia están muy en función de los conocimientos de la persona que las analiza. Por ejemplo, si la persona que las analiza, fuera un sicólogo, podría pensar que Alicia tiene algún tipo de dislexia, si fuera un mecánico, podría pensar tal vez que son los códigos de unas llaves en el orden en el que se encuentran en el estuche correspondiente, si es un matemático, logicamente lo primero que pensará es que son multiplicaciones en diferentes bases, y así seguro que existen muchos casos posibles.
ah bueno, perdón por no ser más específico y expresivo en mi notación :D
y alicia claro que saber no sabía, para mí eso era solo un "guiño" matemático del autor. siempre que un matemático incursiona en la literatura o haciendo guiones, mete la cuchara, ya ves como futurama tiene n referencias matemáticas :D
Disculpad porque la matemáticas no son lo mío, lo que no pueda calcular en caramelos o limones o circulitos huecos me pierde porque cuando nos vamos a cálculos complejos nunca sé si tiene sentido o son formulitas absurdas que han perdido toda conexión con la "realidad".
Dicho esto creo que en el problema de Alicia especifica que nunca llegará a 20 y a no ser que sea un 20 en una base diferente, si seguimos la secuencia de Davico llegamos a 20 y lo pasamos.
Más bien yo creo que dice que es muy costoso el sistema, por lo que tardará mucho en llega a 20. Y tiene razón, le faltan 7 operaciones cada una en una base distinta, eso es mucho trabajo para una niña de 14 años. xD
A ver, el valor de la unidad no se puede cambiar a nuestro antojo dándole cada vez un valor según la base que utilicemos. La base es la bolsa donde metemos los caramelos, pero los caramelos tanto si los ponemos de 10 en bolsas de 10 o de 18, no varían su valor.
Lo que se ha hecho en algún comentario es mezclar churras con merinas. Es decir 4x6= 24 NO ES 4x6=13 (en supuesta base 21). No se puede tomar una bolsa de 21 caramelos, hacerlos más "pequeños" para decir que es lo mismo que una bolsa de 10 y sumarle 3 carmelos de los "grandes" porque a cada unidad, incluso de una misma base le estás dando un valor diferente.
Entonces uno se da cuenta que ese 13 no tiene el valor habitual de 13, sino que sigue la cuenta y son 24, que en signos es 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,10,11,12, ->13<-, 14,15,16,17,18,19,1A,1B,1C,1D.........
""esa "base alucinógena" varía de 3 en 3, yo ahora mismo basado en los cálculos que hice te puedo poner este ejemplo:
5x3=15 5x4=17 5x5=19 5x6=21
o este otro:
5x3=15 5x4=16 5x5=17 5x6=18
o este otro:
5x3=15 5x4=18 5x5=21 5x6=24""
En realidad si estás cambiando de base no sería 21 sino por ejemplo, "1B" y 24 sería "1D".
#27, no, estás en un error, aunque es bastante comprensible, yo también me lo estuve pensando un buen rato :D
por ejemplo en la base hexadecimal, con números 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C E D F 0
existe el número 12, que no es lo mismo que el C, que tiene la decimosegunda posición, es decir:
C hex es 12 en decimal, pero 12 hex en decimal sería:
1x(16)^1 + 2x(16)^0 = 16+2 = 18
veamos:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C E D F 10 11 12
contamos, y efectivamente el 12 en base hexadecimal está en la posición número 18 :)
así que en base 18, el número 24 estaría en realidad en la 40a. posición ;)
5x5=21 (es base 14)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C E 0 (base 14)
5x5 sería 25, pero en numeración decimal, en la tetradecimal sería:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A
cierto, por hacer la repetición mental mecánica me comí el segundo ciclo de letras :D
5x6=24 (es base 16, en teoría XD)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 (base 16)
5x6 sería 30, pero en numeración decimal, en la hexadecimal sería:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E
en este caso debería ser 1E :D
gracias por la corrección ;)
error mío otra vez, el 5x5 sería 1B XD
Bueno, como veo que hay bastante interés por las bases, los número y relacionados, creo que este vídeo os puede resultar interesante. Sobre todo para aquellos que necesiten repasar las tablas de multiplicar. Recomiendo usar la pausa para poder captar el sistema empleado.
http://www.youtube.com/watch?v=gbvR7ynSSfY&feature...
Si es que no hay nada como la base diez!!! :))
Este vale para todas las tablas:
http://www.youtube.com/watch?v=_eFnzNw10Qc&feature...
Si utilizáramos signos diferentes al cambiar de base, por ejemplo directamente letras, no habría confusión porque utilizaríamos un lenguaje propio para cada cantidad. El problema es cuando "traducimos" y los signos adoptan diferentes valores según el sistema.
Creo, EupHoriA, que en parte tienes razón y en parte no. Realmente ya se utiliza una notación diferente, pero no con los números empleados.
Realmente cuando escribes un número en cualquier base se debe escribir un subíndice indicando la base a la que pertenece. En base decimal también se debería de escribir, pero como es la base que normalmente se utiliza entonces no se escribe este subíndice.
Si utilizáramos un alfabeto diferente para cada una de las bases, se armaría un "berenjenal" grandísimo, date cuenta que bases existen ....puuf!!!, ponte a contar!! si cada una tuviera un alfabeto diferente sería una grandísima Torre de Babel.
Para las bases que se suelen utilizar, cuando observas números escritos en diferentes bases se suelen conocer viendo los número y letras utilizados, ya que por ejemplo, la base binaria, son sólo 0's y 1's. La base hexadecimal también se suele expresar con la notación 0x, por ejemplo: 0x18FA0. Y además, se puede ver el subíndice, a no se que la base se especifique de otro modo.
dios cuanto comentario! jeje
solo decir que en euskera también se usa la base 20:
Hogei = 20 Berrogei = 40 (Bi=2, 2 veces 20 ) Hirurogei = 60 (Hiru=3, 3 veces 20) Laurogei = 80 (Lau=4, 4 veces 20)
Qué mareo! Después de leeros sólo veo un conejo blanco que llega tarde porque el tiempo no existe y a Alicia persiguiéndole en base 8 no sea que crezca exponencialmente XDDDDD Son las 7 de la mañana de la víspera del solsticio de verano, qué apropiado. Esta noche pasadlo bien, quemad los malos recuerdos en las hogueras y los que tengáis oportunidad meted los pies en el mar, no toméis drogas y bebed lo justo. La vida hay que disfrutarla a pelo y sin aditivos. Salud a todos brujas y brujos!
4x5=12 -> (2x18^0) + (1x18^1)=20 Luego la base es 18
4x6=13 -> (3x21^0) + (1x21^1)=24 Luego la base es 21
4x7=14 -> (4x24^0) + (1x24^1)=28 Luego la base es 24
4x8=15 -> (5x27^0) + (1x27^1)=32 Luego la base es 25 . . .
La ultima base es 27 no 25
Lo de las bases numéricas como 60 tiene su razón de ser. Son útiles (de hecho mucho más que las bases numéricas primas, en la que erróneamente has dicho que no puede haber múltiples representaciones para las fracciones) por que cuantos más factores primos tenga la base, más fracciones pueden ser representadas en forma decimal con una expresión finita.
De hecho, todas las fracciones en las que el divisor esté formado por factores pertenecientes a la base podrán ser representados por una forma decimal finita.
Un apunte. Para encontrar una base vigesimal no hace falta irse a Francia. En todos los dialectos del euskera es exactamente igual: 20 es ogei, 30 es ogeitamar (ventidiez, y luego ventionce etc) 40 es berrogei (dos veces 20), 60 es irurogei (tres veces 20) y 80 es larogei (cuatro veces 20). Saludos
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