La paradoja de Aquiles corriendo tras la tortuga es una de las más clásicas y famosas paradojas de Zenón. Este griego filósofo pretendía demostrar que todo lo que percibimos en el mundo es ilusorio, y que cosas como el movimiento eran simplemente ilusiones y no realidades. Lo cual no deja de ser un punto de vista original, incluso para un griego filósofo. Para demostrarlo ideó una serie de paradojas que “mostraban” que el movimiento no existía, que todas las distancias son infinitas, que no existe el tiempo… La paradoja de Aquiles y la tortuga consiste en una imaginaria carrera. Uno de los contrincantes (Aquiles) era el más hábil de los guerreros aqueos, y vencedor de mil batallas. Era un superhombre casi invencible, y apodado “el de los pies ligeros”. El otro contrincante (la tortuga) es un ser por todos conocido, de proverbial lentitud y bien cachazudo. Dado que Aquiles es mucho más rápido que la tortuga (supuestamente) antes de empezar decide darle un estadio de ventaja, y tras dárselo, se da el pistoletazo de salida (o se suena un cuerno, ya que en esos tiempos no existían las pistolas, afortunadamente para muchos).
Rápidamente Aquiles atraviesa ese estadio de ventaja hasta llegar al punto en el que estaba la tortuga. Ésta, de un insospechado espíritu competitivo, se había desplazado unos cuantos pasos hacia adelante. Así que Aquiles, atónito (no era muy listo) pero confiado en su enorme poderío físico, decide cruzar ese puñado de pasos, hasta llegar de nuevo a donde estaba la tortuga. De nuevo ella ¡se ha vuelto a mover! Se ve que el quelónido no tiene buen perder y Aquiles de nuevo, con renovados bríos, recorre velozmente esos centímetros que le separan del punto donde estaba la tortuga, la cual de nuevo… ¿se lo imaginan? ¡Efectivamente! La encontramos un poquito más adelante…
Y argumentaba Zenón con mucha razón que así podíamos seguir hasta el infinito, y que Aquiles jamás alcanzará a la tortuga. Y por tanto cuando vemos a un Aquiles alcanzando a una tortuga (¿quién no ve todos los días uno o dos?) es simplemente una ilusión. ¿En dónde se equivoca Zenón? En realidad no podemos decir que se equivoque (¿vivimos en Matrix? no se sabe), pero lo que está claro es que su argumento no demuestra nada: una suma de infinitos términos puede dar un resultado finito. Pero esto no se puso sobre el papel hasta que Leibniz, que era un tipo realmente listo, inventó el cálculo infinitesimal.
Así que si Aquiles recorre 1 estadio en un minuto y la tortuga 1/10 de estadio en el mismo tiempo, Aquiles recorrerá 1+ (¡caramba, se ha movido!) 1/10 + (¡otra vez!¡le ha dado tiempo a moverse!) 1/100+ (¡again! bueno, en griego) 1/1000 …etc: 1+1/10+1/100+1/1000+...= ¿cuánto? Desde luego esta suma no da una distancia infinita que requiere infinito tiempo recorrer, sino una distancia concreta: 1,111111111… estadios. Y eso Aquiles se lo hace con la gorra en un minuto y pico (1,111…), la tortuga no tiene nada que hacer.
Pero se admiten apuestas, claro…
Comentarios
¿A cuanto estan las apuestas en favor de la tortuga?
Ponme cinco euros por la tortuga si estan a 1/10 o superior.
salu2!
WTF?!? Nuestra profesora de filosofía ha puesto justo hoy este ejemplo… Viva el generador de improbabilidad infinita.
Pues, a riesgo de evidenciar mi ignorancia, comentare lo siguiente:
Me parece muy extraño que Aquiles sólo piense en alcanzar la tortuga. A fin de cuentas, una carrera se hace para saber quien corre MAS o sea, puede llegar a determinado lugar ANTES.
Y por otra parte, es notoria la falta de previsión de Aquiles (¿será a causa de su talón?). Basta saber la velocidad a que se mueve la tortuga y él mismo para calcular el sitio exacto en el que estarán ambos a la misma "altura" del recorrido…
Aquiles intenta llegar donde esta (o estaba cuando llega) la tortuga. Evidentemente esta se habra desplazado… y ya no esta donde estaba. Asi el nunca llega a la tortuga porque su objetivo siempre es llegar a donde estaba. Siempre tendra una cantidad por avanzar aunque sea infinitamente pequeña.
Dani, ¿acaso dices que Aquiles tenía poca ambición, y por eso no quería alcanzar a la tortuga, sino llegar a dónde ella estaba? (¡chiste!)
Yo me llamo Aquiles, y si bien nunca me apodaron pies ligeros, puedo certificar que eventualmente alcanzo a la tortuga. Lo probé con otros animales, y a veces funciona, a veces no.
infinito*0=indefinido
es decir, si sumamos infinitamente una cantidad infinitamente pequeña, podemos obtener como resultado cualquier numero.
por ejemplo, un estadio, lo podemos dividir en codos, palmos, pulgadas, etc, cada vez mas chiquito. cuando vamos a tener infinitos pedacitos? cuando estos pedacitos midan 0. pero sumados todos ellos dan un numero real, la distancia de un estadio.
pero lo mismo da un estadio, medio, cuatro, un kilometro, parsec o un milimetro, haciendo la reduccion se llega al mismo concepto, "suma de infinitos=finito" :)
En la teorica es todo muy bonito, pero en la practica todos sabemos que la pobre tortuga no tiene nada que hacer contra el pies ligeros :(
Obviamente el fallo está en que aquiles debería intentar ir a donde va a estar la tortuga, no a donde estaba… muy listo no era, no :))
Usualmente la tortuga no tiene nada que hacer contra el doctor pie. El doctor pie visita a un animal pequeño cuando saltas sobre el o lo pateas.
Es curioso, esta paradoja de Zenón provocó 2500 años después el nacimiento de una nueva rama matemática: la matemática fractal. Para ejemplo, el supercopo de nieve de Kock.
Una historia apócrifa dice que Zenón murió atropellado por un carro, quizá pensando en que, con su ventaja, éste nunca le alcanzaría. Realmente fue juzgado y condenado a torturas hasta la muerte por conspirar contra el tirano local.
Aunque tira del cálculo infinitesimal de Leibniz, la demostración de la suposición de que la suma de infinitos números puede dar un número finito se le atribuye al matemático escocés James Gregory hacia 1670.
Es una demostración extremadamente sencilla. En la serie 10 + 1 + 1/10 + 1/100…, si sumamos 10 + 1 tenemos 11; si a esto le sumamos 1/10 tenemos 11.1; si a esto le sumamos 1/100 tenemos 11.11. Si añadimos un número infinito de términos, tendremos 11.11111…, número perfectamente definido con una suma de números racionales: 11 + 1/9.
Tenemos representada la ventaja de los números infinitamente decrecientes de la tortuga sobre Aquiles: 11 + 1/9. Por tanto, Aquiles adelantará a la tortuga en el tiempo que tarde en recorrer los 11 + 1/9 metros. A las series infinitas cuya suma es finita, se les llama series convergentes.
Yo oí la historia de Diogenes para rebatirle su negacion del movimiento le dio un puñetazo.
Cuando Zenón le increpó, éste le dijo que era imposible. Que, dado que el movimiento es una ilusión, el golpe era una ilusion.
Tambien está en la que diogenes solo echó a andar y dijo "el movimiento se demuestra andando".
yo habia oido esta paradoja pero de otra forma: aquiles recorreria la mitad del espacio k le separaba de la tortuga, y cuando llegase a esa mitad, recorreria la mitad del tramo ke le faltaba,y asi sucesivamente, por lo k nunca alcanzaria a la tortuga puesto k fuese cual fuese la distancia k les separase, esta siempre se podria dividir en 2 partes. no se si me he explicado bien…
El problema de Aquiles se encuentra en el hecho de que el quiera llegar a donde esta la tortuga, porque, primero tendra que detenerse para poder ver loa nueva diferencia que hay entre los dos (aunque sea muy pequeña y sea similar a 1/infinito), pero matematicamente la distancia sera sililar al limite cuando n tiende a infinito de 1/n.
POr otro lado físicamente, si la velocidad de la tortuga es 1/10 de la velocidad de Aquiles, la velocidad relativa entre los dos será de 9/10 de la velocidad real de Aquiles, lo que significa que, si Aquiles desearà pasar a la tortuga en lugar de llegar a donde esta esta, la alcanzara en 10x/9 siendo x la distancia original de la tortuga, esta deducciòn es facil despejando t en la ecuaciòn v=x/t, siendo v la velocidad relativa entre Aquiles y la tortuga.
Dados estos argumentos físicos es facil deducir dos cosas, la primera que Zenon pensaba en un arelatividad extraña y que no creia mucho en los procesos matemáticos y físicos existentes, por lo menos se sabe en que en la antigua grecia se sabia el concepto de velocidades dados los grandes matemáticos de ese entonces. La segunda deducción es que a Aquiles le faltaba un poco de visión para sus propositos y le faltaba, al igual que a Zenon, un poco de analisis matematico
En mis escasos intentos de leer el GEB me he topado con esta paradoja en varias ocasiones y… cuanto más la leo, menos la entiendo. Es decir, sí entiendo la historia pero no su alcance (demostraciones, falsaciones e implicaciones).
Saludos,
Deberían poner un límite de tiempo o algo para acabar la carrera.. Si no creo que el público acabaria aburriendose y lléndose.
Creo que la respuesta puede elaborarse aún un poco:
Si "va" es el número de estadios que recorre aquiles por unidad de tiempo y "vt" los que recorre la tortuga el espacio que recorre cada uno durante la carrera es:
Aquiles: ea = vat Tortuga: et = vttPor tanto la relación entre lo que recorre aquiles y la tortuga es:
et = ea*vt/vaCuando aquiles ha recorrido el primer estadio la tortuga se ha movido:
et1 = vt/vaQue es lo que recorre Aquiles en el siguiente paso, mientras que la tortuga se habrá movido:
et2 = et1*vt/va = (vt/va)^2Si extrapolamos para el paso n-ésimo y restando el estadio de ventaja de Aquiles:
etn = vt/va + (vt/va)^2 +...+ (vt/va)^n ean = vt/va + (vt/va)^2 +...+ (vt/va)^(n-1)Por lo tanto Aquiles siempre permanecerá un paso por detrás de la tortuga. Si se dan infinitos pasos entonces las sumas anteriores son iguales (siempre que la tortuga vaya más despacio que Aquiles, pues de lo contrario la tortuga habría ganado la carrera en su momento y nadie escribiría sobre esto) y además finitas y valen:
e = vt/(va-vt)Si estas son mayores o menores que el recorrido de la carrera dependerá de las velocidades de Aquiles y la tortuga. El caso es que Aquiles no debe ser muy listo, porque de ser menor la tortuga ganaría la carreera inevitablemente.
Por otro lado se podía haber sabido este resultado sin más que ver el espacio que recorre la tortuga antes de que Aquiles la alcance. Haciendo:
Aquiles: e + 1 = vata Tortuga: e = vtttComo han de encontrarse a la vez,
ta = tt = tentonces:vat - 1 = vtt¡NO ENTIENDO LA PARADOJA DE AQUILES Y LA TORTUGA! y que me parta Júpiter de un rayo. Nunca la entendí. Sé que tiene que ver con fracciones decimales de tiempo y espacio. Borges tiene un relato excelente al respecto y con un sentido metafísico que me dejó aún más perplejo e ignorante, pero que de todas formas recomiendo.
Con los limites matematicos se refuta esta paradoja.
No tengo muchos conocimientos en física, pero para mi la única razón por la cual Squiles nunca alcanzaría a la tortuga es por que no esta la esta persiguiendo a ella si no al punto en que estuvo la tortuga anteriormente y si la tortuga nunca se detiene la persecución de Aquiles sera infinita!.
Exacto, está basado en algo así como que Aquiles tiene ceguera mientras corre, por lo que mientras no se da cuenta de que la tortuga ya no está donde estaba, llega, ve que se movió...
Vamos, que Zenón está llamando a Aquiles tonto descaradamente.
No tiene ningún sentido, el cálculo infinitesimal si hace algo es corroborar la paradoja, no solucionarla: 1,1111111111....... es un número que siempre, bajo cualquier circunstancia, estará incompleto: NO ES UN NÚMERO REAL, por tanto, el tiempo y el espacio NO SON REALES.
Aquiles no puede recorrer 1,1111111111...... estadios bajo ninguna circunstancia, porque esa es una distancia imposible, no puede existir, al menos físicamente.
No no no, lo has entendido mal. Aquiles no tiene que recorrer 1,11111 estadios... a Aquiles le basta con recorrer 1,111111111 estadios.... pero puede recorrer cualquier número real mayor, por ejemplo, 1,2 estadios.
-- editado por última vez a las 18:33
Claro pero entonces nos salimos de contexto. Aquí lo que se plantea es que Aquiles llegue a donde está la tortuga, es decir, la distancia 1,11111111......
Por supuesto Aquiles puede pasar de largo a la tortuga, pero eso no es lo que plantea el dilema.
Precisamente lo que Zenón buscaba con esa paradoja era probablemente mostrar la existencia de numeros infinitesimales (claro que a su modo), ya que por aquel entonces seguramente no se conocían.
La existencia de números como 1,11111.... es la prueba irrefutable de que todo lo medible no es más que una proyección holográfica (por así decirlo). Párate a medir las proporciones internas de una imagen holográfica y verás como su simple existencia real es imposible, y sin embargo, tus ojos pueden verlo y darle una "medida".
Nuestra percepción de la realidad no es mas que un decodificador.
No, Zenón quería demostrar que no existía el movimiento (así está expresado). Su idea es que Aquiles era tonto, y en lugar de intentar alcanzar a la tortuga intentaba alcanzar el punto en el que había visto a la tortuga por última vez, se detenía volvía a evaluar la situación, y entonces la tortuga siempre ganaría la carrera y Aquiles no la podría adelantar nunca. Pero es una carrera, y la cosa es que "la alcance", que es igualarla o superarla.
De todas formas, si Aquiles recorre 1,2 estadios en algún momento estará exactamente en la misma posición que la tortuga, igual que en una carrera en la que uno adelanta a otro, en algún momento los dos están en el mismo punto. Lo que no tiene sentido es que a mitad de carrera cuando uno alcance el punto exacto donde está el otro se pare y diga "ja, te alcance!" y el otro siga. Alcanzar algo es tanto igualarlo como superarlo.
Y por cierto, su problema realmente no justifica en ningún la existencia o no de realidad en serio, porque lo que plantea no sirve para demostrar la existencia o no de realidad, y no es más que un simple problema matemático basado en una actitud incomprensible de uno de sus protagonistas. ¿De verdad tú crees que es evidente que por un problemilla con trampa se puede demostrar que no existe la realidad?
No sé, yo creo que sin más, Zenón metió la pata y planteo un problema mal formulado basado en una premisa falsa, que es que uno en lugar de perseguir un objeto persigue el último punto donde vio ese objeto, y además cuando llega, se detiene. Con esa "regla no escrita" en el problema lógicamente no puede ganar nunca. Un objeto en movimiento constante y otro que se tiene que detener. No sé, es que si se visualizara la carrera con actores todo el mundo empezaría: "¿pero qué coño está haciendo Aquiles?"
Claro, es exactamente lo que dices.
Pero ahí está también la paradoja. Evidentemente en una carrera real Aquiles no habría actuado de semejante modo, pero aun así estamos en las mismas.
Lo que Zenón plantea (aunque lo hubiese hecho sin darse cuenta) es una fórmula no matemática que sirve para mostrar lo que hoy conocemos como "cálculo infinitesimal".
No es que el cálculo infinitesimal solucione la paradoja, es que el cálculo infinitesimal es la naturaleza matemática de la paradoja.
Si te paras a observar la paradoja con esa perspectiva que dices, entonces claro que no vas a ver nada, porque no estás fijándote en lo que Zenón trataba de mostrar.
Solo respóndete a ésto: ¿qué te sugiere la palabra "infinitesimal"?
No puede haber una medida infinitesimal a menos que todo se encuentre en el mismo y único punto indivisible, y el espacio, el tiempo y el fenómeno del movimiento que se genera como causa de estos dos factores tan solo es una forma de decodificación de la información intrínseca de éste punto. Justo del mismo modo que sucede con un "holograma".
Por supuesto que el modo en que Zenón plantea la paradoja no tiene sentido si lo analizamos desde el sentido común, pero lo que tenemos que ver es lo que el planteamiento en sí nos muestra, y lo que nos muestra es la existencia del cálculo infinitesimal.
Si podemos medir algo irreal tomando como base algo real, es que esa "base" no es tan real como parecía.
Son formas de entender la paradoja. No se trata de que el movimiento sea irreal solo porque Aquiles no pudiese alcanzar a la tortuga. Se trata de que el movimiento es irreal porque la relación espacio-tiempo que produce éste fenómeno es una ilusión.
La relación entre espacio y tiempo es solo una decodificación que hacemos de un aspecto que en realidad es un punto, una unidad que puede ser medida infinitesimalmente, y el movimiento es el fenómeno que ésta relación produce.
La cuestión es que no estás haciendo más que meter parámetros que Zenón no usaba para decir que estaba demostrando algo que ni siquiera menciona ni sugiere. Si cuando él expuso el problema estaba diciendo que no existía el movimiento, ni la realidad, ni el espacio ni el tiempo, estaba formulando un problema para decir que eso no existía. No descubrió ni fue el inicio del cálculo infinitesimal, lo que pasa es que el creía que su problema no tenía solución y el hecho de que no tenga solución demuestra que la realidad no existe, pero hay solución, la da el cálculo infinitesimal, y se puede comprobar empíricamente. Aquiles puede alcanzar a la tortuga recorriendo una distancia superior de 1,11111... estadios.
No entiendo como alguien puede estar demostrando algo cuando la existencia o no de realidad no está contenida entre los parámetros que calcula. Y de hecho, el cálculo infinitesimal no demuestra que la realidad no exista, menos lo va a demostrar el problema de Zenón.
Ahora, que si tú quieres decir que él estaba formulando algo que nunca dijo querer formular, cuando lo que hizo como mucho es formular un problema para el que no tenía herramientas de cálculo y pretender defender con ello que la realidad no existe, pues bueno, me parece bien. Pero me parece sobrevalorar el mérito de un problema mal planteado basado en un juego, una carrera, con unas reglas extrañísimas, pero que acaban derivando en la barbaridad de "la realidad no existe". Lo que demuestra es que es imposible alcanzar a alguien en movimiento continuo si te detienes, vamos, que es imposible que un objeto en movimiento y un objeto detenido puedan permanecer en el mismo lugar durante un periodo prolongado de tiempo. Más bien demuestra todo lo contrario a que el movimiento no existe, porque precisamente porque el movimiento existe y la tortuga se mueve, Aquiles no puede alcanzarla si se detiene, porque ella se va a seguir moviendo. Pues que no se detenga.
-- editado por última vez a las 18:25
¡Pero que no se trata de si Aquiles alcanza o no alcanza a la tortuga! xD
Ya dije que son formas de entender la paradoja: El verdadero problema que se plantea es la existencia de una medida que jamás podría terminarse de medir. Es decir, EL PROBLEMA ES LA EXISTENCIA DE UNA MEDIDA INFINITA EN UN CAMPO FINITO.
Además que para recorrer esa distancia (en el caso de que fuese posible), necesitaría tiempo infinito. Osea que estamos en las mismas: se pasaría recorriéndola infinitamente, sin terminar nunca de llegar al final.
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