álgebra

Algunos de nuestros lectores reclaman la demostración matemática del algoritmo de los campesinos rusos que publicamos ayer.

En realidad, lo que estamos haciendo es descomponer el número de la derecha en potencias de dos. En el ejemplo de ayer, teníamos 105×68. Si descomponemos 68 en potencias de dos, tenemos que 68 = 64 + 4 = 2^6 + 2^2. Como la multiplicación es distributiva, está claro que 105×68 = 105×(64+4) = 105×64 + 105×4.

¿Cómo se conecta esto con el algoritmo? Comencemos por la columna de la derecha. En la primera fila, si el número de la derecha es par, quiere decir que a la hora de descomponerlo en potencias de dos, no aparecerá 2^0 = 1, por eso lo tachamos. (En caso de que el número de la derecha fuese impar, sí que aparecería el 1 en su descomposición. Por ejemplo, 5 = 4 + 1 = 2^2 + 2^0).

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El sistema de multiplicación que todos aprendimos en el colegio es el más habitual en todo el mundo desde que se extendió la numeración arábiga (el sistema decimal que usamos en la actualidad), sin embargo hay otros muchos métodos para obtener el resultado de la multiplicación.

Uno de los más conocidos es el llamado método de los campesinos rusos (o simplemente, de los campesinos), un sistema que podemos definir como “lento pero seguro”. Los únicos conocimientos requeridos son saber sumar, así como dividir y multiplicar por dos, sin saberse ninguna otra tabla de multiplicación.

Comenzamos escribiendo los dos multiplicandos al principio de sendas columnas. En la de la izquierda, iremos duplicando progresivamente el valor del número obtenido, y en la de la derecha iremos dividiendo por dos, redondeando a la baja cuando sea necesario.

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Se define una matriz A de orden m x n, a una reunión de m x n elementos colocados en ‘m’ filas y ‘n’ columnas. Cada elemento que forma la matriz A se denota como aij donde i corresponde a la fila del elemento y j a la columna.

A continuación vemos algunos tipos de matrices:

La matriz traspuesta de A, denotada con At es la matriz obtenida a partir de cambiar las filas de A por columnas.

Se denomina matriz columna a la matriz que tiene m x 1 elementos, y se llama matriz fila a la matriz de 1 x m elementos.

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Paul Adrien Maurice Dirac fue un físico inglés del siglo XX considerado un pionero en el campo de la física cuántica. Dirac es recordado como un genio excéntrico por sus ideales y sus brillantes intervenciones. Cuenta la historia que Dirac se encontraba en la Universidad de Göttingen, donde los físicos y matemáticos de la época jugaban a escribir todos los números del 1 al 100 usando todo tipo de operaciones algebraicas únicamente con el número 2. Por ejemplo para 1 tenemos 2/2, para 2 tenemos 2/1, para 3 tenemos 2^2 – (2/2), ... Cuando le plantearon el problema a Dirac dió como solución la siguiente ecuación

donde el número de radicales es igual al número dado N. Con esta solución general, se dejó de jugar en la Universidad de Göttingen.

Referencias | Històries de la Ciència
Referencias | Wikipedia

Toda transformada wavelet considera una función (que se supone dependiente del tiempo) en términos de oscilaciones tanto en el tiempo como en la frecuencia. La transformada de Fourier descompone funciones (o señales como diría un ingeniero) en combinaciones lineales de funciones exponenciales. La función exponencial satisface unas simples ecuaciones diferenciales (f’(x) = f(x) y f’’(x) = -f(x)). Con esto tenemos que para algunas aplicaciones es útil llevar wavelets a bloques básicos. Las wavelets de Daubechies están basadas en ecuaciones de dilatación, las cuales tienen la siguiente forma

Esto motiva a introducir una nueva clase de funciones, las cuales vamos a llamar temporalmente Funciones P-Di, que son soluciones de ecuaciones de la forma

donde c_k,j son polinomios de x. Introduce el operador doble T_x por T_xf(x) = f(2x).

Las Funciones P-Di son exactamente esas funciones Φ(x) que se encuentran canceladas por operadores de la forma P(T_x, E_x, x), donde E_x es el operador shift en x: E_xf(x) = f(x+1).

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