Ante la pregunta de cuál es el mayor número concebible, la repuesta es sencilla: el número infinito.
Pero el matemático Georg Cantor (San Petersburgo, 3 de marzo de 1845 – Halle, 6 de enero de 1918) elaboró ingeniosos argumentos que demostraban la existencia de diversos infinitos diferentes, y algunos de ellos eran más grandes que otros… es decir, más infinitos.
El tipo menor de infinito es el que se obtiene simplemente contando sin descanso para siempre: 0, 1, 2, 3, 4… y así hasta el infinito. Este número lo llamó Alef0 (que recibe su nombre de la primera letra del alfabeto hebreo). Este número pertenece a lo que Cantor llamó números transfinitos.
Esta clase de números poseen determinadas propiedades. Por ejemplo, si se suma Alef0 a sí mismo se obtiene sencillamente Alef0. Y lo mismo pasa si se multiplica a sí mismo.
Cantor también demostró que existen otros infinitos incluso mayores, empezando por el Alef1, un número tan grande que ni siquiera puede alcanzarse contando durante una cantidad infinita de tiempo.
Resulta que también hay un número infinito de más infinitos, cada uno mayor que el anterior, hasta llegar al mayor de todos ellos, conocido como el infinito absoluto y denominado Omega.
Este número es tan vasto que es literalmente indescriptible; de hecho, su definición se basa en la idea de que cualquier intento por describirlo acabará siempre describiendo algo inferior. Como si el número fuera Dios. De hecho, Cantor escribió artículos religiosos sobre el tema.
Cantor Murió en una clínica psiquiátrica de monjas, aquejado de una enfermedad maníaco-depresiva provocada por sus intentos de comprobar matemáticamente la Hipótesis del continuo: No existen conjuntos cuyo tamaño esté comprendido estrictamente entre el de los enteros y el de los números reales.
Más información | Cayo César Calígula
Comentarios
infinito es un símbolo, no un numero, por lo que el mayor número posible no es infinito
discrepo contigo en un aspecto. El infinito es un símbolo al que se le ha dado la idea de que en él está el numero más grande, pero estoy contigo en el hecho de que es un símbolo, ya que no esta formado por números (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0) y es por eso que creo que Sergio se equivoca al afirmar que el numero mas grande es el infinito. El numero mas grande no se conoce porque siempre habrá uno mayor, el infinito es la idea que nos hacemos para acercarnos a ese número.
interesante
Quiero expresar mi desacuerdo con los votos negativos que se le ha dado a Ardemion por haber citado a Gauss (aunque quizás sin saberlo y no de forma exacta).
PD: es decir, se le puede rebatir con mensajes, pero votarle negativamente es un alarde de ignorancia.
-- editado por última vez a las 11:50
interesante
Te respondo a ti pero en realidad responderia a todos los comentarios que siguen tu linea:
En el fondo no habeis captado el concepto de infinito, por eso no lo veis asi. No es tan simple como un simbolo. Y tampoco como dicen otros es una simple invencion humana. Los humanos hemos inventado lso numeros, pero estos representan relaciones de la realidad y por tanto parte de la realidad en si. De este modo, aunque no seas capaz de entender el infinito (algo logico) se puede demsotrar como hizo Cantor, que existen y que pueden ser mayores o menores. (Es mas, cuando te ves obligado a avanzar un poco en las matematicas de verdad descubres que se pueden sumar con uan precision absoluta, sucesiones de infinitos terminos, algo que si tuvieseis razon no se podria hacer.)
Jajaj.. ingenuo Cantor... Infinito es el conjunto de todos los numeros, por eso no pudo demostrar la hipotesis del continuo.
http://www.genciencia.com/quiz-genciencia/quiz-genciencia-infinitos-sobre-subconjuntos-infinitos-algunas-pistas
http://www.genciencia.com/quiz-genciencia/quiz-genciencia-solucion-infinitos
-- editado por última vez a las 00:29
Yo ya dije todo lo que tenía que decir en la serie que escribió ignacio sobre el infinito, y la verdad, al igual que en alquel entonces sigo pensando que lo de las explicaciones de cantor servirán para "cerrar" un montón de paradojas matemáticas, pero sigue siendo falaz, no puede algo ser más grande que algo que no tiene fin, con el ejemplo de cantor, no se demuestra (a mi ver) que un infinito es más grande que otro, solo que en uno, sus elementos paarecen con mayor frecuencia al "contarlos" y es que es como si tienes dos corredores en una maratón infinita, la distancia es la misma para ambos, y ninguno de los dos llegará jamás al final, por lo que en contra de la intuición, el más rápido no llegará primero.-
interesante
pero el conjunto de los números enteros es infinito, y aún así está contenido en otro conjunto mayor... ¿que es ese otro conjunto si no "más" infinito que el primero?
Pero eso no es aplicable a la realidad, los números no son mas que una invención humana una forma abstracta de contar las cosas, mientras nadie escriba infinidad de números no existen los números infinitos. Concuerdo con "heygonza" la creación de infinitos más grandes solo sirve para trata de descifrar paradojas mentales (que no reales) y sobre eso no hay reglas, alguien puede decir que hay infinitos más grandes que otros y otra persona decir que todos son iguales y ambos tienen razón pero también ambos se equivocan por que simplemente son reglas el hombre inventa sin tener comprobación científica a tal punto de que terminamos hablando de algo que ya no es ciencia.
Claro, pero no solo eso, sino que es imposible que no se formen paradojas cuando tratamos con magnitudes infinitas, vease, si puede alguien omnipotente crear una piedra que no pueda mover por ejemplo.-
Eso pasa en todos los aspectos porque el infinito, a diferencia de los números que no existen pero los idealizamos, no existe, y no podemos idealizalo, entonces, se crean estas situaciones que contradicen la lógica.-
El infinito, es infinito, y está formado por infinitos infinitos que a su vez están formados por infinitos. pero ningún infinito es más grande que los infinitos que contiene, ni más chico que los que lo abarcan porque ninguno, tiene fin, es meramente hipotético y por tanto y al "no tener fin" no puede ser algo más grande que él.-
Eso es porque tanto heygonza como tú pensáis como Aristóteles (salvando la distancia). Créeme que sí hay reglas para saber qué infinito es más grande que cuál otro y que para muchas personas sí tiene sentido investigar y saber sobre estos temas.
El ministro Gabilondo, antes de ser ministro, decía una frase magnífica a este respecto:
interesante
Heygonza, una paradoja (AÑADIDO: por lo menos en matemáticas) aparece cuando los conceptos están mal definidos, no cuando algo choca contra nuestra intuición. En el caso del infinito, cuando se habla de ello sin una buena definición se llega a paradojas que te obligan a reforzar tu definición, no a decir que no se puede saber y quedarse tan ancho. La genialidad de Cantor, con la ayuda de su amigo Dedekind, no fue tanto establecer ciertos teoremas sobre el infinito sino encontrar las definiciones adecuadas para tratarlo.
-- editado por última vez a las 12:06
Lo increíble es que este planteamiento de Cantor se puede aplicar a las Matemáticas ordinarias por ejemplo en la resolución de un límite.
En la indeterminación "infinito" - "infinito" si el primero resulta que esta elevado al cuadrado el resultado es "infinito" cosa que se puede comprobar resolviendo el límite por el método normal.
Saludos.
¿Y no es precisamente ese uno de los fundamentos de la matemática? La matemática es una estructuración artificial y abstracta que el ser humano ha ido desarrollando a lo largo de su historia y que hace usos de muchas cosas imaginarias que realmente no existen pero que de una u otra forma se aplican a resolver problemas que sí existen. Que tampoco es lo mismo una comprobación científica que una comprobación empírica (si es por eso, ningún infinito existe, ni más grande ni más pequeño).
Como muestra un botón, los números complejos o la raíz de -1.
Si, pero como dije, los números y demás cuestiones matemáticas, no existen pero los idealizamos.
El infinito es imposible de idealizar.-
Un infinito, no puede ser más grande que otro, un conjunto infinito contenido en un conjunto infinito, no será menor que el conjunto infinito que lo contiene, por muy distinta que su cardinalidad sea. SON IGUALES, ninguno de los dos tiene fin.-
Y llegamos a Gödel y su teorema de la incompletitud.
La ampliación de la definición lo saca de la paradoja pero lo convierte en un sistema incompleto.
...Ying-Yang.
Y como se le nombraría a un numero, por ejemplo: 92837783283204834934934887292018213434.
Hasta yo me asusto con esa cantidad.
interesante
¿8 votos negativos por poner un número con un montón de cifras? Me parece que esto de los votos está degenerando. Creí que la gente de ciencias no se dedicaba a descalificar toda opinión que difiera de la suya, sino más bien a razonarla y rebatirla si es preciso, con coherencia. Pensaba que este comportamiento acusatorio era propio de dictadores de creencias. Como sigamos así pronto veremos en facebook grupos llamados "Tengo miedo de dejar un comentario en Genciencia por si mis hijos heredan mis votos negativos" o "He perdido tantos puntos en Genciencia que con los votos positivos de 3 generaciones, no conseguiré un estatus normal"
Si no me equivoco señor Adrianortiz, el número se lee: 92837783283204834934934887292018213434 ¡ja ja ja!
No ya en serio: Mira el comentario # 5 del señor Ardemion (se me adelanto).
Y no se asuste (a menos que sea una deuda), los cientificos y simples ciudadanos del Tercer Mundo (por la hiperinflación) estan acostumbrados a manejar estas cifras; pero como ellos (los cientificos) también son practicos, simplemente manejan notación cientifica con redondeo. Asi entonces seria su número: 9,3x10 a la 37 (disculpe no se como colocar el 37 como exponente). También le recomiendo ver la dirección que le cita. ¡Bueno, ahí hay para divertirse al por mayor!
-- editado por última vez a las 01:44
interesante
pues, se llama: noventa y dos sextillones ochocientos treinta y siete mil setecientos ochenta y tres quintillones doscientos ochenta y tres mil docientos cuatro cuatrillones ochocientos treinta y cuatro mil novecientos treinta y cuatro trillones novecientos treinta y cuatro mil ochocientos ochenta y siete billones docientos noventa y dos mil dieciocho millones docientos trece mil cuatrocientos treinta y cuatro... y no es taaanto la verdad... quienes un numero grande? a la mente se me viene un googolplex, que vendria siento un uno seguido de un googol de ceros, que vendría siendo, creo, 10^100... y si lo quieres más graned aún, un googolduplex, que es un uno seguido de un googolplex de ceros XD...
http://es.wikipedia.org/wiki/Googolplex
ahi puedes ver lo grande que ese se numero....
interesante
Trataré de explicarlo de una manera sencilla y con escasos términos de matemática.Es cierto que el conjunto de los números enteros (Z) es un conjunto infinito y está "dentro" de otro conjunto infinito. Pero eso no me dice que ese otro conjunto es "más infinito" como asevera ardemion. Para ponerlo sencillo, la cardinalidad de Z es la misma de los racionales (Q), es decir existe una biyección entre ambos conjuntos, lo que me dice de cierta forma que ambos conjuntos son igual de "grandes" en cardinalidad o en la forma de "contar", ese cardinal transfinito es Alef sub cero, que es el mismo de los naturales N. El cardinal de los reales (R) es c y es un cardinal mayor que alef sub cero, es decir que es un conjunto más grande, los conjuntos N, Z y Q son DENSOS en R.
interesante
Perdona por la crítica que estoy a punto de hacerte pero créeme que el ánimo es que sea constructiva:
1. Uno ha de saber (o al menos intentarlo) qué clase de público tiene. En este blog, el público es normalmente generalista (si es que existe esa palabra). Me refiero a que no es especialista en matemáticas (al menos no todos) y conceptos como "biyección", "densidad" y "cardinalidad" no son de ámbito general, de uso normal, por normales y habituales que te parezcan a ti.
2. Esto va más bien a ti: el concepto de "densidad" es un concepto topológico. Decir que un conjunto es denso en otro significa que la clausura del primero coincide con el segundo (este concepto es denso para alguien que no esté habituado a estos temas, por eso yo nunca lo habría puesto en una explicación en un blog de este corte). Relacionado con esto, cometes un error muy grave (ojo, un error matemático; lo digo porque los fanáticos de la aplicabilidad y la utilidad de las cosas no se me echen al cuello): es cierto que el conjunto de los racionales es denso en el de los reales, pero lo que no es cierto es que los naturales y los enteros lo sean en los reales pues sus clausuras coinciden con ellos mismos (es decir, la clausura de los naturales es los naturales y lo mismo con los enteros).
Por lo demás, me ha parecido muy bien tu ánimo por intentar aclarar las cosas.
Saludos
PS Por cierto, espero que nadie se me ofenda cuando les he llamado generalistas a falta de un nombre mejor: cada uno sabe de lo que sabe y no por eso yo creo que sea mejor uno que otro, pero yo me refiero a que cuando tu interlocutor no es de tu especialidad, tienes que usar lenguaje distinto para explicarle algo al que usarías si sí fuera de tu especialidad.
Público generalista me parece correcto, ya que se tocan tantas ramas científicas que está claro que nadie domina todas ellas. Ofende mucho más que gente que no domina un tema, como heygonza, opine como se fuese un experto y diga auténticas burradas. De todas formas es difícil (o imposible) tratar de explicar con palabras no matemáticas los conceptos que expone aljomees para que el "público generalista" pueda entender lo que demostró Cantor. En líneas generales, dos conjuntos tienen el mismo cardinal si puedes emparejar cada uno de sus elementos con otro del otro conjunto de alguna forma. Por ejemplo, si tienes los conjuntos A={1, 2, 3} y B={2, 4, 6} puedes hacer el siguiente emparejamiento 1<->2, 2<->4, 3<->6, aunque cualquier otro emparejamiento hubiese valido (o inlcuso contar los conjuntos, pero para los conjuntos infinitos no nos vale este método). Dicho esto, podemos decir que los numeros naturales y los números pares tienen el mismo cardinal, ya que podemos emparejar a cada número natural con otro número de los números pares (el doble) y quedarían absolutamente todos los números de ambos conjuntos emparejados. Esto a simple vista resulta paradójico, ya que parece evidente que en el conjunto de los pares hay la mitad de elementos. Pues bien, está demostrado que se puede realizar un emparejamiento de los números naturales con los números racionales (fracciones), además la demostración de esto es muy bonita y gráfica, pero también está demostrado que no se puede realizar ese emparejamiento con los números reales (donde además de las fracciones están números como Pi, E o las raices), por lo que está demostrado que el conjunto de los reales tiene más elementos que el de los números naturales y por lo tanto es un infinito "mayor". Y podemos definir infinitos más grandes de la siguiente forma: si tenemos un conjunto (cualquiera) podemos definir otro conjunto cogiendo todos los posibles subconjuntos de ese conjunto. Por ejemplo, con el conjunto A de arriba, el conjunto "partes de A" (que así se llama) P(A)={{}, {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}. Este conjunto, para los conjuntos finitos, tiene 2^n elementos (donde n es el cardinal del conjunto base), en este ejemplo, 2^3=8. Lo curioso de estos conjuntos es que si cogemos como conjunto base un conjunto infinito X no podemos establecer un emparejamiento con los elementos de P(X), por lo que el cardinal de P(X) es estrictamente mayor que el de X. A partir de aquí la cosa se pone mucho más interesante, ya que empiezan a surgir preguntas sin resolver o incluso preguntas que se han demostrado que no se pueden contestar.
Para no usar términos matemáticos, lo has hecho bastante bien. Bien es cierto que al final no lo has podido evitar y has necesitado un poco de terminología pero (y aquí viene el gran pero) esto es la esencia de sitios como éste: la gente no quiere ciencia, quiere divulgación. Sé que este tema daría para otro blog entero, pero la ciencia es aburrida, es repetitiva, exige mucho esfuerzo, mucha memoria, mucha concentración y mucha creatividad. Sí, para disgusto de muchos he puesto en una misma frase las cualidades de "memoria" y "creatividad", pero esto es otro tema. Las matemáticas son apasionantes, pero sobre todo son difíciles por mucho que nos intenten vender la moto de que no lo son. Cierto es que "sarna con gusto no pica" y cuando uno está predispuesto, aunque le siguen pareciendo difíciles, la satisfacción que obtiene al comprender las cosas compensa las tazas de café y las noches delante del libro.
Hablo de las matemáticas porque es el ámbito que conozco, pero me imagino que lo mismo pasará con la física, la química y la biología.
Tampoco estoy en contra de la divulgación y de blogs como éste, todo lo contrario: este blog es una de mis lecturas diarias y me encanta el esfuerzo por contar y divulgar la ciencia y el buen hacer de Sergio. Sólo digo que el gran engaño de nuestra sociedad actual (uno de tantos, uno de tantos...) es creer que la ciencia sólo es eso: divulgación.
Y señoras y señores, nada más lejos de la realidad.
#16, antonio_gs, estoy de acuerdo, pero la divulgación ayuda a acercar las matemáticas a la gente y a que se interesen por ellas. Yo desde luego no habría estudiado matemáticas si lo único que hubiese conocido de ellas son integrales y cosas del estilo, jeje. El hecho de conocer grandes problemas y curiosidades como el de este post en concreto, aunque a priori puedas ser incapaz de abordarlo por carecer de conocimientos y herramientas, sí que ayuda a que la gente se acerque. Si yo tuviese 16 años y leyese posts de este estilo (en los ratos q no estoy de botellón, claro ;-)) seguro que me picaría la curiosidad y orientaría mis estudios de forma que en un futuro pudiera abordarlos. La divulgación científica es vital, aunque está claro que ciencia no es igual a divulgación y que a muchos científicos les revienta que lo único que se conozca de su trabajo sean curiosidades sin importancia (para ellos). No quiero pensar en cómo se tiene que sentir Cantor viendo que mucha gente aquí opina que su trabajo no aporta nada...
#18 Osuraku, estamos hablando de lo mismo (así que no voy a abundar en el tema). Consejo: no te preocupes por los que "mucha gente aquí opina que su trabajo no aporta nada" y sí por los que les haya parecido interesante el post o al menos les haya picado un poco la curiosidad. No digo que sea la única manera de verlo, pero al menos así evitarás la secreción excesiva de ácidos estomacales :)
Eje cierto! tienes razón! que pelón pa feo! En realidad iba a escribir una cosa, me arrepentí y terminé escribiendo otra, sin corregir lo que había escrito, iba a escribir N, Z y Q están "dentro" de R, pero luego recordé el teorema:
"Dados a y b en R, con a mayor que b, existe un r, que pertenece a Q, entre a y b" (Bartle. Elements of real analysis (Wiley, 1964)pag 41) Traducción: entre dos reales siempre estará un racional
Qué es el concepto de densidad al que me refiero (por cierto, aparece entre comillas en el texto, quizás para hacer alusión al concepto topológico que también es cierto y debe implicar el que estoy dando aquí), y bueno la historia es conocida escribí una cosa sin sentido XD
Y referente a mis comentarios, es la primera vez que comentó en este blog, y no tenía la menor idea al público al que estaba dirigido, y terminé usando esos conceptos, que como dices son muy comunes para mí. Así que intentaré explicar:
-Cuando me refiero a cardinalidad me refiero al tamaño de un conjunto, si el conjunto tiene 3 elementos su cardinalidad es 3, si tiene 4 elementos su cardinalidad es 4 y así, si el conjunto tiene n elementos su cardinalidad es n. La cardinalidad de N es Alef sub cero. -Cuando me refiero a biyección, es que puedo establecer una correspondencia uno a uno para todos y cada uno de los elementos de dos conjuntos, es decir puedes formar parejas con elementos de cada conjunto sin que quede alguno sin pareja -Y bueno, lo de densidad lo expliqué algo arriba.
Pido disculpas por ambas cosas y gracias por la correción.
A ver, que no tengo nada contra Cantor que hizo muchas cosas más además de hablar de infinitos, en este tema yo creo que no está bien. Lo demás perfecto.-
Y el tema de la cardinalidad, es exactamente el problema porque es allí dónde Cantor se sustenta para afirmar infinitos más grandes que otros, pero eso no importa, porque al ser ambos "infinitos" y por tanto NO TENER FIN por muchos infinitos extras que un conjunto contenga el otro siempre va a tener contenido para responderle.-
Y perdóname si te ofende, pero es cierto no sé matemáticas, pero al menos no voy a defender algo porque lo dijo Cantor o cualquier otro experto en cualquier otro campo porque simplemente "NO FIN" es "NO FIN".
Y cuando dices: "A partir de aquí la cosa se pone mucho más interesante, ya que empiezan a surgir preguntas sin resolver o incluso preguntas que se han demostrado que no se pueden contestar."
Lo que estás haciendo, es evitar caer en las paradojas que producen el que algo infinito, sea más grande que algo infinito.-
Claro que no se pueden contestar, porque no es posible idealizar algo más grande que algo que no tiene fin, ni expresar por tanto matemáticamente esa cuestión.-
En cualquier caso lo único que demuestra eso es que el sistema que creamos es imperfecto. Y por tanto al extrapolarlo a una dimensión "infinita" pierde su vigor.-
Si tuvieramos infinito tiempo para emparejar ambos conjuntos no importa la cardinalidad, jamás nos quedaríamos sin números en un conjunto para responder a los del otro.-
Si Cantor viviera, me encantaría que ahora en pleno siglo XXI nos explicara los "pequeños detalles" (sic) que a partir de investigaciones posteriores abrieron esa brecha en su explicación llenandola de preguntas sin resolver.-
A lo largo de la historia, el hombre a usado una gran cantidad de conceptos que luego se demostraron erroneos, pero que igual en ese tiempo, servían de forma efectiva para cubrir las necesidades de la ciencia en ese momneto.-
Desde el PI egipcio a posiblemente toda nuestra física moderna una vez que la física cuantica sea comprendida lo suficiente para que sepamos realmente el por qué de las leyes físicas y no solo que están allí.-
Pero mientras, no importa que cuando sepamos el origen y funcionamiento de la gravedad todo lo que creíamos se caiga por tierra, porque aunque no sea correcto, funciona para nosotros.-
Esa es la cuestión con los conjuntos infinitos, para librarnos de un concepto infinito, que es el fin (o no fin mejor dicho), lo más grande, creamos toda una jerarquía de infinitos que no tienen sentido de ser.-
interesante
Respondiendo al # 49, el señor Heygonza:
Siguiendo su "logica" entonces concluiriamos que es el Sol el que le da vueltas a la Tierra. Esto porque como no comprende fisica, entonces hasta que no lo saquen en una nave espacial y lo vea, el heliocentrismo esta errado. Señor Heygonza el que no entienda un asunto cientifico, no quiere decir que este no exista. Con todo respeto deje de ser solipsista. Le recomiendo estos articulos, para una introducción a la ciencia: http://www.genciencia.com/no-te-lo-creas/algunas-diferencias-fundamentales-entre-la-fe-en-la-ciencia-y-la-fe-en-la-religion-i http://www.genciencia.com/no-te-lo-creas/algunas-diferencias-fundamentales-entre-la-fe-en-la-ciencia-y-la-fe-en-la-religion-y-ii http://www.genciencia.com/otros/los-que-no-saben-ciencia-estan-completamente-ciegos-i http://www.genciencia.com/otros/los-que-no-saben-ciencia-estan-completamente-ciegos-ii Y sobre todo este: http://www.genciencia.com/medicina/como-saber-si-estas-loco
Yunni, es difícil poder argumentar nada con heygonza, porque mientras que el post habla de Matemáticas, con definiciones y conceptos matemáticos, heygonza se empeña en hablar de Semántica y Filosofía. Cuando quiera hablar de Matemáticas, yo estaría encantado de tener una discusión constructiva, pero mientras es perder el tiempo. Si su definición de infinito es NO TENER FIN (Semántica pura y dura) y no acepta ningún otro matiz o definición más específica, entonces es imposible poderle rebatir nada. Además, hay un parrafo que me hace gracia, cuando dice "si tuvieramos infinito tiempo para emparejar ambos conjuntos...", evidentemente hay herramientas suficientes para no necesitar infinito tiempo y debería investigar sobre lo que significa ser "contable" o "numerable" y buscar por ejemplo el método de la diagonalización de Cantor. Pero desde mi punto de vista, lo único positivo que se puede sacar de este debate, es que venga otra persona que pensase igual que heygonza y que al leer estos comentarios tenga las suficientes ganas de aprender como para darse cuenta de que está equivocado y quede maravillado ante la genialidad de Cantor.
El solipsismo es una postura tan válida como cualquier otra, el cómo abordar esa filosofía con respecto a otros, es otro cantar.
Heygonza #49, yo de ti me releería estos post de abril:
http://www.genciencia.com/matematicas/las-matematicas-son-faciles-si-trabajas-duro-el-timss http://www.genciencia.com/psicologia/practica-10000-horas-para-ser-el-mejor-el-talento-innato-i http://www.genciencia.com/psicologia/practica-10000-horas-para-ser-el-mejor-el-talento-innato-y-ii
"¡Hasta el infinito y más allá!" –Buzz Lightyear, digo Georg Cantor
Berto ya vaticinaba estas discusiones hace unos dias haciendo de Einstein...
¿qué pasa cuando uno tiende a infinito...?
Que infinito se seca!!! jajajaja (chiste de descubridores...) :P :P
¡Ja ja ja!
Cuando dices que "Cantor demostró que también existen otros infinitos mayores empezando por aleph1" en verdad estás siendo inexacto. Es precisamente eso la hipótesis del continuo: que no existen cardinales entre aleph0 y aleph1. Así que no demostró que los cardinales mayores que aleph0 empezaran en aleph1. Sólo es una manía matemática lo de ser riguroso en los enunciados, el artículo está muy bien.
En verdad, Cantor murió intentando demostrar otra cosa menos matemática: que las obras de Shakespeare habían sido escritas por Francis Bacon. Un gran salto de la topología y la teoría de conjuntos a la lingüística.
interesante
Antonio, por definición alef 1 es el cardinal inmediatamente superior a alfe 0. La hipótesis del contínuo afirma que no hay ningún cardinal entre alef 0 y el cardinal de los números reales, c. Es decir, la hipótesis del continuo afirma que c=alef 1.
Tienes razón, fallo mío. Gracias :) Hablo de rigor y luego mírame...
-- editado por última vez a las 11:58
jaja no sabía eso! Cantor murió probando eso... jajajaja siempre había oído que termino loco, siempre hay genialidad en la locura o como diría Edgar Allan Poe “Los hombres me han llamado loco, pero aún está por aclararse si existe la locura o si no se trata de la más elevada inteligencia"
Vamos señor Antonio_gs la ciencia no es aburrida. Este es un concepto muy subjetivo y por lo menos para mi y creo que para usted, la ciencia no es aburrida. Gracias por sus divulgaciones.
Estos temas de índole personal los discutimos cuando usted quiera, pero en privado :)
-- editado por última vez a las 23:30
sinceramente las matemáticas no son lo mío pero leyendo este artículo me recuerda cuando era pequeño y alguien decía eres 1000 veces más tonto que yo, y el otro decía pues tú infinito, a lo que respondían tu infinito +1, en fin que más que saber que hay infinitos más "grandes" que otros me interesa saber a que ayuda esta aportación de este hombre.un saludo y buenos días!!
Me parece que para llegar a explicar este concepto necesitaríamos recurrir a la filosofia.
interesante
no, a la filosofía no, a las matemáticas.
En realidad estos conceptos matemáticos son muy filosóficos: "la matemática es la representación idealizada del mundo real" (No recuerdo quien lo dijo) La mayoría, si no todos, los matemáticos de la historia han hecho filosofía, al final de cuentas de allí surgen muchas preguntas. Las actuales ramas la Lógica, Dinámica del Conocimiento y el Análisis hacen mucho uso de ella, incluso la física moderna.
¿No fue Galileo? O creo que dijo algo parecido.
totalmente de acuerdo, has explicado lo que queria decir
trataba de simplificar y ejemplificar al máximo el hecho de la existencia de infinitos más grandes que otros. por otro lado, como dije en mi primer comentario, no es el infinito un simbolo? en matematicas no puedes operar con infinito (no puedes decir infinito más uno)... entonces ese no podría ser el numero más grande, pq de por si, no es un numero
En matemáticas si se opera con infinitos, en el cálculo de límites de funciones está a la orden del día. Infinito+1 es algo relativamente común (o +2, o +2, o +X), y luego se "eliminan" los números despreciables y se obtiene un número concreto o una indeterminación, pero operar... se opera.
interesante
No he leído a fondo los comentarios más técnicos, con lo que no sé si alguien ya lo ha dicho.
Sergio, cuando dices:
Esto no es así. El Teorema de Cantor demuestra que para todo cardinal hay siempre un cardinal mayor, con lo que no es posible un "infinito absoluto". Por otro lado, Cantor llamó omega, ω, al primer ordinal transfinito, y esto nada tiene que ver con el Omega de Teilhard de Chardin, Ω.
Infinito es una representación de un numero irrepresentable.
Bien, tengo una especie de redefinición del infinito que quizás resuelva esto...
La discusión está en si realmente existen infinitos más grandes que otros. Y el argumento es el muy lógico "No puede haber algo más grande que algo que no tiene fin".
Cierto. Por cada número entero tenemos una cantidad infinita de número decimales, no es cierto? Y tenemos una cantidad infinita de números enteros. Así que la lógica matemática nos dice que el número de enteros (infinito) debe ser menor que el número de decimales (infinito x infinito). Sin embargo, la lógica nos dice que, al fin y al cabo, ambos son infinitos, y ninguno puede superar al otro porque ninguno tiene un final, un límite.
Creo que deberíamos añadir una definición. Hablemos de densidad.
Imagina una lámina de madera de 2cm de grosor, pero con una superficie bidimensional infinita. Ahora imagina otra lámina igual, pero de plomo. Técnicamente ninguna de estas láminas infinitas es mayor a la otra. Ante la pregunta "¿Cuál pesa más?", sólo podemos decir que ambas pesan infinitas toneladas. ¿Significa esto que ambas sean iguales? No, una de ellas es más DENSA que la otra, aunque no mayor.
Alguien ponía el ejemplo de dos corredores en una pista infinita. Aunque uno avance más que el otro, ninguno llegaría al final antes, ya que no existe tal final. Corriendo por una banda de Moebius nadie llegaría a la meta, pero uno rebasaría infinitas veces al otro. Es decir, hay un corredor más veloz, al igual que había una plancha infinita más densa.
Por tanto creo que es una incorreción afirmar que existen infinitos "mayores que otros", pero podríamos decir que existen infinitos MÁS DENSOS que otros. (El número total de enteros es más denso que el número total de decenas enteras, aún cuando ambas son infinitas).
Y ahora, si me disculpan, voy a patentar la teoría que acabo de desarrollar XD
Supongo que tendrás que demostrar antes que es consistente, esto es, que no contiene contradicciones internas. Lo que vienes a decir es que si un conjunto está incluido en otro, entonces el cardinal del primero es menor que el del segundo... Esto es trivial en el caso de conjuntos finitos, pero en el caso de infinitos, me parece, por ser benévolo, un tanto arriesgado. Con tu definición, los racionales tendrían un cardinal más grande que los naturales... no sé... ¿crees que podrías hacer matemáticas siquiera que fuera sumar y restar con esta definición? Pruébalo y ven a contármelo, que siempre estoy abierto a nuevas experiencias :)
Hola!
Hoy después de mucho tiempo de leer el blog y abstenerme de comentar, me animo a hacerlo y no porque tenga algo que aportar al tema, la verdad al leer los comentarios sobre terminos matemáticos no puedo hacer otra cosa que poner cara de what?. Escribo sencillamente porque el señor Cantor... Se apellidaba como yo! Jeje, y yo que había pasado mi vida pensando que mi apellido no tenia trascendencia... Lo siento, sé que es un comentario fuera de lugar, pero me agradó leer de un Cantor en un artículo científico... En fin, aprovecho para felicitar al Sr. Sergio Parra y a todos aquellos que comentan los artículos, de verdad ya me hicieron adicta al blog, sigan asi!
Saludos desde México
Señorita Ylonen (lo siento, no se como escribir la dieresis), su apellido tiene mucha trascendencia. Creo que si Cantor era de origen judio, usted también lo es.
Como persona "de calle", que suele pensar sólo en números enteros, artículos como éste nos recuerda que la matemática es más compleja e interesante que el uso cotidiano que hacemos de ellas. Por mi parte, yo desistí el comprender las mates, llegados a COU. Siempre he concebido los números como cosas reales (quiero decir tangibles, aunque no sea correcto eso) y eso de manejarlos y convertirlos en algo abstracto... es muy difícil. Sé que los números son conceptos, pero de saberlo a entenderlo es un trecho. Gracias a Sergio por hacer artículos que acercan estos temas a la gente de a pie. Y a comentarios como osukaru o antonio_gs (y otros más) que ayudan a comprender algo mejor.
Si hay unos infinitos mayores que otros (e incluso infinitamente mayores que otros infinitos) entonces, como al dividir cualquier número entre infinito el resultado es cero, si dividimos cualquier número por un infinito mayor que el anterior deberíamos obtener un cero más vacío que el primer cero mencionado (qué locura XD)
Cheno, en realidad no estás dividiendo entre infinito, lo que se hace es un proceso de paso al límite. La división entre infinito no está definida lo mismo que no está definida la división entre cero.
interesante
Cheno, cuando hablamos de números y de operaciones entre números hay que aclarar que esto no se puede dar de cualquier manera. Que se puedan hacer operaciones entre los números no depende de los números en sí mismos sino de cómo están organizados con otros números.
Simplificando, se llama grupo a un conjunto de números que se pueden sumar y restar entre ellos; anillo a un conjunto de números que se pueden sumar, restar y multiplicar; y se llama cuerpo a un conjunto de números que se pueden sumar, restar multiplicar y dividir. Por ejemplo, cuando haces la división entre 5 y 7 el resultado no es un número entero, de modo que los números enteros no son un cuerpo.
Del mismo modo, los números transfinitos no se pueden dividir porque no son un cuerpo, pero tampoco se pueden restar porque tampoco son un grupo. Los números transfinitos en realidad, más que números son cardinales y no se les puede pedir que se comporten como elementos de un grupo, anillo o cuerpo. Por ejemplo, ¿cuántos libros son 13 libros divididas entre 11 libros?
Tampoco los números ordinales se pueden dividir. Quizás un ejemplo ayude a verlo. Mañana es la carrera de F1 en Turquía, y los pilotos llegarán en un determinado orden que no se sabrá hasta que termine la carrera. Sea como sea, habrá uno que llegue quinto y otro que llegue séptimo, que son ordinales finitos. ¿Quién de entre los pilotos crees que sería la división entre el quinto (mañana sabremos su nombre) y el séptimo (mañana sabremos su nombre)? A que no tiene sentido esta pregunta? Y cuál piloto sería el quinto menos el séptimo?
Donde quiero llegar es que, como en matemáticas las cosas no se pueden tocar u oler para saber la respuesta correcta, se debe hacer el esfuerzo de definirlas con precisión y atenerse a esta definición si se quiere saber de qué se está hablando. Si no se sabe de lo que se está hablando o uno se inventa sus propias definiciones distintas de las de los demás no se puede decir nada inteligible en matemáticas, de modo que insisto en la necesidad de poner por delante definiciones sin ambigüedades.
Antonio, aquí estás mezclando análisis con teoría de conjuntos y quizás solo les confundas más. El tratamiento habitual del infinito en análisis sí es potencial como dicen Cheno, Heygonza y varios más; mientras que es en la teoría de conjuntos y la aritmética transfinita donde hay distintos cardinales y ordinales no finitos. Y por mucho que en teoría de la medida sí sea importante la diferencia, para poder llegar a ella se deben hacer varios cursos enteros de análisis, con lo que no es el caso de la mayoría aquí.
Porque las matemáticas toman conjuntos parciales y extrapolan esas diferencias a todo el concepto.
Es lo que sucede cuando tomas algo tan abstracto como infinito y lo coloreas.
No hay que irse tan lejos, incluso en las matemáticas más sencillas los números presuponen que hay cantidades exactas e iguales de un elemento. Si tu coges 2 chupa-chups, son parecidos, aunque no iguales, sin embargo las matemáticas para que funcionen nos indica que hay 2 atrapando ese concepto ideal pero la realidad no es así, es mucho más compleja y difusa, las fronteras que establecemos en ella son conceptos abstractos.
¿Qué infinito buscas? Cuando el terreno es el de las ideas, es mejor tumbarse 8.
Soy consciente de la mezcla, pero es que ellos también están mezclando (de alguna manera que intento entender pero no puedo) al intentar "obtener diferentes clases de ceros al dividir uno entre diferentes clases de infinito" (citado libremente). Con lo de los pasos al límite sólo intentaba aclararles (aunque creo que sin éxito) lo de las divisiones entre cero y entre infinito.
-- editado por última vez a las 23:11
A #62 te respondí antes de leer éste.
Yo por donde creo que va la pregunta o la duda (que me corrija Cheno si me equivoco) es porque resuena de los años de la escuela aquello de "uno dividido entre infinito es cero y uno entre cero es infinito". En este post se ha tocado el tema del infinito y de diferentes clases de éste y entonces la gente ha recordado los años mozos y han pensado un poco más allá. De ahí la mezcla y de ahí el intento de aclararlo cambiando al cálculo de límites. Quiero decir, si a la gente le suena esto por el cálculo de límites, ¿por qué no recordarles el contexto?
No sé si me explico, cada vez que releo este párrafo me parece menos claro que ponga lo que quiero decir, qué horror.
Antonio, ellos no mezclan por el simple hecho que no saben. Es decir, ellos conocen el infinito que les explicaron en el instituto, que es lo que les explicabas del límite, pero no saben que el infinito del que intenta tratar el artículo de Sergio, los transfinitos, son algo muy distinto y no se puede intentar ninguna aproximación a partir de lo que ya sabían sino que tienen que aprenderlo de nuevo desde cero.
Tienes razón, hay que decir alto y claro que el infinito que conocieron no era sino un límite de una sucesión de números finitos, y que es solo de las propiedades del límite que se puede extrapolar el uso de determinadas operaciones. Pero al mismo tiempo, también hay que decir alto y claro que pese a usar el mismo nombre, los infinitos de Cantor son algo diferente, con lo que no vale echar mano de la intuición. Yo he intentado esto último, pero con tantos comentarios por leer no todos lo han leído o no lo han leído antes de responder otro comentario.
Sí, efectivamente por ahí iba
Yo es que creo que el infinito no existe. Todo se puede contar, aunque el número sea inmensamente grande. De todos modos no soy matemático. Sólo me guío por mi sentido común. Los átomos del universo se pueden contar. Estoy seguro. Son numerables. Si lo más pequeño que conocemos, se puede numerar, el infinito para mí queda obsoleto. Es una manera vaga (comprensiblemente vaga) de representar números gigantescos. Otra cosa es que exista como concepto, que eso ya no lo discuto. Total, si existe Carmen de Mairena, puede existir de todo. Ilumínadme por favor, que seguro que estoy equivocado y me gustaría que alguien me ayudase (no estoy siendo irónico).
Según Wolfram Alpha se estima que el número de átomos en 10^80. Hay más partículas subatómicas, lógicamente. Efectivamente puedes hacer cálculos con series que llegan más allá, ¿pero hay alguna utilidad real?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=estimated+number+of+atoms+in+universe
Te respondo citando (libremente) a los grandes:
Albert Einstein
Dicho de otro modo: una cosa es el mundo real y otra son las matemáticas y son (no me puedo resistir a decirlo así) conjuntos disjuntos.
Edito: Otra cosa distinta es hablar de existencia de entes; ¿es más real un perro que un número real? ¿Y que una sucesión de Cauchy?. Esto es un tema que se escapa del ámbito de la matemática y pasa, esta vez sí, al de la filosofía.
-- editado por última vez a las 23:07
Siempre me acordaré que una de las primeras cosas que demostraron en los primeros días de la carrera de matemáticas es que el cardinal de los núneros naturales, coincide con el de los enteros y con el de los racionales: que es el infinito "normal" Pero que el cardinal de los reales es mayor, y mayor que éste es el de "Partes de " R (siendo R el conjunto de los reales) (El conjunto "partes del conjunto A" es el conjunto formado por TODOS los subconjuntos de A). La verdad es que no tengo demasiada idea de la teoría de los transfinitos pero creo que la hipótesis del contínuo tamibién implicaba que el cardinal de partes de R es Alef2. La pregunta que alguien se podría hacer es: si 0=1/infinito (alef0), ¿a qué elemento corresponde 1/alef1?, ¿Tiene sentido considerarlo?
Es complicado tratar un tema tan "escabroso" como los distintos infinitos porque para muchos el infinito no existe, así que muchas gracias por acercarlo al público.
Ance, la pregunta que haces sobre lo de 1/alef0 y 1/alef1 la puedes estudiar en el análisis no estándar. Pero si alguien no es matemático es mejor que no se lo plantee porque es varias veces más complicado que los transfinitos de Cantor.
si ,definitivamente los números son infinitos preguntense ,,,que podría detenerlo ,,,solo quizás el nombre ,XD por ahí escuche que era un gugleon algo así la verdad ni le pierdo tiempo pues no lo utilizare nunca dicen que los números no cabrían en el espacio con un gugleon pero al hacer referencia al 'un' estoy diciendo que pueden hacer 2 gugleones ,no se es un tema ,digamos paradójico
Hasta el infinito...¡y más allá!
Para varios. He insistido en la necesidad de definir adecuadamente, con lo que creo razonable hacer lo propio.
En primer lugar, el tema estudiado por Cantor no son los números sin más, sino los números cardinales, que son la cantidad de elementos de un conjunto: dos coches, tres casas, mil millones de euros... que me gustaría tener :P
Hasta aquí son cardinales finitos. Antes de ir a los no finitos, ¿cómo se puede saber sin contar si dos conjuntos tienen el mismo cardinal? El ejemplo típico es el de un pastor de ovejas que no sabe contar, cada mañana saca a sus ovejas del corrar y las lleva al monte para volverlas a encerrar cada noche. ¿Cómo puede saber si ha perdido alguna oveja? El pastor no sabe contar pero no es tonto, así que por la mañana saca las ovejas de una en una del corral y para cada oveja amontona una piedra delante del corral que se quedará quieta todo el día; al regresar por la noche, entra las ovejas de una en una al corral y va quitando una piedra para cada oveja. Si cuando todas las ovejas están dentro no quedan piedras es que no ha perdido ninguna, si en cambio sobran una o varias piedras es que ha perdido tantas ovejas como piedras quedan.
Esto es lo que se llama correspondencia uno a uno, o biyección, y que fue lo que le permitió a Cantor empezar a resolver las paradojas del infinito. Dos conjuntos son de igual tamaño (cardinal) si se puede encontrar una correspondencia uno a uno, mientras que uno es mayor que el otro si se demuestra que no puede existir tal correspondencia. Es así como se puede saber que determinados conjuntos no finitos son iguales o unos mayores que otros.
Sigo. En el comentario anterior he definido la forma en cómo se puede saber si dos conjuntos tienen el mismo cardinal. Los cardinales finitos se corresponden con algunos números (64, 564, 3, 5012...), mientras que no todos los números son cardinales (-35, 10.368, pi, i...). Los cardinales finitos cumplen los axiomas de Peano, del que me interesa el del sucesor (para todo cardinal hay un cardinal una unidad mayor), de modo que no hay ningún cardinal finito que sea mayor que todos los demás. Esto hace que la cantidad de cardinales finitos sea superior a cualquier cardinal finito. El conjunto de todos los cardinales finitos tiene un cardinal que no es finito sino transfinito, Cantor lo llamó Alef 0. Demostrar que hay más, que de hecho hay más que cualquier cardinal finito o tranfinito, ya es algo más sofisticado, pero conociendo el criterio de equipotencia (tener igual cardinal) y entendiendo la antinomia de Russell ya se tiene más de medio trabajo hecho.
¿La antinomia de Russell no es la que dice que los elementos que no pertenecen a conjunto alguno, pertenecen al conjunto de los inclasificables? (Y ¿estamos hablando del mismo Sir Arthur William Bertrand Russell?)
-- editado por última vez a las 13:03
La antinomia de Bertrand (Arthur William) Russell dice así:
Hay conjuntos que son elementos de sí mismos y conjuntos que no son elementos de sí mismos. ¿El conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos es elemento de sí mismo o no?
Una forma más conocida de la paradoja es la versión del barbero (hombre) de un pueblo que afeita a todos los hombres del pueblo que no se afeitan a sí mismos y solo a estos. Entonces, ¿quién afeita al barbero?
Para Antonio_GS y ripavife: infinitas gracias por el esfuerzo en explicar a los no_matemáticos. Me gustó el axioma del sucesor, de Peano. Creo que infinito, mas que un número o una cantidad, debe ser algo así como lo que todavía quede pendiente de contar sumando cada vez uno más, indefinidamente mientra queramos y podamos seguir sumando... (yo creo que siempre se podrá sumar +1, así que nunca se llegaría al final de la cuenta)
Y me alegro de que haya gente dedicada a los números y los cálculos: parece que funciona, pues no se suelen caer los puentes, los pilotos automáticos dirigen los aviones, podemos calcular la evolución de poblaciones animales o vegetales, la efectividad de los fámacos, etc.
-- editado por última vez a las 16:38
No sé si ha quedado claro el concepto de cardinal (número de elementos de un conjunto). Todo conjunto tiene un cardinal, y si se puede construir el conjunto entonces se puede tener su cardinal. Los cardinales finitos se pueden construir por sucesión, y para cualquier cardinal finito se pueden encontrar conjuntos de mayor tamaño. Por tanto, el conjunto de todos los cardinales finitos se puede construir, de modo que tiene un cardinal. Este cardinal no puede ser finito, con lo que se trata del primer cardinal transfinito.
Creo que parte de la confusión viene de confundir cardinales con ordinales, pues lo que dices de contar es en realidad hacer una enumeración de ordinales. Esto se debería explicar mejor, puesto que el tema de los ordinales transfinitos es incluso menos intuitivo que el de los cardinales.
Lo que realmente desafía todo esfuerzo lógico es que alguien en un blog de ciencia afirme que sea posible sufrir una enfermedad maniaco-depresiva debido a su esfuerzo intelectual. Más valdría haber escrito "MUERTE A LA INTELIGENCIA".
Lo que hay que leer.
-- editado por última vez a las 22:10
Infinito es el punto de la frontera que une un número inabarcable con el proceso de llegar a él.
La biyección es una aplicación parcial a un infinito de una comparativa definida por cantidades finitas.
¿Hay infinitos mayores en qué sentido? Si seguimos 0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001... nunca llegaremos a 0.2
Sin embargo si nos referimos al número de cardinales entre 2 series de infinitos diferentes, si tomamos la serie como una secuencua activa, podemos darnos cuenta que sí hay series mayores de números, sin embargo desde la perspectiva de un absoluto ambos infinitos son idénticos e ilimitados.
Eso que te preguntas (pero bien preguntado) ya se lo preguntó en su día Zenón y llegó a la misma conclusión (errónea) que tú. Como ha dicho alguien más arriba, se pueden sumar con precisión cantidades infinitas y, a veces, dan cantidades finitas.
Su conclusión era paradógica puesto respondía a una realidad idílica (matemáticamente hablando).
Recordemos que las matemáticas representan conceptos que muchas veces no se materializan en la realidad.
Si asignas un cardinal a cada valor de la seuencia, sigues teniendo 2 cadenas infinitas donde el valor absoluto es el mismo, infinito.
Por más que compares el kilo de paja con el kilo de hierro el peso es el mismo. Ahora bien, como infinito puedes trabajarlo con hormigas o con elefantes, es decir si quieres puedes ponerle límites a las cantidades del mismo modo que en las gráficas.
Hay inifinitos más grandes que otros... según en qué sentido.
Quiero decir, si asignamos un cardinal a cada valor de las secuencias.
Tengo una duda por ejemplo en el sistema ingles este numero :1,000,000,000 seria "un billon" pero en el sistema español este mismo numero (1,000,000,000) seria "mil millones" entonses desde ese momento los numeros en español y en ingles ya difieren uno de el otro con respecto a el nombre no?? bueno esa es una duda que siempre e tenido si alguien me la pudiera aclarar le agradeceria mucho
Exacto y por eso han pasado unas cuantas meteduras de pata. La traducción de este falso amigo cuando utilizan la escala corta debe ser one billion = mil millones. A partir de ahí la nomenclatura cambia...
Aquí tienes (en inglés) una comparativa entre ambas escalas:
http://en.wikipedia.org/wiki/1,000,000,000,000_%28number%29#1012
De antemano diré que me encanta la divulgación científica y que he disfrutado muchísimo leyendo este artículo. A tenor de lo que leía me ha surgido una idea que, no se si será o no válida para explicar "el concepto" de infinitos mayores o menores, epro a mi por lo menos me parece lógico (y si no lo es, por favor decídmelo para que no persevere en mi error).
Veamos, si existen infinitos números decimales, es lógico decir que entre el 1 y el 2 existen infinitos números (ojo, que digo números, no distancia). Por el mismo motivo, entre el 2 y el 3 existen la misma cantidad infinita de números. Ahora bien, si yo considero la cantidad de números que existen entre 1 y 3, serán infitos tambien, pero este infinito será mayor que los anteriores ¿no?
Repito que tal vez (eufemismo de seguramente) me equivoque, pero yo lo entiendo así. ¿Valdría como ejemplo? A mí me parece una "reducción al absurdo", pero me considero lego en esta materia.
Gracias por el artículo y por cada contribución que se hace.
No valdría como ejemplo, no. Si lees con detenimiento y en orden los comentarios de ripavife, quizá puedas aclararte un poco. No se me ocurre ningún texto que no sea demasiado técnico para iniciarte en estos temas, lo siento mucho :( Aunque no le he echado un vistazo, siempre puedes recurrir a este artículo de la multiusos wikipedia y a éste otro a ver si te ilumina un poco.
Ricardo, la función f(x)=2x-1 relaciona cada número entre 1 y 2 con cada número entre 1 y 3, y esta relación es exclusiva, es decir, para cada número entre 1 y 2 hay uno y solo un número entre 1 y 3. De modo que hay tantos números entre 1 y 2 como entre 1 y 3.
Debes tener en cuenta que el sentido común de lo finito no sirve para lo infnito, con lo que se debe aprender de nuevo. Un buen libro de divulgación es "Viaje a través de los genios" de William Dunham, donde los dos últimos capítulos están dedicados al trabajo de Cantor con los transfinitos.
Gracias ripavife y antonio_gs. En verdad consideraba que mi planteamiento era lógico, pero me parece que tendré que leer a Dunham para intentar entenderlo mejor. Por cierto, aunque desde el punto de vista teórico considero muy interesante conocer "Cuál es el mayor número posible", desde el punto de vista aplicado, ¿lo es tanto? Quiero decir, en la tierra habrá en total x granos de arena (y ese x es muy grande), o en el universo en su conjunto existirán P protones, E electrones y N neutrones (o sus partículas subatómicas constituyentes, quarks, etc.), pero al final, eso será un número finito (por muy enorme que nos parezca). Al final la cantidad de información que puede almacenarse depende tanto del espacio existente como del tamaño requerido para la grabación de un solo dato, pero al final esta limitado.
Reitero mi agradecimiento por sacarme del error, y espero vuestras respuestas.
Como público "generalista" que soy de acuerdo a la clasificación que aquí se ha dado me asalta la siguiente duda, de acuerdo a la definición de número transfinito alef0, si se comienza a contar de uno en uno a partir de un momento determinado, y otra persona comienza años después, aún cuando la cuenta siga por sus descendientes, no es de suponerse que el conteo iniciado primero sea "mas infinito" que el segundo conteo?
Y dado que en la práctica es imposible (o al menos no me imagino quien decida hacerlo, y menos aún quien decida continuarlo) no es por definición el alef0 un número finito?
Bienvenidos sean los comentarios, dudas y aclaraciones.
-- editado por última vez a las 09:46
Lo que creo que pasa es que tienes algún prejuicio y como dice ripavife más arriba, lo que hay que hacer en este caso es no fiarse de la intuición y aprender todo de nuevo.
Intentaré explicar tan claramente como pueda los dos enfoques básicos (y simplificando en extremo la cuestión) para enfrentarte a este problema:
1) El enfoque de Aristóteles es el de infinito potencial. Imagina que quieres contar los elementos de un conjunto de fichas de dominó que forman lo que de niño llamaba un "serpentín" (esto que las fichas están en fila), pero imagina que eres del tamaño de una ficha y no te puedes despegar demasiado de ellas para tener una cierta perspectiva pero sí puedes ir avanzando poco a poco por la fila. Para contar, lo que haces es que te asomas un poquito a ver si hay más y si hay más, entonces avanzas a la siguiente y así vas acumulando tus cuentas hasta que llegas a la última y dices "hay siete" o las que sean. El problema viene en si la fila es infinita, que por mucho que andes, no llegarás al final.
2) Este problema lo resuelve Cantor con su enfoque de infinito actual. Lo que hace Cantor es contar cuántos números naturales hay. Supón que sí que existe el conjunto (infinito) de los números naturales N = {0, 1, 2, 3, ...} y que estás mínimamente familiarizado con él. Como he dicho antes, si vives en el enfoque de arriba, entonces tienes un problema porque no se te acaban. Piensa entonces que los tienes a todos metidos en una bolsa. Absolutamente a todos. Entonces, ¿cuántos hay? ¿Mil? ¿Un gugolduplex? Qué va, muchísimos más, hay infinitos. Entonces, ¿cómo llamar a la cantidad de números naturales que hay en esa bolsa? Cantor la llama aleph0: si la llamara siete o siete mil, entonces estaría faltando a la verdad porque hay más que siete o siete mil, pero no hay más ni menos números naturales que aleph0 porque este nombre para la cantidad de números naturales fue creado ad hoc.
No sé si te he aclarado algo, pero en esencia lo que quería decir es que, en principio, aleph0 es un nombre para la cantidad de números naturales que hay, que es inifinita pero en un sentido en concreto, de un tamaño en concreto.
Lo de la comparación entre las distintas clases de infinitos es otro cantar.
El número más grande no sirve para nada, tardariamos toda la esternidad para introducirlo en una operación matemática y nos quedariamos sin pilas en la calculadora. El 7 es un número más útil pués se introduce en un momento o dos, aunque el resultado acostumbra a ser decepcionante, sobre todo si se resta a si mismo o se multiplica por cero.
Es que lo pones a huevo: el número más grande sería igual de decepcionante que el 7, si lo restas de sí mismo o lo multiplicas por cero jua, jua [y que te conste que yo no te di el -1, que no estoy contra el sentido del humor, por rarito que sea éste XD ]
-- editado por última vez a las 17:28
Si, bueno si que se pueden sumar sumatorios por ejemplo de 1 a infinito, pero para eso se usan limites que ya de por si son un poco chorreros y se basan en definiciones y aproximaciones.
Escribir un comentario
Para hacer un comentario es necesario que te identifiques: ENTRA o conéctate con FacebookConnect