Vamos a ver un ejemplo sencillo de aproximaciones polinómicas de funciones que nos permita aproximar la función f(x) = x2 - 1 en el intervalo [-1,1] desde el subespacio L, considerando el siguiente producto escalar:
El subespacio vectorial L es generado por 3 funciones: L = {u1,u2,u3}
Para resolver el problema planteamos un sistema lineal de la siguiente forma, dónde ß será un vector cuyo elementos se formarán a partir del producto escalar de la función a aproximar (f(x)) y cada elemento del subespacio L (ui(x)), G será la matriz de Gram asociada a ß y el vector y(x) será la solución al sistema (la aproximación a f(x) que buscamos):
Empezamos a calcular ß:
Procedemos a calcular la matriz G realizando los productos escalares pertinentes:
Tras el calculo de ß Y G obtenemos el siguiente sencillo sistema matricial que se puede resolver directamente usando métodos tradicionales de sistemas de ecuaciones (transformaciones elementales de filas, sustitución, igualación, ...)
La solución que obtenemos al resolver el sistema es: y1 = - 7/6, y2 = 1 y y3 = 1. Por lo tanto la función polinómica que aproxima a f(x) = x2 - 1 es y(x) = (-7/6) + |x|, o lo que es lo mismo la función definida a trozos: