En aras de sintetizar de forma muy esquemática, casi como si fueran estampaciones de una camiseta o de una taza, a continuación algunos conceptos, ideas y aprendizajes que no suelen ser muy conocidos o intuitivos pero que su mera exposición, como sortilegio de Harry Potter, permite retirar muchas sombras del mundo como por ensalmo.

RETROFELICIDAD

Cuanto más persigues la felicidad, menos probable es que la obtengas, porque el enfoque en obtenerla refuerza el hecho de que no la tienes. Irónicamente, la felicidad llega más fácilmente a aquellos que no la buscan activamente.

PARADOJA DE LA IGUALDAD

Cuanta mayor igualdad de género se consigue, más afloran los rasgos innatos a nivel biológico, creándose mayores diferencias de género. Sobre todo en la proporción de mujeres que obtienen títulos en ciencias, tecnología, ingeniería y matemáticas.

Por ello, en los países con menos igualdad, como Arabia Saudí, las mujeres son alrededor del 45% de los graduados en informática. En cambio, en países como Suecia son menos del 15%.

AUTOCONFIANZA

Es más probable que las decisiones se sientan como más correctas si hemos invertido un esfuerzo de atención significativo en sopesar las diferentes opciones, con idendpendencia de la decisión tomada.

POR ENCIMA DE LA MEDIA

Creemos estar por encima de la media en muchas destrezas, lo que hace que no nos esforcemos tanto y estemos, al final, por debajo de la media. Las personas que no sobreestiman tanto sus destrezas finalmente lo hacen mejor, quizá impulsados por el llamado síndrome del impostor, que les incentiva a esforzarse más.

MIEDO IRRACIONAL

Ninguno de nuestros mayores miedos (ni siquiera la suma de todos ellos) constituye ni un 1 % de las personas que mueren anualmente: desastres naturales (0,1 %), aviones (0,001), terrorismo (0,05) asesinatos (0,7), fugas nucleares (0,0).

SOMOS MUY PACÍFICOS

Cada vez nos matamos menos entre nosotros. Tanto es así que es en España ya es diez veces más probable que te suicides a que alguien te mate. La persona más peligrosa para tu vida eres tú mismo.

ENERGÍA NUCLEAR

Es más peligroso tomar el sol que vivir cerca de una planta nuclear. Beber una cerveza te produce más dosis radiactiva que vivir tres meses junto a una central nuclear. Comer un plátano, el equivalente a un año.

LA PARADOJA DE LA PATATA

Juan tiene 100 kg de patatas, que son 99% agua. Los deja secar hasta que son 98% agua. ¿Cuál es su nuevo peso? 50 kg. Sí, en serio. Un recordatorio de que la verdad a menudo es contraria a la intuición.

FALACIA NOMINAL

Cuando pensamos que podemos explicar algo simplemente dándole un nombre. Por ejemplo, “explicar” el comportamiento de alguien llamándolo malvado. La palabra “maldad”, en este contexto, es una descripción disfrazada de explicación.

A continuación, tenéis estos conceptos y otros hasta sumar 40 en el siguiente vídeo:

A veces, la intuición falla en asuntos de probabilidad, y la paradoja del cumpleaños es uno de ellos. Realmente, no es una paradoja, sino simplemente una certeza matemática que contradice la intuición. Si quisiéramos reunir una serie de personas en una sala y con toda seguridad tener dos personas que cumplieran años el mismo día (obviemos los años bisiestos y gemelos) rápidamente, diríamos 366; pues si tengo 365 personas es posible que ninguna coincida.

Ahora bien, imaginad que tenemos 23 personas. Si nos preguntamos cuál es la probabilidad de que en ese grupo haya al menos dos personas que cumplan el mismo día, ¿cuál sería nuestra respuesta intuitiva? Diríamos que realmente baja. El problema es que si hacemos el cálculo sale 50,7%, lo que va totalmente en contra de la intuición. Para poner un ejemplo, lo que se espera es que en uno de cada dos partidos de fútbol, si tomamos a todos los jugadores de ambos equipo y al árbitro, encontraremos al menos una coincidencia.

¿Cómo puede calcularse? Haciendo justo lo contrario: buscar que todas las fechas de nacimiento de esas personas sean diferentes. Supongamos que una determinada persona tiene una fecha particular de nacimiento. La probabilidad de que una segunda persona no coincida con la primera es de 364/365. Para que una tercera persona no coincida con las dos anteriores, la probabilidad es 363/365 y así sucesivamente hasta 23 términos. Entonces, la probabilidad de que 23 personas no coincidan en fecha de nacimiento es:

Pero precisamente, lo que queremos es lo contrario, o sea, que haya alguna coincidencia, por lo que la probabilidad es restar la unidad a la anterior cifra, que es cuando nos da ese 50,7%. Y si en vez de tener 23 personas tenemos 30, como puede ser una clase de alumnos, la probabilidad de que dos de ellos coincidan en el cumpleaños es del 70%.

Hay quien confunde los conceptos pensado que al llegar a un grupo de 30 personas, la probabilidad de que coincida el cumpleaños de uno mismo con otro es el 70% antes citado. No es así. Lo que aquí ha de hacerse es escribir todas las fechas de nacimiento de todos en un papel y entonces buscar coincidencias. Son casuísticas diferentes.

Cuando la lotería cae en la paradoja

Esta paradoja ha tenido consecuencias muy curiosas pero en otros ámbitos, como en el de la lotería.

En cierta ocasión, los funcionarios de la lotería canadiense fueron sus víctimas. Decidieron devolver cierto dinero de premios sin reclamar que habían acumulado de sus 2,4 millones de abonados. Compraron 500 coches y con un ordenador generaron 500 números de forma aleatoria. Los que tuvieran aquel número se llevarían el coche. Los funcionarios publicaron la lista y resulta que en dicha lista había un número repetido. El galardonado reclamó los dos coches y se los dieron. ¿Cómo era posible que hubiera un número repetido?

Pues aquí está la paradoja del cumpleaños que nos dice que la probabilidad de que salga algo así es aproximadamente un 5% (se calcula igual que lo hemos hecho antes). Es una probabilidad pequeña, pero no despreciable y debe tenerse en cuenta.

Algo similar sucedió en Alemania con la lotería el 21 de junio de 1995. La serie de números que salió era idéntica a la que había salido el 20 de diciembre de 1986. Fue la primera vez que en 3.016 sorteos pasaba algo así. Las probabilidades de que se repita una misma combinación haciendo números es de un 28%. Tampoco es, por tanto, una probabilidad despreciable.

Fuente | Leonard Mlodinow, El andar del borracho.
En Xataka Ciencia | Quiz: solución a la paradoja del cumpleaños
Foto | Pixabay
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El conflicto palestino-israelí vuelve a ser la noticia candente. En tales circunstancias, de carrera armamentística ideológica, parece imposible conducir a la paz a los implicados. Sin embargo, un equipo de investigadores de psicología de las universidades de Tel-Aviv, Jerusalén y Herzliya, todas en Israel, sugiere que exponer a los participantes al pensamiento paradójico podría apaciguar el conflicto.

El pensamiento paradójico es una forma de pensar que va en contra de las ideas generalmente aceptadas como válidas en determinado contexto. Por lo general, creemos que nuestras ideas están bien fundamentadas, pero en realidad no es así: se levantan sobre pilares basados en el arbitrio, la idiosincrasia y el contexto social. Las emociones suelen ser más la guía de nuestros juicios que el razonamiento lógico. Lo que hace el pensamiento paradójico es poner en evidencia ese caracter endeble en el que se sustenta una opinión, como si de repente tuviéramos un vislumbre de los mecanismos ocultos que subyacen en las dinámicas sociales.

Efecto BIRG

El otro día, por ejemplo, un colega y yo nos encontrábamos criticando el comportamiento de algunos forofos del fútbol que, al resultar vencedor su equipo, parecían alegrarse en lo personal, expresando incluso que "habían ganado", como si ellos hubiesen jugados, el equipo fuera suyo o el fútbol representara a una nación o a un grupo de personas concreto. Obviamente, los forofos adujeron que no éramos capaces de empatizar con su sentimiento, que ellos tienen el legítimo derecho de estallar de júbilo cuando ‘hemos ganado’.

Cuando les volvimos a preguntar si entendían que su júbilo era una ilusión cognitiva, de nuevo adujeron que no era así, que era un sentimiento que no se podía entender si no se experimentaba.

Entonces empezamos a poner otros ejemplos. Personas que se alegran o dicen "hemos ganado" cuando una multinacional ha tenido beneficios. O personas que sienten que han ganado el Oscar cuando una película realizada por el director que admiran lo ha hecho. Que el equipo lo forman exclusivamente sus integrantes, como la plantilla de una empresa la forman sólo sus empleados y no sus clientes, y, sin embargo, cuando el equipo-empresa obtiene una victoria tras haber invertido dinero en jugadores que generalmente ni siquiera son del propio país, entonces los forofos salen a la calle a gritar su dicha, a vestir camisetas corporativas y a romper el mobiliario urbano.

También hablamos del efecto BIRG (Basking In Reflected Glory, es decir, Complacencia en la gloria reflejada) es la responsable de que nos guste decir a los demás con orgullo que nosotros fuimos al mismo colegio que determinada celebridad, y que la gente diga “nosotros ganamos” cuando en realidad ganó un equipo de jugadores que chutan el balón a cambio sumas astronómicas de dinero.

Nuestra ofensiva pudo haberles puesto en guardia, enrocarse en su opinión primigenia, pero también pudo provocar el efecto contrario: que, por comparación, advirtieran que su comportamiento era absurdo, aunque estuviera impulsado por las emociones. Someterse al pensamiento paradójico puede originar una de estas dos posturas contrapuestas.

Pensamiento paradójico en marcha

Las paradojas han servido a menudo a los filósofos para revelar la complejidad de la realidad y para demostrar las limitaciones de las herramientas de la mente humana.

En lo tocante al conflicto palestino-israelí, el estudio llevado al respecto, publicado en la revista Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS), señala que habitualmente las estrategias de intervención en enfrentamientos implican la presentación de información para desestabilizar las creencias de los bandos en conflicto y así inspirar un cambio de perspectiva. “Sin embargo, estas tácticas pueden provocar que las personas vean amenazadas sus ideas y acaben ignorando la nueva información, aferrándose a sus viejas creencias”, explica Eran Halperin, autor principal del trabajo.

Aquí presentaron durante un mes a un grupo judíos de Israel vídeos que ilustraban “ideas consistentes con las creencias de estas personas, pero presentándolas de una manera que parecieran extremas o irracionales”.

Los participantes que vieron los vídeos diseñados para fomentar el pensamiento paradójico dijeron sentirse más dispuestos a reevaluar sus posiciones. Los voluntarios de equipo sometido a las ideas paradójicas también manifestaron mayor tendencia a votar por partidos favorables a la búsqueda de la paz.

Vía | Sinc

Foto | ygurvitz | Rick Dikeman

La mecánica cuántica dice que el resultado de una medición siempre es un estado base, de los que habíamos dicho que eran mutuamente excluyentes. En el caso de la aguja tenemos dos de estos estados: posición vertical y horizontal.

Es decir, aunque un sistema cuántico puede permanecer en un estado donde se mezclan los dos estados principales mientras no se está observando. Pero cuando realicemos la medición, siempre saldrá uno de los estados base.

Por lo tanto, siempre que miremos, la aguja estará en un estado clásicamente aceptable. Si lo pensáis, tiene lógica que sea así. Uno de los requisitos de cualquier nueva teoría es que permita recuperar los resultados de la antigua en aquellas situaciones en que funcionaba. Y en mecánica clásica, nunca vemos mezclas de estados, ¿verdad?

Sin embargo, los estados mixtos sí que pueden existir cuánticamente cuando no estamos observando el sistema. Si, de golpe, empezamos a observarlo, el estado mixto desaparecerá, y el estado del sistema cambiará automáticamente a uno de los estados base.

¿A cual de ellos? Pues resulta que no es posible saberlo. Dicha información no existe en el universo.

Sí, tal cual suena. No es que no podamos saberlo porque ignoremos alguna variable oculta, o porque nuestros experimentos no sean suficientemente buenos. Esa posibilidad se tomó muy en serio, se puso a prueba experimental y quedó descartada.

Es decir, es un hecho experimentalmente probado, indudable, indiscutible: cuando realizamos una medición sobre un estado mixto siempre obtendremos un estado base, pero no podemos saber cuál porque dicha información no existe. No es una limitación práctica, o experimental. Es un hecho fundamental y completamente insalvable.

Lo único que podemos saber es la probabilidad de obtener cada estado base. ¿Y cual es esa probabilidad? Pues justamente la proporción de la mezcla.

Por lo tanto, nuestro pobre gatito está en un estado mezcla al 50%. Por lo tanto, al abrir la caja y mirarlo, hay exactamente un 50% de probabilidades de encontrarlo vivo, y otro tanto de que el pobre haya perecido.

Y, vuelvo a repetir por si no he sido suficientemente contundente todavía: antes de abrir la caja y mirar, no es que no podamos saber cómo lo encontraremos por una cuestión de ignorancia temporal. Sencillamente, el universo aún no ha decidido. Puede que no nos guste que la realidad sea así, pero los experimentos no dejan dudar a duda.

Foto | Jieq

¿Qué significa exactamente eso de que podemos obtener estados nuevos mezclando dos (o más) estados base? Voy a intentar explicarlo poniendo un ejemplo divulgativo. Como siempre en estos casos, el ejemplo es una simplificación y tiene sus limitaciones (después intentaré explicarlas), no os lo toméis 100% al pie de la letra.

Imaginad la aguja de un indicador, como por ejemplo una brújula o una veleta. Pero al contrario que en esos casos, ambos extremos son idénticos. Esencialmente, la aguja tiene dos estados básicos, que corresponden a las posiciones horizontal y vertical.

Esto es lo que habíamos llamado estados mutuamente excluyentes. Si la veleta está horizontal, entonces no está vertical. Lógico, ¿no? Y esto sería todo en una versión clásica del experimento.

Sin embargo, como dijimos en el anterior capítulo, cuánticamente podemos obtener infinitos estados simplemente mezclando los estados base. Es decir, la aguja puede apuntar en una dirección intermedia.

Estas posiciones intermedias no son mutuamente excluyentes. Por ejemplo, si la posición de la veleta es de 45º, podríamos decir que está medio horizontal y medio vertical. Es un estado mezcla, como el gato que está en estado mixto vivo/muerto.

Como dije al principio, este ejemplo tiene sus limitaciones. Porque sabemos que clásicamente la aguja puede estar en cualquier posición, así que la cuántica no aporta nada al ejemplo. Para que fuera un mejor ejemplo, habría que imaginarse que, por algún motivo, fuera clásicamente imposible la aguja apuntara en alguna dirección que no fuera horizontal o vertical. Por favor, ignorar esa limitación del ejemplo, de lo contrario no entenderemos nada.

Dicho de otra forma, la física clásica sólo nos deja ver los estados más importantes de un sistema, los estados base. La cuántica, por contra, expone todos los estados posibles del sistema, aquellos que se obtienen mezclando (superponiendo, si nos ponemos técnicos) los estados base del sistema.

Otro ejemplo que os puede sonar son los colores. Podemos elegir tres colores principales (rojo, verde y azul, por ejemplo). Estos serían los estados principales. Sin embargo, podemos mezclaros en diferentes proporciones para obtener todos los colores que conocemos, y obtener así un sinfín de tonalidades.

Todo lo que hemos dicho hasta el momento se refiere a un sistema cuántico, una especie de aguja indicadora, que puede estar en un estado mezcla, mientras no la observamos. Pero, ¿qué ocurre cuando abrimos la caja y realizamos una observación? Lo veremos en el próximo capítulo.

Foto | The paperclip

Como dijimos en los capítulos previos, vamos a intentar entender qué significa que un sistema cuántico puede estar en dos estados diferentes a la vez.

La respuesta es muy sencilla: no puede, la frase anterior es falsa. Un sistema, por muy cuántico que sea, sólo puede estar en un estado. Lo que pasa es que los estados cuánticos son más complicados que los clásicos, y eso es lo que vamos a explicar en ésta y las próximas entregas.

Cuando hablamos clásicamente, los diferentes estados de un objeto son mutuamente excluyentes. El caso del gato es clarísimo: todos diríamos que si el gato está vivo, entonces no está muerto. Es a lo que estamos todos acostumbrados.

Claro, si miramos con detalle, hay muchos más estados posibles: el gato puede estar vivo pero agonizando, por ejemplo. Pero estos estados que podríamos decir siguen siendo excluyentes con el resto. Si el gato está agonizando, entonces no está muerto. Y tampoco está sano. Podemos complicarnos la vida buscando todo un gradiente de estados de salud del bicho, pero el gato sólo uno de esos estados describirá el gato. Siguen siendo estados excluyentes.

Los estados mutuamente también existen en mecánica cuántica. Se llaman ortogonales. De hecho, son la base de todo. Cuando uno empieza a estudiar un sistema cuántico nuevo, lo primero que tiene que empezar por hacer es buscar todos los estados ortogonales que existan. Esos estados base son lo más parecido a los estados de un objeto clásico.

Por simplicidad, nosotros nos centraremos únicamente en estados binarios: sí/no, vivo/muerto, hombre/mujer, etc. Todo lo dicho, y lo que diremos, sirve para cualquier número de estados base, pero es más tedioso.

La novedad en mecánica cuántica es que, además de los estados mutuamente excluyentes, existen muchos otros. De hecho, infinitos.

Se obtienen haciendo mezclas de los estados base. Pero, como en la cocina, cuando hacemos una mezcla tenemos que decidir la proporción de cada ingrediente (estado). Y como hay infinitas formas de elegir las proporciones de la mezcla, tenemos infinitos estados.

Foto | juandesant

Supongo que el enunciado del experimento mental es de sobras conocido, pero no estará de más repasarlo brevemente. Erwin Schrödinger proponía encerrar a un gatito en una jaula opaca y completamente aislada del exterior, por supuesto con aire y provisiones para sobrevivir durante todo el experimento.

Pero no todo son comodidades para el minino. El bueno de Erwin sitúa un contador geiger junto un material radiactivo. Si el contador registra la más mínima traza de radiactividad, liberará un veneno que liquidará al felino en cuestión de segundos.

Se calcula que el material radiactivo tiene una probabilidad de exactamente el 50% de producir la radiación suficiente durante el rato en que durará el experimento. Por lo tanto, clásicamente diríamos que el gato tiene una probabilidad del 50% de estar vivo al final del experimento, y otro tanto de estar muerto.

No obstante, según los principios de la mecánica cuántica, diríamos que el gato está vivo y muerto a la vez. O, mejor dicho, que está en un estado mixto, que se obtiene mezclando los dos estados clásicamente posibles.

Este tipo de estados mezcla de otros dos son típicos de la mecánica cuántica, y están más que confirmados experimentalmente en el caso de partículas subatómicas. La principal virtud del enunciado de Schrödinger es que consigue trasladar una propiedad cuántica típica del mundo de lo más pequeño (la probabilidad de decaimiento de un isótopo radiactivo), a un objeto macroscópico de la vida diaria (el gato).

En las próximas entregas vamos a intentar entender qué significa cuánticamente que un estado pueda ser mezcla de otros dos. El fenómeno que los físicos llamamos superposición de estados.

Por el momento, nos olvidaremos del gato. Si conseguimos entender el fenómeno para partículas más pequeñas; las mismas conclusiones serán válidas para un felino, por muy macroscópico que sea.

Fotos | garryknight

Hace unas semanas Tanausú nos enviaba un agónico correo pidiendo que le ayudáramos a comprender la paradoja del gato de Schrödinger. Bueno, no sé si conseguiremos ayudarle, pero podemos intentarlo.

La principal dificultad cuando uno intenta hablar de mecánica cuántica a nivel de divulgación es, por raro que parezca que parezca, el sentido común del lector. Estamos acostumbrados a nuestro mundo macroscópico y clásico. Que la realidad pueda ser tan rotundamente diferente nos puede llegar a parecer una aberración.

Y eso no nos pasa sólo a los mortales, al mismísimo Einstein la cuántica no le cabía en la cabeza. Y hoy en día tenemos pruebas experimentales de que se equivocaba, por lo menos al respecto de esto.

Además, al divulgar uno siempre se enfrenta al dilema de si debe narrar únicamente lo que dicen las ecuaciones (¡y es un reto hacerlo sin recurrir a las mates!), o bien intentar dar una interpretación. El problema es que la mecánica cuántica tiene diversas interpretaciones, y a día de hoy aún no sabemos cuál es la interpretación correcta. De hecho, ni siquiera sabemos si realmente tiene sentido preguntar si hay una interpretación correcta.

Una interpretación, en términos simples, es una explicación literaria (no matemática, aunque a menudo se basa en principios matemáticos) de porqué una teoría es como es. El problema es que, como la interpretación únicamente interpreta (valga la redundancia), no modifica en nada lo que dice la teoría.

Por lo tanto, no hay ninguna forma de diseñar un experimento que permita decir si una interpretación es correcta o incorrecta. (Nota: esto no es siempre así; en el pasado hubo interpretaciones que sí pudieron ponerse a prueba y descartarse experimentalmente, lo cual significa que en realidad no eran meras interpretaciones, sino teorías alternativas. La postura de Einstein en torno la cuántica fue un caso, por ejemplo).

Por ese motivo, es muy importante diferenciar entre interpretaciones de la cuántica y la cuántica en sí. En esta mini-serie de posts me voy a centrar únicamente en lo que dice la mecánica cuántica, sin entrar en ninguna de sus interpretaciones. Quería dejar claro esto, y ahora ya podemos empezar a hablar del gato de Schrödinger.

Foto | Dhatfield

Hace un par de días presentábamos un pequeño enigma conocido como la Paradoja de San Petersburgo. Se trata de un juego de azar cuyo valor esperado es infinito, y por tanto, el precio justo por jugar también debería ser infinito, a pesar de que eso atenta contra la intuición y el sentido común. ¿Dónde está el fallo o la trampa? como ya dijimos en el post original, el resultado matemático es perfectamente correcto. Sin embargo, se nos escapa algo.

En los comentarios se han aportado ideas y puntos de vista muy interesantes. A mi juicio, de entre todos ellos, la reflexión más interesante es la de aquellos que piensan que el valor esperado "real" del juego se reduce porque el número de veces que podemos jugar no puede ser infinito, sino que está físicamente limitado. Pero aun así, el valor esperado del juego sigue siendo demasiado grande como para que el precio justo sea razonable (por ejemplo si tuviésemos un tope de mil tiradas, el valor esperado sería de 500 €, pero la probabilidad de que lleguemos a superar las cinco o seis caras seguidas sigue siendo igual de remota).

La solución a enigma llegó en 1738 precisamente de la mano de Daniel Bernoulli, sobrino de Nicholas Bernoulli (quien propuso la paradoja), aunque Gabriel Cramer ya había adelantado el resultado años antes. La clave está en la pista que ya dimos en el planteamiento original: el valor del dinero no es el mismo para los matemáticos que para el común de los mortales.

De hecho, en su "Nueva Teoría de Medición de la Suerte", Daniel Bernoulli afirma lo siguiente:

Los matemáticos, en su teoría, valoran el dinero en proporción a la cantidad del mismo; la gente con sentido común, en la práctica, lo valora en proporción a la utilidad que puede obtener de él.

La función de utilidad (u(x)) es el truco que los economistas usan para poder representar matemáticamente las preferencias de los agentes económicos, y en el caso de una persona racional, aunque es siempre creciente, crece de forma cóncava (es decir, crece cada vez más despacio). El sentido común apoya esta intuición. El valor "real" de 100 euros para alguien que tiene cero es muchísimo (ya que es una cuestión de supervivencia), pero para alguien que ya tiene un millón de euros, es ínfimo. Dicho de otra forma, la utilidad marginal del dinero es decreciente.

Por lo tanto, no hay que medir el valor esperado del juego, sino la utilidad esperada (que llamaremos U). Repasando las fórmulas del otro post, nos daríamos cuenta rápidamente de que dicha utilidad es U = (1/4)·u(2) + (1/8)·u(4) + (1/16)·u(8) + ... = Σ[u(2ⁿ)/2ⁿ⁺¹], donde u(x) representa la utilidad de percibir x euros.

Pero ¿qué pinta tiene la función u(x)? en realidad, es imposible medir numéricamente la satisfacción obtenida, y de hecho, cada consumidor tendrá su propia función de utilidad (por ejemplo, un amante del riesgo percibirá en el juego una utilidad esperada mayor que una persona muy conservadora). Lo que hicieron Cramer y Bernoulli fue probar con funciones que respondiesen a las características que debe tener una función de utilidad: creciente, cóncava y nula en el origen (la utilidad que produce de tener cero euros también es cero).

En concreto, Cramer probó con la función √x. Desarrollando la expresión, veríamos que U = Σ[2^n/2/2ⁿ⁺¹] = Σ[2^-(n/2)-1]. Si realizamos la suma de infinitos términos (que no tiene mayor problema, porque es geométrica y convergente), resulta que la utilidad esperada del juego es 1,207.

Pero la utilidad es √x, y a nosotros lo que nos interesa es x (que representa el dinero). De modo que √x = 1,207 ⟶ x = 1,457 €. ¡Nuestro precio justo ha pasado de infinito a poco menos de un euro y medio! En realidad, no es disparatado, ya que al fin y al cabo tenemos un 50% de posibilidades de perder el dinero invertido.

Bernoulli hizo sus ejemplos con la función logaritmo. Si tomamos la función log(x+1) (añadiendo el +1 para que la función sea nula en el origen) y repetimos la operación, tendríamos U = Σ[log(2ⁿ+1)/2ⁿ⁺¹]. Esta serie también converge, y el resultado numérico sería U = 0,832, y como u = log(x+1) sacaríamos x = 1,298 €, todavía menos en el caso anterior.

Como hemos comentado, la elección de la función de utilidad es subjetiva. Estos dos ejemplos corresponderían a personas muy conservadoras, aversas al riesgo. El hecho de que tengamos 50% de posibilidades de perder todo el dinero reduce drásticamente la utilidad esperada del juego. Si hiciésemos una pequeña modificación en el juego de forma que los que sacan cruz a la primera tirada no se fuesen con las manos vacías sino que recibiesen un euro y calculamos de nuevo, veríamos que con la fórmula de Cramer pasaríamos a x = 2,914 €: eliminando el riesgo de volver de vacío, estaríamos dispuestos a duplicar la inversión.

También podríamos analizar otras funciones de utilidad menos conservadoras, que sigan cumpliendo las propiedades. Por ejemplo, alguien más amante del riesgo con una función de utilidad u = x^2/3 estaría dispuesto a pagar 2,668 € por jugar incluso con el 50% de probabilidades de no ganar nada. Pero en cualquier caso, la cuestión es que aunque el valor esperado del juego sea infinito, la utilidad esperada no lo es, y una persona racional, por muy amante del riesgo que sea, no pagaría un precio muy elevado por jugar (sería de hecho casi imposible encontrar a nadie dispuesto a pagar más de 10 €).

En mi opinión, este tipo de cosas son lo más interesante de la Economía: utilizar las matemáticas para representar conceptos tan subjetivos como la aversión al riesgo. Claro que evidentemente los modelos son modelos, y muchas veces (como estamos viendo con la crisis) fallan estrepitosamente.

Hoy os proponemos un pequeño reto relacionado con una de las ramas más interesantes de la Economía (sobre todo para los que procedemos del mundo de las ciencias y las ingenierías), que es el estudio de la elección con incertidumbre. Se trata de añadir la teoría de la probabilidad a los modelos económicos habituales y estudiar los juegos de azar y las loterías (un concepto que en el fondo es aplicable a cualquier situación de la vida real ya que el resultado de nuestras elecciones habitualmente depende de factores aleatorios externos).

Partimos del valor esperado de un juego de azar. Esto no es más que la ganancia promedio que obtendremos al jugar a dicho juego. Por ejemplo, supongamos un juego en el cual recibimos siete euros si al lanzar un dado sacamos un 6, y un euro si sacamos cualquier otro número. Hay 1/6 de probabilidades de obtener siete euros, y 5/6 de obtener un euro. Por tanto, el valor esperado de este juego será de 1/6 · 7 + 5/6 · 1 = 2. Es decir, si jugamos muchas veces, acabaremos obteniendo en promedio unos dos euros por tirada.

Desde un punto de vista matemático, parece claro que un juego es "justo" si el precio que pagamos es igual al valor esperado. Si pagamos dos euros cada vez que jugamos, nadie nos está estafando ni sacando beneficios extraordinarios. La banca no ganaría dinero cobrando dos euros por tirada, ya que en promedio pagaría dos euros por tirada. Este razonamiento parece abrumadoramente lógico. Y sin embargo, hace unos 300 años, Nicholas Bernoulli le encontró una grieta importante, reflejada en la paradoja de San Petersburgo.

Bernoulli se planteó el siguiente reto: supongamos un juego que consiste en lanzar una moneda al aire y conseguir el máximo número posible de caras seguidas, hasta que sale una cruz y se deja de jugar. Cada vez que sale una nueva cara se duplica el premio, hasta que salga una cruz y entonces el jugador se lleva toda la ganancia acumulada.

Es decir, si la primera tirada es cruz, no se gana nada; si la primera es cara y la siguiente cruz, se ganan dos euros; si saliesen dos caras y una cruz, se ganan cuatro, y así sucesivamente. Por ejemplo, si hubiese alguien tan afortunado como para sacar diez caras seguidas antes de obtener una cruz, ganaría 2¹⁰ euros, o sea, 1024 euros.

¿Cuál es el valor esperado de este juego? Veamos, la posibilidad de sacar una cara es de 1/2 y tiene un premio de 2 euros; la de sacar dos caras es de (1/2)·(1/2) y el premio es de 4 euros; la de sacar tres caras es de (1/2)·(1/2)·(1/2) y se ganarían 8 euros... es fácil de ver que el valor esperado es 2/2 + 2²/2² + 2³/2³ + ... = 1 + 1 + 1 + 1 + ... ¡hasta el infinito!

Actualización: en el párrafo anterior, en realidad las probabilidades son correctas si consideramos que la primera tirada no es cruz. Estrictamente, habría que dividir todas las probabilidades dadas por 2, así la probabilidad de sacar una cara sería en realidad 1/4 (cara en la primera, cruz en la segunda y se liquida el premio). Pero no afecta para nada a nuestro razonamiento: ¡la mitad de infinito sigue siendo igual de infinito!)

La paradoja resulta en que tenemos un juego de azar cuyo valor esperado es infinito. Y sin embargo, resulta absurdo pensar que "infinito" pueda ser un precio justo para jugar. De hecho, si hiciésemos una encuesta, es probable que poca gente estuviese dispuesta a participar pagando más de cinco o seis euros. Parece que nuestro razonamiento inicial sobre el "precio justo" de los juegos de azar tiene algún tipo de fallo importante. Pero, ¿cuál?

La solución, próximamente, mientras tanto os invitamos a devanaros un poco los sesos (nada de buscar en Wikipedia y publicar el resultado ;)). Una pista: el dinero no vale lo mismo para los matemáticos que para el común de los mortales.