Cuando estamos muy concentrados, usando mucha energía cognitiva, las pupilas de nuestros ojos lo revelan. No es que nos podamos asomar a tales pupilas, como si fuera ojos de buey, a fin de contemplar el traqueteo de la mente. Lo que ocurre es que las pupilas se dilatan.

Una prueba de ello la ofreció el psicólogo Eckhard Hess en un artículo que publicó en Scientific American. Lo que descubrió es que las pupilas de las personas se dilatan particularmente si están multiplicando números de dos dígitos. Y cuando más difícil sea la operación, más se dilataba la pupila.

Las pupilas no vuelven a su tamaño normal (o sea, el que tenían antes de comenzar el experimento) hasta que la persona ha dado una respuesta verbal al problema. Si se le pide que espere para dar la respuesta, el tamaño de la pupila vuelve a aumentar.

Daniel Kahneman, premio Nobel de Economía, y su ayudante Jackson Beatty, replicaron el estudio solicitando a un grupo de voluntarios que apoyaran su cabeza en un soporte que les obligaba a mirar de frente, y que fijaran la vista en una cámara mientras escuchaban información grabada y respondían a preguntas. Tal y como lo explica el propio Kahneman en su libro Pensar rápido, pensar despacio:

Pronto descubrimos que el tamaño de las pupilas variaba segundo a segunda, reflejando las demandas cambiantes de la tarea. (…) Mientras hacía una multiplicación mental, la pupila normalmente se dilataba hasta alcanzar gran tamaño en pocos segundos, y así permanecía mientras el individuo se afanaba en el problema; e inmediatamente se contraía cuando encontraba una solución o desistía.

Tras publicar aquellos estudios, Betty llegó a destacar como experto en “pupilometría cognitiva” y Kahneman publicó el libro Atención y esfuerzo.

El rey pensó que era un regalo muy simple, pues él era muy rico, y le insistió en pedir algo más valioso. Hasta que hicieron los cálculos del grano de trigo que debía desembolsar su Majestad: en la casilla 64 habría 9.223.372.036.854.775.808 granos de trigo, que sumados a los del resto del tablero, quedan en 18.446.744.073.709.551.615. Es decir, más de 18 trillones de granos de trigo.

Los consejeros de la corte estimaron que sería necesario acumular la cosecha de trigo en todo el mundo durante 2.000 años para poder pagar la deuda. Pero Leontxo García, en su libro Ajedrez y ciencia, pasiones mezcladas, añade algo más:

¿Cuántos barcos de 100.000 toneladas falta para transportar todo ese trigo? Pues nada menos que 3.689.348 barcos. ¿Y cuánto espacio ocuparían esos cargueros en el mar si los pusiéramos en fila, uno detrás de otro? Darían 17 vueltas al planeta.

Sólo un adelanto: el citado campeón del mundo y matemático Max Euwe calculó que si doce mil ajedrecistas estuvieran ocupados constantemente en la búsqueda de las mejores jugadas en todas las posiciones imaginables y en cada una de ellas invirtiera una décima de segundo, necesitarían más de un trillón de siglos para analizarlas todas.

Justo después de que los dos jugadores de ajedrez ejecuten su primer movimiento, se abren muchas posibilidades de juego. Concretamente, existen 400 posiciones posibles en el tablero. Después del segundo turno, hay 197.742 partidas posibles. Y después de tres movimientos, hay 121 millones.

Así pues, el número de partidas diferentes que pueden desarrollarse en un juego tan aparentemente simple como el ajedrez supera de largo un 1 seguido de 100.000 ceros, es decir, una cifra superior a todos los átomos del universo.

Las posibles partidas son 10^100.000. De estas, 10¹²⁰ partidas son “típicas”: con una media de 40 movimientos y 30 posibilidades por movimiento. Para ponerlo en perspectiva, solo hay 10¹⁵ cabellos en total en todas las cabezas del mundo, 10²³ granos de arena en el planeta Tierra y unos 10⁸¹ átomos en el universo.

Incluso sumando todas estas cifras, siguen habiendo más partidas posibles de ajedrez típicas.

Milton Sirotta, el sobrino del matemático estadounidense Edward Kasner, se inventó el término gúgol (googol) cuando tenía nueve años, en 1938. Un gúgol es 10¹⁰⁰, es decir, un 1 seguido de 100 ceros. Como comenta Georges Ifrah “… En realidad, no hay ningún Googol de nada. [...] rebasa todo lo que se pueda contar o medir en el mundo puramente físico”. Para que os hagáis una idea, se estima que el número total de partículas en el universo asciende a 10⁸⁰.

Isaac Asimov dijo en una ocasión al respecto: «Tendremos que padecer eternamente un número inventado por un bebé».

Como era el número más grande conocido que tuviera nombre propio, sirvió a los creadores de Google para bautizar a su motor de búsqueda. Los fundadores originales iban a llamarlo Googol, pero terminaron con Google debido a un error de ortografía de Larry Page.

Sin embargo, no es en realidad el número más grande con nombre propio. Para encontrar tal número debemos retroceder hasta el 100 a. C. y bucear en unos textos jainitas de la India donde se empleaban números muy grandes para poner en evidencia la infinitud (aunque también estaban reflejados en tratados cosmológicos). Por ejemplo, 1 koti = 100.000.000. Y 1 pakoti son 100.000.000 koti.

El mayor número mencionado en estos textos es el asankhyeya, equivalente a 10¹⁴⁰. Así que Google debería haberse llamado Asankhyeye o algo así.

Si prescindimos de los números grandes sin nombre propio, entonces en los tratados cosmológicos de los jaina , como el Anuyogadvarasutra, por ejemplo, se manejan potencias de diez con exponentes de 190 o incluso 250.

Con todo, de nuevo fue Milton Sirotta quien, más tarde, se inventó un número con nombre propio que los superara a todos, y además lo hizo muy fácilmente. fue bautizado como el gúgolplex, que es un 1 seguido de un gúgol de ceros.

El término fue acuñado por Kasner, y originalmente significaba «un uno, seguido de ceros hasta que te canses de escribir». Una hoja de papel lo suficientemente grande para poder escribir en ella explícitamente todos los ceros de un gúgolplex (colocándolos en línea, no formando una superficie) no se podría meter dentro del universo conocido.

De la misma forma que el gúgolplex es un uno seguido de gúgol ceros, el gúgolduplex (googolduplex en inglés) es un uno seguido de gúgolplex ceros.

Y ahora una curiosidad cinematográfica. En España, debido a un error de traducción, en la película Back to the Future se traduce "flux capacity" como condensador de fluzo, en vez de flujo, lo cual ya ha cristalizado en la cultura popular. Pero en la tercera entrega de esta saga también hay un radical cambio de traducción en la palabra gúgol. Cuando Emmet Brown, después de pedirle a su amada Clara Clayton que debía regresar al futuro, y ésta lo tratase de mentiroso, se dirige a la taberna, donde hablando con un hombre junto a él en la barra, y le dice: «Clara es una en un millón, una en un billón, una en un googolplex». En la segunda versión doblada al español, sin embargo, dice: «una en un hipermegalón»).

Vía | liberitas

Atención al siguiente número:

100977325337652013586346735487680959091173929274945...

¿Qué tiene de especial este número? ¿Qué tiene de mágico? Mucho más de lo que parece a simple vista. Hasta el punto de que hay personas que pagan dinero por números como éste.

El concepto de número aleatorio es francamente difícil de describir, pero supuestamente acabáis de haber leído uno de ellos. De hecho, es así como empieza un libro publicado en 1955 titulado Un millón de dígitos aleatorios.

La RAND Corporation fue la responsable de generar esta serie aleatoria de dígitos a través de lo que calificó como una ruleta electrónica: un generador de pulsaciones que emite 100.000 pulsaciones por segundo, controladas por un contador binario de cien puestos, pasadas luego por un conversor de binario a decimal, insertadas en una perforadora de IBM, e impresas posteriormente por un Cardatype IBM modelo 856.

Este proceso os resultará acaso demasiado complejo para obtener sólo un puñado de números presuntamente aleatorio. Pero la cosa es aún más exagerada: el proceso para la obtención de dichos números… duró años. Así de incalcanzable resulta la aleatoriedad.

Porque nuestro cerebro, nuestra intuición, tiende a generar patrones, incluso con asistencia mecánica. Por ello, una forma de descubrir si alguien ha manipulado unos números es simplemente examinando si hay demasiadas cifras poco redondas. La gente cree que las cifras redondas son menos probables que las “aleatorias”, y por tanto, para dar apariencia de autenticidad, la gente repartirá lo más regularmente posible todas las cifras del espectro. De la misma manera que la gente no suele comprar el boleto de lotería 55555, también empleará números lo más alejados posibles que ese 55555 o el 22222, a fin de que precisamente no parezca que los ha escrito alguien. Podéis leer más sobre ello en ¿La lista de de reproducción aleatoria del iPod realmente es aleatoria?

El libro Un millón de dígitos aleatorios tuvo muchos compradores, la mayor parte científicos. Porque los números aleatorios son necearios para los científicos. Los compran al por mayor, como sacos de judías. Gracias a esos números son capaces de diseñar experimentos estadísticamente válidos y para construir modelos realistas de sistemas complejos.

Abunda en ello James Gleick en su libro La información:

Von Neumann se dio cuenta de que una computadora mecánica, con sus algoritmos deterministas y su limitada capacidad de almacenamiento, no podría generar nunca números verdaderamente aleatorios. Tendría que conformarse con números pseudoaleatorios: números generados de forma determinista que se comportaran como si fueran aleatorios. Eran lo bastante aleatorios para su uso con fines prácticos.

Pensad en un número. El que sea. No importa que sea un número de un dígito o de cientos de dígitos. Cualquier número que penséis probablemente tenga una historia interesante detrás. Por ejemplo, sin irnos lejos, el número cero: se han escrito libros enteros sobre él: apareció por primera vez en Babilonia en el siglo III a. C.

¿Y el 1? Fue el primer número de la historia. Matemáticamente es único por muchas razones: al multiplicarlo por cualquier otro número, no varía. Si se divide por él mismo, queda 1. El 1 es tanto el primer término como el segundo de la sucesión de Fibonacci. El siguiente término de la sucesión es el 2. En muchas culturas el 1 se representa mediante un punto o un trazo (horizontal, vertical o más o menos sinuoso).

¿Y el 2? Es un número simétrico en el reino animal. Dos brazos, dos ojos, dos piernas. Es el valor que tiene la constante n del teorema de Fermat. Es el primer número primo. Es el único número primo par, ya que los otros pares son múltiplos de 2 (no son primos). Es el número atómico del helio.

Y así podríamos continuar ad infinitum. El otro día, por ejemplo, os hablaba de la trascendencia del número 23. No es extraño, pues, que todos los números de dos dígitos, y muchos de tres, tengan incluso su propio artículo en Wikipedia.

¿Y el 77? Es la suma de los ocho primeros números primos: 77 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19. Es el número atómico del iridio (Ir). Hay una Red de satélites artificiales de comunicaciones que se llama Iridium porque inicialmente se pensó en que serían 77 satélites.

Y también números mayores. La Wikipedia también dedica un artículo al número 9.814.072.356: es el cuadrado holodigital más grande que existe, es decir, el número al cuadrado más gran que contiene todos los dígitos decimales exactamente una vez.

Así pues, entre números primos, perfectos, cuadrados, cubos y demás, resulta francamente difícil encontrar un número que no fuera interesante. De hecho, si lo encontrarámos, ¿por qué sería poco interesante? A juicio de James Gleick, en su libro La información:

Seguramente existirá un número sobre el cual no habrá nada especial que decir. Esté donde esté, supone una paradoja: el número que podríamos describir de modo harto interesante como “el número sin interés más pequeño”.

¿Y el 1729? Para G. H. Hardy, que tomó el taxi número 1729 cuando en 1917 fue a visitar a Srinivasa Ramanujan, comentó que tal número le parecía bastante soso. Ramajunan no estuvo de acuerdo: ese número era el más pequeño que puede expresarse como la suma de dos cubos de dos maneras distintas. Esta anécdota también le dio lustre al número, que, además, es el número de Carmichael, un pseudo-primo de Euler, y un número de Zeisel.

Si os pido que me penséis en un número cualquiera, la mayoría de vosotros tenderéis a pensar en un número pequeño antes que en uno grande. Es decir, en un número situado entre 1 y 10 que entre 11.000 y 11.010.

Una forma de descubrir si alguien ha manipulado unos números es simplemente examinando si hay demasiadas cifras poco redondas. La gente cree que las cifras redondas son menos probables que las “aleatorias”, y por tanto, para dar apariencia de autenticidad, la gente repartirá lo más regularmente posible todas las cifras del espectro.

De la misma manera que la gente no suele comprar el boleto de lotería 55555, también empleará números lo más alejados posibles que ese 55555 o el 22222, a fin de que precisamente no parezca que los ha escrito alguien.

A esto hay que sumar la probabilidad de que aparezca con más frecuencia el 1. Y luego el 2. Y luego el 3. De hecho, cuanto mayor sea el número, según la ley de Benford, más improbable será que aparezca. (Bueno, en realidad la ley de Benford debería llamarse ley de Newcomb, porque fue este matemático, Simon Newcomb, quien descubrió esta regla en 1881… pero ése es otro tema). En definitiva, Benford viene a decir que es mucho más probable que una cifra de la vida real empiece por el dígito “1” que cualquier otro, aproximadamente un 30%. la ley de Benford se debe a que empezamos a contar por el uno. Y se produce en muchos ámbitos de la vida cotidiana: los precios de las acciones, el número de habitantes, las tasas de mortalidad, etc.

Tal y como explica Christoper Drösser en La seducción de las matemáticas:

De este modo, el 1 estará infrarrepresentado y el 6 aparecerá con excesiva frecuencia. Según unos estudios realizados, está visto que las personas, cuando se inventan números, suelen tener verdaderas “huellas dactilares”, que se reflejan en la tabla de valores de Benford en la 1ª cifra y también en las tablas correspondientes que analizan la 2ª cifra o pares de cifras. Ocurre que a más de una persona siempre se le antoja el “37” cuando ha de pensar en una cantidad “poco redonda” de céntimos.

No es extraño, pues, que actualmente se use el método de Benford para revisar declaraciones de impuestos, por ejemplo. El economista norteamericano Hal Varian sugirió en 1972 que se podría aplicar la ley de Benford para detectar posible fraude en listas de datos socio-económicos. Así fue como el matemático estadounidense Mark Nigrini lo demostró en el caso de la compañía energética Enron, en cuyos balances se falsificaron muchos números.

Cuando de pequeño me decían que las Matemáticas se encontraban en la Naturaleza, me era imposible encontrarlas. Yo, como muchos de vosotros, que prefería otras materias, no podía creer que se referían a esto.

A día de hoy, me maravillo viendo este tipo de cosas. Esa perfección, delicadeza y precisión con la que la Naturaleza lo hace todo. Espero que os guste.

Vía | Vimeo

Desde hoy van a mirar a las palomas de manera diferente. De acuerdo que muchos seguiréis mirándolas con cara de asco (me incluyo) pero algo, por muy pequeño que sea, cambiará en nuestro gesto.

Ahí donde las veíamos como ratas aéreas, animales inútiles y cúmulo de gérmenes, resulta que las palomas pueden aprender reglas numéricas abstractas, una habilidad que los científicos creían propias de los primates.

Aunque las aves no son capaces de resolver matemáticas avanzadas, su capacidad de razonar numéricamente es algo que una gran variedad de especies pueden hacer pero con ciertos límites.

Muchas especies, desde las abejas a los elefantes, pueden elegir entre elementos, sonidos, olores o representar números mentalmente. Pero sólo los primates (todas las especies, desde los lémures a los chimpancés) son conocidos por ser capaces de razonar numéricamente.

Según Damian Scarf, un psicólogo de la Universidad de Otago, Nueva Zelanda, y autor principal del estudio;

Siempre existió la duda de si se trataba de una exclusividad de los primates

Para averiguarlo, Scarf y sus colegas decidieron hacer la misma prueba a tres palomas, para ello pasaron un año entrenando a las mismas.

El set de entrenamiento incluía tres juegos con un rectángulo amarillo, dos óvalos rojos y tres barras amarillas. Los conjuntos aparecían en una pantalla y los pájaros tenían que picotear la secuencia correcta de manera ascendente, obteniendo como recompensa comida.

Lo que tenían que saber era el número de elementos, no importaba el color o la forma

A las palomas se las instruyó para ver si entendieron el principio básico de los números ordinales.

En sus sesiones de entrenamiento, las aves sólo habían llegado a aprender el primer, segundo y tercer nivel (con las figuras anteriores), pero no fallaron cuando se presentaron los nuevos niveles, por ejemplo, cinco óvalos o siete rectángulos.

Estos resultados estaban muy por encima de lo esperado.

Era increíble que los monos pudieran hacer esto, así que pensé que sería más impresionante que las palomas lo hicieran también

Damian Scarf y los otros co-autores sugieren que otras especies pueden demostrar también unas habilidades similares.

El estudio sugiere que otras criaturas pueden poseer los mecanismos fundamentales que permiten a los seres humanos a razonar con los números y que incluso se pueda encontrar habilidades matemáticas en otros animales

Concluye.

Vía | Science

Hoy leo en microsiervos un interesante post sobre cuáles son las ideas matemáticas que más han influido en el curso de la historia. Se trata de un recopilatorio de 10 ideas matemáticas que de una forma u otra han hecho que nuestra vida haya cambiado de un modo u otro. Esta lista ha sido contrastada y votada por la comunidad de MathOverflow, una interesante página para matemáticos donde se encuentran multitud de preguntas y respuestas.

Sin más dilación, empecemos a verlas.

1.- El sistema de numeración decimal: Este sistema de origen hindú, se considera la primera aportación importante de las matemáticas a la humanidad, ya que facilitó enormemente la tarea de realizar operaciones de cálculo sencillas. Está adoptado por casi todas las culturas. Según ciertas teorías, su origen se debe a que los seres humanos poseemos 10 dedos en las manos.

2.- La teoría de la computabilidad: La teoría propuesta por Alan Turing asienta las bases de cómo resolver ciertos problemas a partir de algoritmos y empleando una máquina de Turing. Esta máquina está formada por un alfabeto de entrada, uno de salida, un conjunto de estados finitos y una serie de transiciones entre ellos.

3.- Derivación e integración en análisis numérico: El cálculo integral, empleado por primera vez por Arquímedes y Descartes, y perfeccionado por Isaac Newton, se considera la piedra filosofal del análisis matemático. Fue este último quien propuso que la derivación y la integración son procesos inversos, a partir del teorema fundamental del cálculo integral.

4.- La geometría euclidiana y su tratamiento axiomático: La geometría euclidiana es la encargada de estudiar las propiedades del plano y el espacio tridimensional. Es decir, la geometría que todos estudiamos en el colegio. Su nombre se debe al matemático Euclides, que sentó las bases en su obra “Los elementos”.

5.- La invención de números mayores que “1, 2 y varios”

6.- La aritmética modular: A esta aritmética se le conoce normalmente como aritmética del reloj, ya que los números de ese sistema ‘dan la vuelta’ tras alcanzar cierto valor llamado módulo. Fue introducida por Gauss en su obra “Disquisitiones Arithmeticae”. Este tipo de aritmética que os puede parecer poco útil, se emplea en teoría de números, criptografía y en artes visuales y musicales. Además, la mayoría de las operaciones matemáticas que realizam los computadores de hoy día son aritmético modulares, empleando el módulo 2^b, siendo b el número de bits de la operación.

7.- El uso de símbolos a modo de variables: Para aquellos acostumbrados a programar, el concepto de variable es algo de cotidiando. Una variable es un símbolo que representa un elemento de un conjunto dado. Por ejemplo, la expresión “sea x una variable del conjunto {1,2,3}” indica que x puede tomar los valores x=1, x=2, ó x=3.

8.- Geometría analítica: A diferencia de la geometría anteriormente mencionada, la geometría analítica estudia las figuras geométricas (triángulo, cuadrilátero, hipérbola, etc.) medante el análisis matemático y el álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Se basa en dos objetivos: dado un conjunto de puntos de un sistema de coordenadas, obtener su ecuación; y dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o conjunto de puntos que la verifican. Gracias a esto somos capaces de representar una figura geométrica a partir de una fórmula, por ejemplo la ecuación de la circunferencia.

9.- La creación del número cero: El símbolo del cero, algo que nos puede parecer tan natural, ha creado multitud de debates interesantes. Considerado a lo largo del tiempo como el “no número”, la historia de este símbolo ha fascinado a diferentes culturas, que buscaban en él un significado místico.

10.- La teoría de juegos: Este área de las matemáticas, que cada vez está más de moda, estudia las estrategias óptimas y el comportamiento de los individuos en juegos. Inicialmente se creó para entender el comportamiento de la economía, aunque actualmente se emplea en diversos campos como en la filosofía o la sociología. Sus grandes impulsadores fueron John von Neumann y Oskar Morgenstern, debido a su aplicación a la estrategia militar. En concreto, a la destrucción mutua garantizada.

Vía | Microsiervos

Los números complejos son uno de esos casos en que un concepto puramente matemático, que podría parecer una mera entelequia, llega a ser poco menos que vital para nuestra descripción científica de la naturaleza.

Perdonadme aquellos que seáis unos maestros en su uso, pero para el resto voy a hacer un pequeño repaso de que diablo son estos números que llamamos complejos, pero que en realidad no son tan difíciles.

Si recordáis vuestra más tierna infancia, cuando aprendisteis a multiplicar, un/a esforzado docente usaba reglas nemotecnicas del estilo “menos por menos es más“. Y, por supuesto, “más por más también es más”.

Una interesante conclusión que sí multiplicamos un número por si mismo, es decir si lo elevamos al cuadrado, siempre sale positivo. Porque siempre será “menos por menos” o “más por más”. Elevando al cuadrado nunca tendremos el caso de “más por menos”, o al revés, que es el único que da negativo.

Dicho de otra forma, todos los números positivos tienen raíz cuadrada, pero los negativos no.

Vista esta situación, uno se siente tentado a imaginarse que pasaría si existiera un número cuyo cuadrado fuera negativo. Y como hemos tenido que imaginarnoslo, pues a ese número le llamamos imaginario. Pura lógica, no me lo negaréis.

Si a uno de estos números imaginarios lo multiplicamos por uno real, obtenemos otro número imaginario. El motivo es muy simple, al cuadrificar el número real siempre nos saldrá positivo; mientras que el imaginario siempre dará negativo. Por lo tanto al multiplicar los dos cuadrados estaremos en el caso más por menos, que es negativo. Pues eso, un real por un imaginario tiene cuadrado negativo, ergo es imaginario.

Esto último nos da la idea de que podemos definir un número imaginario básico, y obtener el resto simplemente multiplicándolo por todos los números reales. Esto es lo mismo que obtener todos los números reales como multiplicación de la unidad, por ejemplo 54 = 54·1.

Es decir, sólo necesitamos definir una especie de “uno imaginario“. Para no confundirlo con el uno real, suele denotarse por la letra i, de imaginario. Aunque algunos ingenieros usan la letra j, probablemente porque ya usan la vocal para referirse a la intensidad eléctrica. Su propiedad principal es que i² = -1. Cualquier otro número imaginario se obtiene multiplicando un real por i, por ejemplo 54i.

Sin embargo, los números imaginarios tienen una propiedad que no gusta nada a los matemáticos. Y es que si multiplicando de ellos, se obtiene un número real (negativo, pero real). El ejemplo más claro, es i·i = -1. A ellos, tan estirados como siempre, les gusta que al aplicar una operación sobre un tipo de número, el resultado sea del mismo tipo. Y, en esto, los imaginarios fracasan.

Con éstas, dado que los imaginario se mezclan ellos solitos con los reales, parece una buena idea mezclarlos desde el principio. Lo que podemos hacer es sumar un número imaginario y uno real. Por ejemplo, 1 + 3i. Y a esta especie de monstruo híbrido se llama número complejo.

Y este tipo de número tiene las propiedades matemáticamente más robustas posibles. Le hagas lo que le hagas a un número complejo, nunca se queja. El resultado siempre es otro complejo.

En el fondo, para determinar un complejo, lo que hacemos es dar dos números reales, uno que va suelto y otro que va multiplicando la i. Eso recuerda mucho a las coordenadas en un plano, la parte real representaría la coordenada horizontal, mientras que la parte imaginaria la vertical. Ello nos da una útil interpretación geométrica de los números complejos.

Pero este es un blog de ciencia, no de mates; y el título promete que vamos a hablar de la naturaleza. Pues hagámoslo: Obviamente, nunca nos encontraremos un aparato de medida que arroje números complejos como resultado de una medición. ¿Alguien ha visto una cinta métrica o un cronómetro donde aparezca una i imaginaria?

Pero eso no significa que no sea útiles para la ciencia. Por ejemplo, porque muchos cálculos son más sencillos en el plano complejo que en la recta real.

Un caso de manifiesta utilidad es aquel en que los números complejos permiten tratar al unísono dos magnitudes relacionadas. Sin números complejos, deberíamos tratar ambas magnitudes por separado, es más fácil tener un complejo que dos reales, especialmente si la relación entre ambas variables es tal que permite aprovechar alguna de las propiedades especiales de los complejos.

Permitirme que use el ejemplo de la corriente eléctrica alterna, concretamente el voltaje o tensión. Nos interesan dos magnitudes, por un lado la tensión total, y por otro el retraso (o adelanto) temporal que dicho valor tiene respecto al ritmo normal de la corriente eléctrica.

Podemos expresar ambas cosas haciendo uso de la interpretación de los complejos como puntos en un plano. El valor total de la tensión se represente mediante la distancia desde cada punto del plano al origen (el punto central, por decir así).

El desfase temporal, por otra parte, se mide mediante la dirección en que el número complejo apunta. Si el ángulo complejo apunta en la dirección de 45º (un cuarto de vuelta) significa que el desfase es de un cuarto de ciclo. Así de fácil.

Este tipo de cosas se utilizan en infinidad de campos en ciencia e ingeniería. El ángulo de un número complejo es ideal para estudiar fenómenos periódicos, como oscilaciones y ondas.

Yendo un poco más lejos, pero enlazado con las ondas que acabo de mencionar, el uso de complejos es vital para la mecánica cuántica, nuestra gran amiga que describe todo lo que es demasiado pequeño. Esto es porque, como sabéis, la cuántica tiene una gran predilección por todo lo ondulatorio. Quizá dedique un día a explicar el motivo, por hoy basta por recordar que tenemos la función de onda, la dualidad onda-corpuscular y que Schödinger decía que la suya era una ecuación se ondas.

Por este íntimo matrimonio ente ondas y cuántica, y como hemos dicho que los complejos son candidatos naturales a describir cualquier cosa oscilan, resulta que la cuántica hace uso innato de los números complejos. Sin duda, la letra que uno más escribe cuando está calculando algo cuántico es la i.

O, lo que es lo mismo, la naturaleza en si es puramente, y simplemente, compleja.