Se acercan los grandes sorteos de la lotería y, con ella, algunos blogs de divulgación científica han corrido a demostrarnos con números cuán difícil es la probabilidad de enriquecerse con ella. Tan improbable que, como sugiere algún matemático, la lotería es una especie de impuesto para ignorantes matemáticos.

Dejando a un lado esas cuestiones, me gustaría centrarme en otras actividades humanas cotidianas que también implican grandes números, como escribir una novela o las partidas posibles en el ajedrez.

-El número de seres humanos diferentes posibles es del orden de 10 elevado a 10 elevado a 9. Una cifra realmente difícil de escribir sin que nos bizqueen los ojos.

-El número de sonetos libres diferentes en castellano se escribe con un 1 seguido de 415 ceros.

-Pero esa cifra palidece si la comparamos con el número de novelas diferentes de 200 páginas que se pueden escribir en castellano (85.000 palabras por novela) y que encajarían en la Biblioteca de Borges: 1 seguido de 354.918 ceros. Es decir, que tendría que escribiros cientos de artículos como éste sólo para que cupiera la cifra.

El filósofo Daniel Dennett ahondaba todavía más en esta especulación basándose en las ideas de Jorge Luis Borges para su Biblioteca de Babel, la biblioteca de todos los libros posibles:

Supongamos que cada libro tiene 500 páginas y cada página tiene 40 líneas de 50 espacios, de modo que hay dos mil caracteres por página. Cada espacio o está vacío o tiene un carácter impreso en él, escogido entre un conjunto de 100 (las letras mayúsculas y las letras minúsculas del inglés y de otras lenguas europeas, más los espacios vacíos y las marcas de las puntuaciones). (Borges escogió cifras ligeramente diferentes: libros de 410 páginas con 40 líneas de 80 caracteres cada una. El número total de caracteres por libro es bastante cercano al mío: 1.312.000 frente a 1.000.000, lo cual no representa mucha diferencia. Yo escogí números redondos para un más fácil manejo). En algún lugar de la Biblioteca de Babel hay un volumen constituido en su totalidad por páginas en blanco y otro volumen lleno de signos de interrogación, pero la inmensa mayoría consiste en un galimatías tipográfico: ninguna regla ortográfica ni gramatical, y, por descontado, ninguna regla de sentido, prohíbe la inclusión de un volumen. Dos mil caracteres por página, a 500 páginas por libro, suman 1.000.000 de caracteres por libro, así que para 100 libros la cifra de caracteres es 1001.000.000. Dado que se estima que en la región del universo hay solamente 10040 (más o menos) partículas (protones, neutrones y electrones) que podemos observar, la biblioteca de Babel no es ni de lejos un objeto físicamente posible.

-Un profesor de física del Military College de Carolina del Sur llamado Scott Funkhouser sugiere que todas las partículas del universo se cuentan con 10 elevado a 122, o un uno seguido de 122 ceros, o cien decillones de decillones. Lo que demostraría que la Biblioteca de Babel no es un objeto físicamente posible. Al menos en nuestro universo.

-El número total de jugadas de ajedrez es de 10 elevado a 10 elevado a 50.

-¿Cuál es el número más alto que puede escribirse con sólo 3 cifras? No es el 999 sino 9 elevado a 9 elevado a 9. El 1906, C. A. Laisant demostró que este número:

requería 369.693.100 cifras para ser escrito, es decir, al escribir en una página con 2.100 caracteres (30 líneas de 70 espacios) se precisarían 176.044, 33 páginas, lo que daría lugar a una enciclopedia de lo más estúpida, a una tala de bosques de gran calado y a una aceleración imperdonable del cambio climático.

Vía | La peligrosa idea de Darwin de Daniel Dennett / Ideas para la imaginación impura de Jorge Wagensberg / Vitaminas matemáticas de Claudi Alsina

Nuestro cerebro no está diseñado para imaginar números demasiado grandes, ni tampoco espacios u objetos de dimensiones gigantescas (o liliputienses), porque simplemente nuestros antepasados nunca tuvieron que preocuparse de cosas así. Bastaba con poder contar a los miembros del clan o del clan enemigo, por ejemplo.

Pero no tuvieron que enfrentarse nunca al tamaño del universo, o al número inabarcable de estrellas.

De modo que el único atajo que tenemos para enfrentarnos a conceptos semejantes es el uso de analogías que nos permitan establecer formas de visualizar las cosas de un modo diferente a la experiencia habitual.

Siempre digo, por ejemplo, que empecé a asimilar mínimamente el tamaño descomunal del Universo cuando leí la novela de ciencia ficción Tau Cero, de Poul Anderson, en la que se narra de forma convincente los efectos de la dilatación temporal einsteniana en una misión interestelar en la que se cruzan, cada vez a mayor velocidad, sistemas solares, galaxias y hasta cúmulos globulares.

Para entender el mínimo tamaño de un átomo, siempre me gustó la analogía de imaginar un átomo del tamaño de un estadio deportivo internacional. Los electrones se encuentran en la parte alta de las gradas; se ven tan pequeños como la cabeza de un alfiler. El núcleo del átomo está en el centro del campo y tiene el tamaño aproximado de un guisante. El átomo, pues, está casi vacío.

Plasmar los números de las cosas en estado puro es algo más complicado, pero una manera de visualizar un millón es usar un papel cuadriculado. Una hoja DIN-A4 de papel cuadriculado (con cuadraditos de 2 mm de lado) contiene unos 15.540 cuadraditos, por lo que con 65 hojas saldrán más de un millón. Otra opción es valernos del azúcar: un millón de granos de azúcar pesan alrededor de 700 gramos, mientras que un billón ascenderá a un poco más de tres cuartos de tonelada.

Una vez establecido esto, por ejemplo se puede imaginar más fácilmente las posibilidades que se tienen de acertar la combinación ganadora de una lotería primitiva estándar, que es de 1 entre 13.983.816 (un número que no podemos imaginar). Bien, mediante la analogía de la hoja cuadriculada, la cosa se aclara un poco más: acertar los seis números correctos de la lotería es como coger uno de los cuadraditos de 2 mm entre un fajo de 900 hojas.

En la escala del azúcar sería el equivalente a buscar un único grano negro entre 10 kg de azúcar.

Podéis seguir explorando números inimaginables en sendos artículos que ya escribí dedicados a los números muy, muy grandes y a los números muy, muy pequeños.

En Genciencia | Números muy, muy, muy grandes / Números muy, muy, muy pequeños