En la anterior entrega hablamos de los estudios de Cantor sobre el infinito. Según su teoría, si un conjunto se puede poner en correspondencia uno a uno con los números naturales (enteros positivos), tiene los mismos elementos que el conjunto de los naturales.

Hasta aquí nada extraño, de no ser porque Cantor demostró con facilidad que, al contrario de lo que dice la intuición, esto implica que los números enteros (que incluyen además los negativos) y los racionales (que incluyen las fracciones) son exactamente tantos como los naturales. A esta cantidad (infinita) se le bautizó como ℵ₀. Teniendo en cuenta que puede haber infinitos "más grandes" que otros, en realidad, ¿qué sentido tiene decir que son infinitos? Por esta razón, se acuñó el término de números transfinitos.

La cardinalidad del continuo

Aunque los conjuntos de los números racionales y de los números reales son infinitos, hay más números reales que números racionales (es decir, la cardinalidad de los reales es mayor que la de los racionales). Los números reales corresponden a todos los números con decimales, incluyendo a aquellos que no proceden de una fracción (y por tanto tienen infinitos decimales en una sucesión no periódica), como pueda ser el número π, sin ir más lejos. A conjunto de los números reales se le llama, en este contexto, 'el continuo'.

Por reducción al absurdo, se puede demostrar que para cualquier enumeración de los números reales, podríamos construir otro número real no recogido dentro de ella. Por lo tanto, la cantidad de números reales es infinitamente superior a la de números racionales: Pero, ¿cuánto? Es más fácil de lo que parece. Si contamos los decimales, un número real tiene infinitos dígitos, que no son más que números naturales. Por ejemplo, 5 = 5.00000..., 10/3 = 3.33333..., π = 3.141592...

Es decir, que cada número real tiene ℵ₀ dígitos. El número de posibles permutaciones de dígitos (y por tanto, el número de posibles números reales) es N^ℵ₀, donde N es la base utilizada. Como el resultado es independiente de la base, si tomamos la más pequeña posible, que es la binaria, llegamos a la conclusión de que la cardinalidad del continuo es c = 2^ℵ₀.

Además, c es la cardinalidad del conjunto potencia de los números naturales, es decir, del conjunto formado por todos los posibles subconjuntos de los números naturales. Otros conjuntos importantes con cardinalidad c son el de los números complejos o el de los espacios vectoriales euclídeos de n dimensiones.

Las propiedades de c

El número c tiene también curiosas propiedades. Por ejemplo, es muy fácil de ver que cⁿ = c, donde n es cualquier número finito, ya que cⁿ = 2^ℵ₀·n = 2^ℵ₀ = c. (Esto justifica que los números complejos o los espacios de n dimesiones tengan cardinalidad c). Se puede razonar, de una forma similar, que c^ℵ₀ = c.

Sin embargo, ¿cuánto vale c^c? En este caso, tenemos c^c = 2^ℵ₀·c = 2^c. El número 2^c es la cardinalidad del conjunto potencia de los números reales, y del conjunto de todas las funciones reales.

Continuaremos en el siguiente post hablando de los números aleph (como ℵ₀), los números beth y la hipótesis del continuo.

Imagen | m. a. r. c. En Genciencia | ¿Se puede medir el infinito? (I)

En el reciente post sobre el Teorema de los Infinitos Monos se vio una demostración práctica de que infinito no es una cantidad muy grande, sino que infinito es infinito, y por ello muchas veces no podemos tratarlo como una cantidad 'normal'. Por eso mismo, tiene propiedades muy interesantes, y que a veces desafían nuestros razonamientos lógicos.

Por ejemplo, aunque infinito sea mayor que cualquier cantidad "real" imaginable, resulta que hay infinitos más grandes que otros. Y sin embargo, esa no es la propiedad más sorprendente de los infinitos. Desde la antigüedad clásica, se asume que la parte no puede ser tan grande como el todo como un dogma filosófico. Pues la teoría de los infinitos demuestra que no.

El responsable de estas chocantes conclusiones es el matemático alemán (aunque nacido en Rusia) Georg Cantor. Los resultados que obtuvo atentaban de tal forma a las convenciones que fue tachado de loco por sus coetáneos. No sólo eso, sino que además comenzó a sufrir crisis nerviosas y episodios de demencia cada vez que se daba cuenta de que su mente rechazaba sus propios descubrimientos. Tanto es así que falleció en la pobreza en un psiquiátrico.

Infinitos enumerables

Pero entremos más a fondo en las teorías de Cantor. Empecemos analizando la relación entre los números naturales (0,1,2,3,...) y los enteros (que incluyen también los negativos). Pues bien, según la teoría de Cantor, si podemos establecer una relación "uno a uno" entre dos conjuntos, se deduce que ambos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos (conclusión lógica, por otra parte). En el caso de los naturales y los enteros, es muy fácil: A los números naturales de forma 2·k les asignamos los enteros de forma -k, y a los naturales 2·k + 1, los enteros k.

Pues de esta forma podemos establecer una relación uno a uno entre naturales y enteros. En las siguientes parejas, el primer elemento es el natural, y el segundo, su entero asociado: (0,0), (1,1), (2,-1), (3,2), (4,-2), (5,3), etc. Se ve fácilmente que así asociaríamos todos los enteros a los naturales. Por tanto, hay tantos naturales como enteros, a pesar de que intuitivamente pensaríamos que hay el doble de enteros que de naturales. A esta cantidad infinita, Cantor la llamó ℵ₀ (aleph sub cero).

Más sorprendente resulta saber que la cantidad de números racionales (es decir, todas las fracciones) también es ℵ₀. Aquí, el órdago a la intuición es brutal. ¡Si solamente entre 0 y 1 ya hay infinitos racionales! ¿Cómo es posible que el número total de racionales sea igual que el de naturales? El razonamiento es más complejo (es más fácil de ver en un gráfico, como ya se publicó aquí en Genciencia), pero es igualmente válido En referencia a este hecho, Cantor escribió a otro matemático "lo veo, pero no lo creo".

Estos resultados a priori tan extraños tienen cierto sentido si tenemos en cuenta que el infinito cumple que ∞+1 = ∞, y por tanto, ∞+1 = (∞+1)+1 = (∞+1+1)+1, y así, ad infinitum (nunca mejor dicho). Esto se ve fácilmente en la famosa paradoja del hotel de Hilbert. Sin embargo, es cierto que existen infinitos más grandes que otros. En este caso, el símbolo ∞ pierde su significado, necesitamos una notación que indique las diferencias entre distintos infinitos (de ahí el uso del símbolo ℵ).

A los conjuntos que tienen ℵ₀ elementos (es decir, cuya cardinalidad es ℵ₀) se les denomina enumerables. En la próxima entrega veremos que hay conjuntos cuyos elementos no sólo son infinitos, sino que además no se pueden poner en correspondencia con los números naturales. Hay infinitos que son más grandes que otros, pero no sólo eso, sino que son infinitamente más grandes.

Imagen | m. a. r. c. En Genciencia | Quiz Genciencia: infinitos

No todos los teoremas matemáticos son sesudos e incomprensibles, hay muchos fenómenos sencillos que también tienen su explicación. El Teorema de los Infinitos Monos es un enunciado muy conocido, que asegura que

Un mono aporreando una máquina de escribir durante un tiempo infinito podría llegar a escribir cualquier texto dado, como por ejemplo las obras completas de Shakespeare.

Este teorema se usa para ilustrar lo difícil que es intentar abarcar el concepto de infinito. El teorema es cierto, en un tiempo suficientemente grande el mono acabaría por escribir las obras completas de Shakespeare, y las de Cervantes también si hiciera falta, pero la probabilidad de que eso suceda en un intervalo de tiempo tan grande como la edad del Universo es prácticamente nula. ‘Infinito tiempo’ no es ‘mucho tiempo’, sencillamente es… infinito.

Otra variante del teorema afirma que infinitos monos podrían escribir cualquier texto dado en cualquier intervalo de tiempo (no necesariamente infinito). La analogía es la misma. ‘Infinitos monos’ no quiere decir un millón de monos, ni miles de millones, sencillamente quiere decir… infinitos.

Los ‘monos’ en realidad son una metáfora de cualquier dispositivo capaz de generar texto aleatoriamente. El teorema se puede generalizar, en el sentido de que cualquier experimiento aleatorio podrá producir un determinado resultado siempre que la experiencia se realice tantas veces como sea necesario.

Por ejemplo, es posible (aunque la probabilidad sea prácticamente nula), que al lanzar una moneda al aire obtengamos cara mil veces seguidas. Sólo hay que tirar la moneda un suficiente número de veces. De hecho, si lanzásemos la moneda infinitas veces, obtendríamos secuencias de un millón de caras seguidas, de un billón, o de todas las que queramos.

Demostración

Supongamos que cada tecla pulsada es un evento aleatorio, estadísticamente independiente del anterior (en el caso de un mono aporreando un teclado, no sería estrictamente cierto, evidentemente es más probable que con cada golpe se pulsen varias teclas en una determinada vecindad, pero esto es rizar el rizo innecesariamente para el objetivo del teorema).

Si dos eventos son independientes, la probabilidad de que ocurran ambos a la vez es el producto de ambas probabilidades (por ejemplo, si dos tiradas de moneda son independientes, la posibilidad de que salga cara en las dos es 0,5 * 0,5 = 0,25). Si suponemos que usamos un teclado con el alfabeto castellano, sin acentos, números y obviando los signos de puntuación, tenemos 27 letras, con lo cual podemos asumir que la probabilidad de que se pulse cada una de ellas es 1/27.

La probabilidad de escribir una determinada palabra de n letras, bajo el supuesto de independiencia, será (1/27)*(1/27)*...*(1/27) = ¹/_27ⁿ. Por ejemplo, aplicando esta fórmula, la probabilidad de escribir al azar la palabra ‘gato’ al pulsar cuatro veces el teclado sería de una entre medio millón.

Siguiendo el razonamiento, la probabilidad de no escribir una determinada palabra de n letras en una secuencia de n pulsaciones es 1 – ¹/_27ⁿ. Para el siguiente bloque de n letras, exactamente igual, y así sucesivamente. Si suponemos que cada bloque es independiente, la probabilidad de no escribir una determinada palabra de n letras en k bloques seguidos, es (1 –  ¹/_27ⁿ)^k.

Si el tamaño del bloque n es acotado (tan grande como queramos, pero finito), siendo k la cantidad de veces que repetimos el experimento, podemos ver que el límite cuando k tiende a infinito es cero. Es decir, la probabilidad de que no escribamos cualquier sucesión de letras (por ejemplo, las obras completas de Shakespeare) tiende a cero si realizamos infinitos experimentos. O visto de otro modo, la probabilidad de que sí escribamos cualquier texto dado tiende al 100%.

Sin embargo, el concepto de ‘infinitos experimentos’, como ya hemos recalcado, no significa ‘muchísimos experimentos’. Intentemos poner cifras. Supongamos que tenemos tantos monos como partículas existen en el Universo (unos 10⁸⁰) y que cada uno de ellos es capaz de pulsar 1000 teclas por segundo, durante un tiempo 100 veces superior a la edad del Universo. Pues aun así, la probabilidad de que pudiesen llegar a reproducir cualquier libro ya existente es prácticamente nula.

Cuando ‘infinitos monos’ significa muchísimos más monos que todas las partículas existentes en el Universo, e ‘infinito tiempo’ significa muchísimo más tiempo que cien veces la edad del Universo, el concepto de ‘infinito’ deja de tener sentido práctico, para ser una mera herramienta teórica. Aunque intuitivamente asociamos ‘infinito’ con ‘muy grande’, vemos en este caso que esto no siempre funciona.

Los experimentos realizados con simuladores informáticos han demostrado completamente este hecho, e incluso ‘tecleando’ a una velocidad miles de veces más rápida de lo que lo haría un mono real, sólo muy de cuando en cuando se obtienen más de dos palabras seguidas con sentido. En otro experimento, se dejó un teclado en una jaula con monos, y después de que se dedicaran mayormente a golpearlo con piedras y orinar sobre él quedó claro que no se trata de buenos ejemplos de generadores aleatorios.

En Genciencia | Los simios poseen capacidades matemáticas

Aquí se planteará la solución al problema de los Infinitos, teniendo en cuenta que ya hubo otro pequeño artículo con algunas pistas. Ya se vio que los naturales (conjunto infinito de números) son tantos cuanto los enteros, los pares o los impares. Ahora proseguiremos con los siguientes conjuntos: los Racionales y los Reales.

El conjunto a estudiar es el de los Racionales (

). A primera vista parecería sorprendente que este conjunto pudiera ser puesto en relación con los naturales. Simplemente basta pensar que entre 0 y 1 hay infinitos (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 2/3, 2/5, ….) pero también hay infinitos entre 0 y 0,1 o entre 0 y 0,001. De todas formas Cantor encontró una manera de relacionarlos y demostrar que “son la misma cantidad”.

Se puede hacer una tabla como la siguiente (click para agrandar):

y comenzar a contar. Si se barriera una fila (o una columna) no se acabaría nunca, ya que cada fila (y cada columna) son infinitamente largas, nunca se pasaría a la siguiente. Entonces el secreto está en contar en diagonal, como se puede ver en la figura; de esta manera se obtiene que cada número racional es barrido y por ende se le puede asignar un número natural correspondiente. El método es bastante sencillo al igual que riguroso. Así tenemos que los primeros 3 conjuntos son numerables es decir que se pueden poner en relación 1 a 1 con los naturales. Veamos qué pasa entonces con los Reales.

Para trabajar con los Reales se usa una técnica que se llama Reducción al absurdo; generalmente se plantea una hipótesis y mediante deducciones lógicas de principios ya demostrados o de axiomas se deduce la veracidad de la afirmación. Por el contrario se podría plantear la anti-hipótesis y observar a qué conclusiones se llega. Si se llega a un absurdo quiere decir que la anti-hipótesis es falsa, por lo que la hipótesis es verdadera. Veamos eso en acción:

Supongamos que tenemos todos los números entre el 0 y el 1. Los escribimos en una lista, como se puede ver más abajo (a forma de ejemplificación. ) r₁ = 0. 5 1 0 5 1 1 0…
r₂ = 0. 4 1 3 2 0 4 3…
r₃ = 0. 8 2 4 5 0 2 6…
r₄ = 0. 2 3 3 0 1 2 6…
r₅ = 0. 4 1 0 7 2 4 6…
r₆ = 0. 9 9 3 7 8 3 8…
r₇ = 0. 0 1 0 5 1 3 5…

Ahora supongamos que se pueden poner en relación 1 a 1 con los naturales, eso quiere decir que al primero le asignamos un 1, al segundo un 2, etc. Ahora es cuando llegaremos a un absurdo: podemos tomar de cada número de la lista y formar un nuevo número, de forma tal que el primer dígito sea diferente del primer dígito del número 1, el segundo diferente del segundo del número 2, etc. (números en negrita.) De esa forma construimos un número que no estaba en la lista, porque es diferente del primero, del segundo, del tercero… Pero que es parte de los números entre 0 y 1. Ahora, esto es un absurdo porque habíamos dicho que teníamos todos los números entre 0 y 1; este absurdo surge de suponer que se pueden poner en relación “1 a 1″ con los naturales, por lo que debemos concluir que los números reales “son más” que los naturales (y por ende que los enteros y los racionales también).

Se puede demostrar que existen conjuntos más grandes todavía que los reales, y más sorprendentemente, que no existen conjuntos entre los naturales y los reales. El desarrollo de este tipo de matemática llevó a grandes problemas y paradojas en la teoría de conjuntos que hasta entrado el siglo XX no pudieron ser resueltos.

Esto nos muestra que efectivamente existen infinitos más grandes que otros. En matemática es usual asignarle un nombre (o un símbolo) a estos tipos de infinitos; para los primeros (naturales, etc.) se usa el

mientras que para los reales se usa el

y se lo llama de cardinalidad de un conjunto; existen también

,

, etc. que indican conjuntos con una cardinalidad aún mayor. Estos números son conocidos como números transfinitos, es decir un número mayor que cualquier número natural y la idea fue introducida originalmente por Georg Cantor, el matemático que dio impulso a este tipo de razonamientos a principios del siglo XIX.

La próxima vez que se piense en infinitos, entonces, se deberá distinguir qué tipo de infinito es el que estamos imaginando.

En los comentarios que se fueron dejando en el post en el que se plantea la pregunta de si existen infinitos más grandes que otros, encontré un tema recurrente que es el de que la parte siempre tiene que tener menos elementos que el todo; Esta concepción fue radicalmente modificada en el siglo XIX, pero había permanecido en la mente de las personas desde los griegos.

Es interesante estudiar algunas propiedades de los números, especialmente cuando su cantidad es infinita: La idea de conjunto es bastante simple: se trata de objetos que se pueden colocar juntos, como dentro de una bolsa, y que son distinguibles uno del otro, aunque sea intelectualmente. Entonces uno puede tener un conjunto de personas, por ejemplo, o un conjunto de números.

En particular interesan los conjuntos de números y dentro de estos se tienen algunos más relevantes:

• Números Naturales, representados por la letra

  , formados por 1, 2, 3, 4, …

• Números Enteros, representados por la letra

  , que incluyen a los naturales y agregan los negativos y el 0: … , -3, -2, -1, 0, 1, 2, …

• Números Racionales, representados por la letra

  , que incluyen a los anteriores y agregan todos los que se pueden escribir como una división: -4/5, 3/8, 1, 2, 8/3, 9/5, … Es importante destacar que cualquier número con coma, que presente una cierta periodicidad, por ejemplo 0,333333… 0,142857142857… pueden ser escritos en forma de división (1/3 y 1/7, en los ejemplos anteriores.)

• Números Reales, representados por la letra

  , que incluyen a los anteriores y agregan todos los demás, por ejemplo

  ,

  , etc. etc.

Como se puede ver, cada uno de los conjuntos de arriba es infinito, es decir que no puedo decir cuántos elementos tiene. Si alguien me dice que tal conjunto tiene n elementos, y me muestra una lista, yo siempre voy a poder encontrar un elemento "n+1". Es interesante entonces ver cómo se trabaja con conjuntos que son infinitos; existe una historia conocida como “Hotel de Hilbert” que cuenta lo siguiente:

"Había un hotel que tenía infinitas habitaciones. Un día llega un nuevo huésped para alojarse allí, pero el conserje le dice que tenía mala suerte, que estaban todas llenas. El huésped, indignado llama al gerente, y le pregunta cómo era posible en un hotel con infinitas habitaciones. El gerente le da la razón, pero dice que no puede hacer nada, entonces el huésped responde rápidamente: ‘ya se lo que se puede hacer; al que esté en la habitación 1 lo manda a la habitación 2, al de la habitación 2 a la 3 y así sucesivamente, entonces la habitación 1 quedará libre para mi.’ El gerente encontró maravillosa esta solución y así lo hizo. "Algunos días después llega otro huésped y pide de alojarse, a lo que le responden que el hotel estaba lleno, pero que no se preocupara, que sabían cómo solucionarlo. Entonces este huésped dice que había un problema, que él no estaba solo, sino con un grupo de amigos… y que era un grupo infinito. El gerente, otra vez consternado no sabía qué hacer, pero el huésped, también muy hábil, le dice que no se preocupe, que mande al de la habitación 1 a la 2, al de la 2 a la 4, al de la 3 a la 6 y así sucesivamente. De esa forma todas las habitaciones con números impares quedarían libres para sus infinitos amigos."

Esta bonita historia, que si bien parece tirada de los pelos está mostrando 2 propiedades muy importantes de los conjuntos infinitos. Primero, que al agregar un elemento al conjunto infinito (primera parte de la historia) el infinito no se modifica. El hotel sigue siendo el mismo y con la misma cantidad de habitaciones. Lo mismo habría sucedido si se agregaban 10, 20, 30, … elementos (bastaba mandar al huésped de la habitación 1 a la 11, 21, 31, etc.) La segunda parte muestra que agregar infinitos elementos al conjunto tampoco modifica la cantidad total. Al mismo tiempo muestra algo muy peculiar, y es que la cantidad de habitaciones pares (o impares) en el hotel es la misma que la cantidad de habitaciones totales. En general uno estaría tentado a pensar que la parte es siempre menor que el todo, pero para un conjunto infinito esto estaría fallando. Es de aquí de donde surgieron las sospechas de los matemáticos, que llevaron a una teoría sobre los infinitos y a un desarrollo de la matemática verdaderamente sorprendente.

Algo que estamos muy acostumbrados a hacer es a contar. Cuando uno va al supermercado, por ejemplo, y compra 5 manzanas, cómo hizo para saber que eran 5? Simplemente colocó a cada una de las manzanas al lado de un número natural (en lenguaje técnico hizo una biyección entre los elementos de dos conjuntos) y se fijó cuál era el mayor. Este mismo método para contar lo podemos trasladar a conjuntos infinitos. Es decir que lo que intentaremos hacer es construir una relación entre los números naturales y los demás, demostrando de esa forma que hay tantos naturales cuanto enteros, etc. etc.

Es fácil ver (en el ejemplo del hotel) que hay tantos naturales como naturales pares, o naturales impares. Basta a cada natural n asignarle el número 2n+1 o 2n-1. De esa forma no quedará ni natural ni par (o impar) libre, cada uno estará ligado a otro. Con los enteros es el mismo caso, ya que basta ordenarlos de una manera inteligente para que se los pueda “contar”, por ejemplo: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …. De esa forma también podremos asignarle a cada natural un número entero y viceversa.

Por esto se puede decir que generar una biyección es la forma de controlar si ambos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos, el mismo infinito. El siguiente paso sería ver si de la lista de conjuntos de números de arriba (o alguno que se les pueda ocurrir), alguno tiene más elementos que otro, así se habrá probado que efectivamente no todos los infinitos son iguales.

La semana que viene vendrá la resolución completa, que por cierto ya algunas personas mencionaron en los comentarios, sólo que sin explicar demasiado.

Actualización 11/06/2008: Se encuentra disponible la solución.