La palabra "fractal" fue acuñada por el matemático Benoît Mandelbrot para describir lo que acababa de describit, esto es, una forma que revelaba detalles a cualquier escala. Era 1982.

Un ejemplo paradigmático de ello sería el litoral de una isla. Ésta siempre será irregular, independientemente de si uno observa los promontorios, las rocas o los pequeños guijarros. Cuanto menor sea la escala, más detalles aparecen. Por eso medir la longitud de un litoral es un ejercicio fútil.

Litoral británico

Para explicar hasta qué punto medir el litoral de un país es una tarea arbitraria que depende totalmente de lo detallada que sea la medición, John Higgs pone el siguiente ejemplo en su libro Historia alternativa del siglo XX: Más extraño de lo que cabe imaginar:

La longitud del litoral británico es de 17.820 kilómetros, según el Servicio Nacional de Cartografía, pero el Factbook de la CIA afirma que es de 12.429, casi una tercera parte menor. Estas medidas dependen por completo de la escala a la que se hagan. Las cifras no tienen ningún valor fuera de contexto.

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¿Qué son los fractales y cómo se construyen?

Si las teorías matemáticas de Euclides y Newton imaginaban líneas rectas, Mandelbrot se enfrentaba a un paisaje fractal cada vez que salía de casa, donde una montaña, por ejemplo, puede tener más o menos la forma de una pirámide, pero solo más o menos.

Las formas geográficas clásicas euclidianas, las esferas, los cubos, los conos y los cilindros, en realidad no existían en la naturaleza. La línea ercta no había existido hasta que la inventaron los matemáticos. La realidad era mucho más desordenada de lo que se suponía. Gustara o no, la realidad era fractal y caótica.

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¿Somos capaces de medir la costa de Gran Bretaña?

Mandelbrot sostuvo que los fractales, en muchos aspectos, son más naturales, y por tanto mejor comprendidos intuitivamente por el hombre, que los objetos basados en la geometría euclidiana, que han sido suavizados artificialmente. Tal y como él mismo escribió en su libro Introduction to The Fractal Geometry of Nature:

Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y las cortezas de los árboles no son lisas, ni los relámpagos viajan en una línea recta.

En otoño de 2006, el financiero mexicano David Martínez pagó 140 millones de dólares por la pintura Número 5 del pintor contemporáneo Jackson Pollock, convirtiéndose así en la pintura más cara jamás vendida.

No sé si conocéis la obra de Pollock. En esencia, sus pinturas consisten en tomar un lienzo en blanco y salpicarlo con gotas de pintura. A primera vista, no deja de ser una salpicadura normal y corriente. Como una mancha muy elaborada.

Y el hecho de que alguien pague tal cantidad de dinero por una simple salpicadura, incluso me sirvió como excusa para escribir una pequeña reflexión sobre el arte, ¿Por qué existe el arte?, en el que hablo de un pájaro que bautizo como Número 5 o Pájaro Pollock.

Fractal

Sin embargo, las matemáticas han revelado que lo que hacía Pollock era un poco más complejo de lo que parece a primera vista. En 1999, un grupo de matemáticos dirigidos por Richard Taylor, de la Universidad de Oregón, analizó las pinturas de Pollock descubriendo que la técnica entrecortada que empleaba crea una forma fractal. Su hallazgo fue publicado en Nature.

Un fractal es un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas. Es decir, por mucho que nos acerquemos o alejemos del objeto, observaremos siempre la misma estructura. De hecho, somos incapaces de afirmar a qué distancia nos encontramos del objecto, ya que siempre lo veremos de la misma forma. El termino fractal fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. En la naturaleza encontramos muchas estructuras con geometría fractal, como por ejemplo, en el romanescu (Brassica oleracea), un híbrido de brécol y coliflor.

Tal y como explica Marcus du Sautoy, catedrático de matemáticas en la Universidad de Oxford, en su libro Los misterios de los números:

Fracciones aumentadas de una obra de Pollock siguen resultando muy similares a la versión de tamaño completo y parecen poseer la característica complejidad infinita de un objeto fractal. (Por supuesto, el incremento progresivo del aumento revelará finalmente las gotas individuales de pintura, pero esto ocurre solamente cuando se aumenta 1.000 veces el lienzo).

Es imposible que Pollock supiera lo que estaba haciendo en realidad o que pudiera controlar las dimensiones fractales. Se guiaba por la intuición, por su estilo. Pollock descartaba muchos de sus cuadros o recortaba los bordes de otros, cuando en esos puntos la pintura no era tan compleja como él quería.

La naturaleza fractal de la obra de Pollock aún fue más evidente cuando se intentaron falsificar sus obras, en aras de profundizar mejor en ellas. Fue el mismo Taylor el que creó un equipo al que bautizaron como “Pollockizador”.

Se colocan unos tarros de pintura sujetos con resortes a una bobina electromagnética, que puede programarse para producir movimiento caótico, y el resultado son Pollocks convincentes. Así que, aunque las matemáticas pueden ayudar a detectar falsificaciones, también pueden usarse para crear imágenes que bien podrían convencer a los expertos.

La geografía, a veces, adopta formas muy familiares, como una montaña con forma de mujer, e incluso algunas ciudades tienen una organización semejante a los órganos de un ser humano. Pero generalmente, las cosas, en geografía, suelen ser mucho más complicadas.

Hasta el punto de que resulta de todo punto infructuoso tratar de medir la costa de Gran Bretaña. ¿10.000 kilómetros? ¿30.000 kilómetros? ¿Infinitos kilómetros?

En primer lugar, las costas de Gran Bretaña, y otros países, varían constantemente debido a que las mareas suben y bajan. Pero esto es lo de menos: aunque no existieran las mareas y la costa se mantuviera estática, incluso así sería tremendamente difícil establecer una longitud exacta.

Imaginad que usamos reglas rígidas. Nos perderíamos muchas pequeñas curvas y otros detalles a pequeña escala. Vale, diréis, usemos una regla en forma de cuerda o de cinto, pero ello tampoco es exacto: existe un límite en la flexibilidad a la hora de captar los intrincados detalles diminutos. En otras palabras, en algún momento del proceso de medición, debemos decir “hasta aquí”.

El problema es que, cuanto más nos fijemos en los detalles de la costa, más larga resultará ésta… incluso a niveles descabellados. Según el Ordnance Survey, el Instituto Geográfico británico, la longitud de las costas de Gran Bretaña se establece en 17.819,88 km, pero midiendo con mayor grado de detalle, la cifra resultante puede multiplicarse por dos. Y mucho más: a determinado grado de detalle, la costa mediría 100 veces más. Millones de kilómetros. La distancia entre la Tierra y Saturno.

Tal y como explica Marcus du Sautoy en El misterio de los números:

Si repitiéramos este proceso infinitas veces, obtendríamos para la línea de costa una longitud infinita. Por supuesto, la física nos impide dividir las cosas más allá de un cierto límite, determinado por lo que se llama la constante de Planck. Esto es así porque, según los físicos, resulta de hecho imposible medir una distancia más pequeña que 10 elevado a -34 sin crear un agujero negro que aspiraría consigo el instrumento de medir.

Benoit Mandelbrot se hizo una pregunta idéntica a la que planteamos: ¿cuánto mide la costa de Bretaña?, es un artículo por primera vez en Science en 1967. Decía que:

todo depende de aquello que desechamos en la medición, porque al ir contando cada vez con más precisión, debemos añadir el contorno de bahías, rocas, granos de arena, y así hasta niveles subatómicos. Esto nos va a ocurrir en toda medición, y como no tenemos a mano la costa de Bretaña, podríamos experimentar con cualquier cosa.

El artículo es importante porque muestra el pensamiento temprano de Mandelbrot sobre los fractales y es un ejemplo de la vinculación de las matemáticas con las formas naturales.

Es decir, que ante la pregunta de cuánto mide la costa de Gran Bretaña podéis responder lo que queráis, porque mide tanto como queráis precisar vuestra medición. Mide infinito.

Una investigación conjunta, en la que participa la Universidad Carlos III de Madrid, ha desarrollado las leyes que gobiernan cómo se desarrollan en el tiempo ciertos patrones naturales complejos, como los de la coliflor. El estudio se ha publicado en el New Journal of Physics.

Vía | UC3M

Un fractal es un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas. Es decir, por mucho que nos acerquemos o alejemos del objeto, observaremos siempre la misma estructura. De hecho, somos incapaces de afirmar a qué distancia nos encontramos del objecto, ya que siempre lo veremos de la misma forma.

El termino fractal (del Latín fractus) fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. En la naturaleza encontramos muchas estructuras con geometría fractal, como por ejemplo, en el romanescu

Existen muchísimos fractales, ya que como veremos, son muy fáciles de construir. Los ejemplos más populares son el conjunto “Mandelbrot” o el triángulo “Sierpinski”. Este último se realiza de una forma muy sencilla: dibujamos un triángulo grande, colocamos otros tres triángulos en su interior a partir de sus esquinas, repetimos el último paso.

Otro sencillo ejemplo lo constituye la alfombra de Sierpinski:

Como puede verse, la estrategia más sencilla para conseguir un fractal, es coger una figura y reproducirla en versiones más pequeñas. Sin embargo, se pueden conseguir objetos muchos más complejos.

El conjunto de Mandelbrot fue propuesto en los años setenta, pero no fue hasta una década más tarde cuando pudo representarse gráficamente con un ordenador. Este conjunto se define a partir de un número “c” cualquiera, que define la siguiente sucesión:

Para diferentes valores de “c”, obtenemos diferentes sucesiones. Si la sucesión es acotada, “c” pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido. Por ejemplo, para c=1 se obtiene: 0, 1, 2, 5, 26, 677, etc.(0, 1=0²+1, 2=1²+1, 5=2²+1, etc.) Para c=-0.5 obtenemos 0, -0.5, -0.25, -0.4375, -0.30859375, -0.404769897, etc. De esta forma, c=-0.5 pertenece al conjunto y c=1 no.

Si además consideramos números complejos, obtenemos la siguiente figura:

Otro fractal interesante es ‘La Curva del Dragon‘

A continuación os dejo un interesante vídeo sobre fractales y una interesante web de matemáticas aplicadas:

Más información | http://vihart.com/doodling
Imágenes obtenidas de la Wikipedia

En los países de sol y playa, la primera línea de mar, como comprenderéis, está muy cotizada. El problema es que la primera línea de mar es limitada: la longitud de la costa. Luego ya hay que empezar a vender viviendas en segunda línea de mar, o sea, más baratas.

Pero ¿cómo podríamos hacer más lucrativa la venta de viviendas en primera línea de mar sin estar tan limitados por la línea de costa natural? Dubai ha encontrado la solución: la geometría fractal.

A partir de 2002 se han ido creando zonas estrechas sobre el mar que permitían alargar ad infinitud (por el momento 120 km) la línea de costa para poder edificar mucho más. El proyecto se llama The Palm. Comenzó la construcción de dos islas artificiales gemelas con un coste de 1.200 millones de euros, la primera llamada The Palm, Jumeirah y la otra The Palm, Jebal Ali.

Tras el diseño fractal, se partió de una figura que genera la siguiente figura iterativamente, dominando en ellas la autosemejanza: una parte es semejante en forma al total.

La forma seguida ha sido una forma de palmera, que genera multitud de islas conectadas por puentes.

Vía | Geometría para turistas de Claudi Alsina

Hasta hace poco no sabía mucho de Jackson Pollock. Que era norteamericano y que murió a los 44 años a causa de un accidente de tráfico. Que su pintura más famosa , # 5 , 1948 tiene el récord de subasta al venderse en 140 millones de dólares. Que Ed Harris rodó un biopic sobre él. Que básicamente sus pinturas consistían en manchar el lienzo de forma anárquica.

Pero lo cierto es que las pinturas de Jackson Pollock tienen una fuerte relación con las matemáticas. Concretamente con los fractales.

A mediados de 1940, Pollock creó el expresionismo abstracto. Para ello usaba grandes lienzos en los que aplicaba su técnica del drip and splash o goteo y rociadura. Para muchos no dejan de ser manchas.

Sin embargo, ha habido ocasiones en los que se han logrado detectar falsificaciones de los cuadros de Pollock. Es decir, que allí donde sólo vemos manchas, parece que Pollock conseguía crear cierta seña de identidad.

R. Taylor, A. Micolich y D. Jonas son unos científicos australianos que publicaron en 1999 un artículo en Nature donde anunciaban que los cuadros de Pollock de la época “drip and splash” tenían estructuras fractales, generadas tanto por como escurría la pintura (diferencias en la anchura de las gotas y regueros) como por la configuración geométrica que seguían los regueros que derramaba el pintor en sus vuelos alrededor del cuadro.

Los científicos llegaron a medir la dimensión fractal de esas estructuras. Sus cálculos mostraban que esa dimensión empezó a tomar valores mayores que 1 (es decir, su pintura empezó de verdad a ser fractal) a mediados de la década de los 1940; a partir de entonces fue en aumento constante y progresivo hasta alcanzar en 1952 valores cercanos al 1,7 para la dimensión de los patrones caóticos generados por el escurrir de la pintura, y 1,9 para la dimensión de las configuraciones caóticas debidas al movimiento de Pollock.

El patrón de crecimiento de esos números era tan uniforme, tanta era su regularidad en las obras analizadas, que podía ser usado para determinar la autenticidad de las obras de Pollock, e incluso para datarlas.

Es imposible que Pollock supiera lo que estaba haciendo en realidad o que pudiera controlar las dimensiones fractales. Se guiaba por la intuición, por su estilo. Si queréis ver la forma que tenía de trabajar, no os perdáis la película Pollock. Allí veréis que Pollock tocaba y retocaba una y otra vez sus cuadros, añadía gotas por aquí y regueros por allá en un proceso que podía llevarle meses hasta dar un cuadro por acabado.

Pollock descartaba muchos de sus cuadros o recortaba los bordes de otros, cuando en esos puntos la pintura no era tan compleja como él quería. Lo que medían los científicos australianos, pues, no sólo eran las dimensiones fractales de los cuadros de Pollock sino el propio estilo de Pollock. Porque fue el primer artista de arte fractal

Vía | Pasiones, piojos, dioses... y matemáticas, de Antonio J. Durán