Si os apetece uno de los problemas del cuaderno escocés que puede definirse claramente como ininteligible, entonces vayamos al problema 101. Lo propuso Stanislaw Ulam. Dice lo siguiente:

Un grupo U de permutaciones de la sucesión de enteros es llamado infinitamente transitivo si tiene la siguiente propiedad: si A y B son dos conjuntos de enteros, ambos infinitos así como sus complementarios con respecto a todos los enteros, entonces existe en el grupo U un elemento f (permutación) tal que f(A)=B. ¿Tiene que ser un grupo U infinitamente transitivo necesariamente idéntico al grupo S de todas las permutaciones?

La respuesta, por si tenéis interés, es negativa.

Poco después de que se inaugurara el Cuaderno escocés, se dio la circunstancia de que Sanislaw Ulam tuvo que viajar a Estados Unidos requerido por John von Neumann. Steinhaus, pues, le envió una transcripción del cuaderno desde Polonia en 1956, que Ulam tradujo al inglés e hizo imprimir en una pequeña tirada de algunos centenares de copias pagadas de su propio bolsillo. Las copias fueron distribuidas por su lugar de trabajo, el Laboratorio Nuclear de Los Álamos.

Pero una de estas copias llegó también al Congreso Internacional de Matemáticos que se celebró en Edimburgo en 1958 (los escoceses quedaron un poco defraudados al saber que el nombre del cuaderno no hacía referencia a Escocia sino a un café polaco situado el Lwów, donde se reunían los tertulianos matemáticos: Café Escocés (Kawiarnia Szkocka).

El cuaderno, poco a poco, fue adquiriendo una aureola mitológica a medida que se iba distribuyendo privadamente por universidades de aquí y de allá, hasta que una más cuidada edición, que incluía artículos de algunos protagonistas de la historia, estuvo comercialmente disponible tras el congreso dedicado en Texas (1979) a los problemas matemáticos del Cuaderno escocés.

Problemas tan complejos que todavía hoy siguen siendo irresolubles por los matemáticos contemporáneos. Si queréis echar un vistazo, aquí tenéis el PDF del cuaderno completo.

Los cuadernos son objetos que siempre han tenido un gran significado para el arte o las letras. Ahí tenemos el ejemplo de las moleskines, los míticos cuadernos de notas de tapas negras que escritores y pintores usaron casi como fetiche a principios del siglo XX.

Pero hoy vamos a hablar de un cuaderno único. Un cuaderno que influyó en el avance de las matemáticas. El Cuaderno escocés. Un cuaderno que ha acabado siendo uno de los más célebres documentos matemáticos de la historia.

Existen varias versiones que explican el nacimiento de este singular cuaderno. Una de ellas indica que fue fruto de las anotaciones de los problemas que surgían en las discusiones matemáticas de un café polaco lideradas por Stefan Banach. Hasta la adquisición de este cuaderno, aquellos matemáticos simplemente anotaban las cosas en el mármol de las mesas, que tarde o temprano quedaban borradas cuando el camarero las limpiaba con su paño húmedo.

Otra versión dice que el dueño de aquel café, harto de ver sus mesas garabateadas por aquella caterva de matemáticos, se quejó a la esposa de Banach, que acabó por comprarle por dos zlotys y medio un cuaderno al marido y a sus amigos.

La cuestión es que al presentarse en el café con el cuaderno, empezó la tertulia de siempre y acabó anotando de su puño y letra el primer problema matemático que se debatió, que él mismo propuso. Era el 17 de julio de 1935. Y éste sólo sería el primero de los 197 problemas que finalmente compondrían este cuaderno de incalculable valor.

Los problemas que se enuncian en este cuaderno no son aptos para personas no iniciadas en las matemáticas. En casi todos ellos se precisa, tan sólo para entender lo que se pregunta, unos conocimientos bastante avanzados. Para la mayoría de los mortales, pues, aquel cuaderno sólo es un galimatías.

Sin embargo, para saciar vuestra curiosidad, voy a mencionaros alguno que sí que puede entenderse. Es el problema número 59 y fue propuesto por el tertuliano Stanislaw Ruziewicz. Dice lo siguiente:

¿Se puede descomponer un cuadrado en un número finito de cuadrados más pequeños todos ellos diferentes?

Lo cierto es que es posible hacerlo. Pero el problema es extremadamente complejo. Por ejemplo, en 1978 se probó que el mínimo número de cuadrados distintos en que se puede descomponer un cuadrado es 21. Entonces sólo a una única posibilidad de hacer la descomposición, que es la siguiente (el número del cuadrado indica la medida de su lado):

Vía | Pasiones, piojos, dioses... y matemáticas, de Antonio J. Durán

Uno se pregunta por qué un matemático puede haber decidido un día que se va a emplear como amamantador de piojos. La respuesta es bien sencilla: durante la ocupación nazi, estar empleado en el instituto de Weigl condecía cierto grado de protección contra los arrestos arbitrarios y las deportaciones a los campos de concentración.

Y es que la Gestapo prefería no tratar demasiado con personas que accidentalmente pudieran contagiarles el tifus.

Los empleados como alimentadores de piojos, pues, gozaban de cierto rango y todos ellos llevaban una identificación bien visible emitida por la Oficina del Comandante en Jefe del Ejército Alemán. Hecha la ley, hecha la traimpa, Weigl salvaba así a muchos profesores de la universidad e intelectuales de las garras nazis: empleándolos como alimentadores de piojos.

Como alimentar a los piojos ocupaba apenas una hora al día, el resto del tiempo, la universidad de Lwów podía seguir adelante, escamoteando la pretensión nazi de convertir Polonia en una nación de esclavos en la que no existiera la enseñanza universitaria. De este modo, entre piojo y piojo, se organizaban cursos universitarios clandestinos.

Pero ¿cómo funcionaba el proceso para alimentar a los piojos?

Tal y como lo refiere Antonio J. Durán en Pasiones, piojos, dioses… y matemáticas:

Consistía en pequeñas cajas de madera (4 x 7 x 1 cm.) selladas con parafina para evitar la fuga de los insectos; una de sus caras, protegida por una puertecita, era de una malla finísima que sólo permitía a los piojos asomar la cabeza para alimentarse. En estas cajas se depositaban entre 400 y 800 larvas, junto con unos hilos de lana para que depositaran los huevos cuando crecieran. Entre 7 y 11 de estas cajas se colocaban, sujetas con una banda elástica y con la puertecita abierta, sobre las piernas de los alimentadores; según Szybalski: “Los hombres se solían colocar las cajitas en sus pantorrillas, aunque las mujeres preferían colocárselas en los muslos para ocultar después las marcas rojizas bajo la falda. Después de una sesión alimenticia de 30 a 45 minutos, no sólo los intestinos del piojo sino su cuerpo entero parecía un balón, puesto que cada insecto ingiere una cantidad de sangre igual a su peso".

Es decir, que gracias a que muchos profesores e intelectuales permitían que un puñado de piojos se les adhiriera a la pantorrilla para chuparles la sangre, la ciencia, el pensamiento y, por supuesto, las matemáticas de Banach, pudieron seguir adelante en una Polonia asediada por la censura.

O dicho de modo más poético: se dejaban chupar la sangre para que nadie les chupara la mente. Y gracias a ello, hoy podemos disfrutar de la aportación intelectual del matemático Stefan Banach, incluida la paradoja de Banach-Tarski.

Los piojos se alimentan de sangre humana. Así que una oferta de trabajo consistente en solicitar a alguien que sirva para alimentador de piojos es, cuando menos, macabra. Algo así como presentarse en el castillo de Drácula con la misma predisposición que uno acude a donar sangre.

Pero el trabajo existe. Y tiene que ver con la Segunda Guerra Mundial y con las matemáticas.

Pero, antes que nada, empecemos por conocer un poco más a los piojos. Estos bichitos que tan buenos ratos nos han hecho pasar de niños en el colegio (¿recordáis lo mal que olía la colonia para piojos o la estigmatización que uno sufría cuando corría la voz de que estabas contaminado?), son parásitos exclusivos del hombre.

Charles Nicolle, de Instituto Pasteur de París, descubrió en 1909 que los piojos transmiten el agente patógeno del tifus. La alta mortalidad de una de sus variantes, el tabardillo o tifus exantemático, ha sido una de las pesadillas más dantescas de la humanidad. Sobre todo entre los ejércitos, debido a la falta de higiene. Los piojos, tan diminutos, a veces diezmaban a más ejércitos que la propia artillería enemiga. Basta con echar un vistazo a la conquista de Granada, la Atenas de Pericles, la retirada de los ejércitos napoleónicos de Rusia o las dos guerras mundiales del siglo XX.

Ahora saltemos hasta principios del siglo XX, a la universidad de Lwów, en Polonia. Allí imparte clases de biología un tal Rudolf Weigl. También tenía a cargo un laboratorio donde logró desarrollar, poco antes de que estallara la Segunda Guerra Mundial, una vacuna eficaz contra el tifus.

La importancia de su investigación era tan respetada por todos que Weigl gozaba de unos privilegios sorprendentes para ser polaco. Por ejemplo, durante la ocupación alemana, los nazis dieron permiso a Weigl para que tuviera una radio. Este hecho cobra mayor importancia cuando sabemos que si se descubría a alguien con una radio éste era condenado a muerte.

Su vacuna fue famosísima en el gueto de Varsovia. Wladyslaw Szpilman, cuya historia de supervivencia en el gueto convirtió Roman Polansky en la película El pianista, contó que el doctor Weigl era en el gueto tan famoso como Hitler. Aunque por razones diametralmente opuestas, claro.

Pero para desarrollar tan importante vacuna, Weigl tenía unas necesidades propias de un vampiro famélico. Para criar los piojos necesarios para sus experimentos, requería de sangre humana. Así que, desde el otoño de 1941 hasta el final de la ocupación alemana en julio de 1944, una persona muy especial se presentó en la laboratorio de Weigl para que los piojos se alimentaran de él.

Fue Stefan Banach, un matemático polaco, autor entre otras cosas de la paradoja de Banach-Tarski: la posibilidad de fabricar un rompecabezas tridimensional de un total de ocho piezas, las cuales, combinadas de una determinada manera, formarían una esfera completa y rellena (sin agujeros) y, combinadas de otra manera, formarían dos esferas rellenas (sin agujeros) del mismo radio que la primera. Es decir, una paradoja que contradice nuestras nociones de geometría básica.

Pero quizá su mayor aportación al hombre, lejos del ámbito de las matemáticas, fue dejarse comer por los piojos. Una tarea tan esperpéntica que requiere un post para ella sola. Mañana desvelaremos sus secretos.

Vía | Pasiones, piojos, dioses... y matemáticas, de Antonio J. Durán