Science Quiz, pequeñas píldoras audiovisuales a modo de clip en las que investigadores de la universidad, del Consejo Superior de Investigaciones Científicas y de la Agencia Espacial Europea, es el nuevo espacio de divulgación científica de la UPVTV, la televisión de la Universidad Politécnica de Valencia. En esta primera temporada, el programa se centra en dos áreas: las telecomunicaciones y la biotecnología.

Como podéis ver en el vídeo que encabeza esta entrada, Science Quiz está coproducido por UPVTV, el Centro de Transferencia de Tecnología de la Universitat Politècnica de València y Medianomedia y subvencionado por FECYT, del Ministerio de Economía y Competitividad.

Vía | Sinc

Esta mañana limpiando la casa me he encontrado con este particular “nido“ en el marco de la ventana, ¿a qué animal le corresponde?

Pista: Está realizado de barro.

Antes que nada agradecer vuestra participación.

La solución era una avispa del género Sceliphron, conocido también por avispas alfareras. Para averiguar la especie exacta necesitaríamos el “cuerpo del delito“ y en los estuches sólo quedan unas pequeñas arañitas. Me puedo arriesgar a decir que, debido al aumento de la población en esta zona de Europa, se trata de Sceliphron curvatum, como bien señalaba Alfonso M.

Efectivamente no se trataba de un nido de ave (por esa razón estaba entre comillas) sino del estuche de un insecto, se que la imagen podía confundir pero entended que se trata del interior de una ventana (de ahí que no me dí cuenta hasta que fui a limpiar las ventanas exhaustivamente), obviamente la foto está hecha con zoom.

Volviendo al género de este insecto, Sceliphron, se caracterizan por este tipo de construcción que realiza la hembra antes de la puesta, construcción que puede tardar en hacer un único día.

Tras la puesta de los huevos, antes de sellar, mamá avispa mete arañitas para que se alimente la larva antes de la metamorfosis.

Sabed que en los insectos con metamorfosis completa (holometabolismo), como es el caso, existen varios estadios de desarrollo: huevo, larva, pupa e imago (adulto) netamente diferenciados.

Mientras que en otros casos las diferencias son discretas como ocurre en los insectos hemimetábolos (chinches, grillos, saltamontes), donde sólo faltan las alas y el desarrollo de los genitales en los estadios juveniles, a los que se llama entonces ninfas.

Por lo que la oruga es la larva de las mariposas, no es otra especie.

El género Sceliphron no es para nada agresivo (si no son molestados). Son considerados beneficiosos debido a su control de la población de arañas, aunque las propias arañas puedan ser también beneficiosas en el control de otras plagas.

Sin duda una especie sorprendente, ¿no creéis?

He aquí la respuesta a la paradoja del cumpleaños. Recordemos brevemente en qué consistía el problema: ¿Verdadero o falso? En una reunión de 25 personas es bastante probable que dos personas coincidan en su fecha de cumpleaños. Concretamente: es más probable que la posibilidad contraria (que nadie coincida). Muchos habéis dado con el enfoque adecuado, aunque los números hayan variado algo de unos a otros. El error más extendido es haber interpretado la pregunta como la probabilidad de que alguien cumpla el mismo día que uno mismo, y no como la probabilidad de que dos cualesquiera coincidan en su fecha de nacimiento. La respuesta más completa y diría yo que inmejorable, es la que ha dado vicioso en su comentario:

”[...] La probabilidad de que, entre 25 personas, haya 2 con la misma fecha de cumpleaños es difícil de calcular. Es más sencillo calcular el caso contrario, que no loas haya, y restar el resultado a 1 (o a 100, si hablamos de porcentajes). Desechando los problemas que acarrearía tener en cuenta los años bisiestos, o la presencia de gemelos o mellizos, tomada una persona cualquiera, la siguiente tedrá una probabilidad de 364/365 de no coincidir con la primera (364 días de 365, no coinciden con el cumpleaños de la primera). Por la misma razón, a la siguiente persona le quedan 363 días para no coincidir, o sea, una probabilidad de 363/365.

Para 25 personas, habría que multiplicar cada una de sus probabilidades, es decir:

(364/365)(363/365)*(362/365)*…[(365-25+1)/365]Puesto en números factoriales, nos queda 365!/[365^n(365-n)!], siendo n=25.

El resultado es, aproximadamente, 0,4313 (lo he hallado con la calculadora científica de Windows, espero no haberme equivocado). O sea, que hay un 43,13 % de posibilidades de que, entre 25 personas, no haya dos con la misma fecha de cumpleaños. Por tanto, la probabilidad de que sí haya dos personas coincidentes en su cumpleaños es de 56,87% y, por tanto, el enunciado del problema es correcto. En cambio, si yo entro en una habitación con 24 personas, la probabilidad de que halle una que tenga mi misma fecha de nacimiento que yo es sólo de 1-(364/365)^24, es decir, 0,0637, o un 6,37%.”

Poco se puede añadir a una respuesta tan completa y bien explicada. Felicidades a los que distéis con la solución ¡y ánimo para todos con los siguientes quizs!

Plantearemos ahora una cuestión de probabilística, que quizá se pueda resolver con la experiencia personal de cada uno o requiera hacer algún cálculo mental.

¿Verdadero o falso?

En una reunión de 25 personas es bastante probable que dos personas coincidan en su fecha de cumpleaños. Concretamente: es más probable que la posibilidad contraria (que nadie coincida).

Os animamos a plantear vuestras sugerencias y posibles soluciones a la pregunta planteada. Quizá también podáis aportar datos reales al respecto (¿ocurre esto entre vuestros compañeros de trabajo? ¿íbais a clase con alguien que cumpliera el mismo día que vosotros? ¿os parecería sorprendente?).

Aquí se planteará la solución al problema de los Infinitos, teniendo en cuenta que ya hubo otro pequeño artículo con algunas pistas. Ya se vio que los naturales (conjunto infinito de números) son tantos cuanto los enteros, los pares o los impares. Ahora proseguiremos con los siguientes conjuntos: los Racionales y los Reales.

El conjunto a estudiar es el de los Racionales (

). A primera vista parecería sorprendente que este conjunto pudiera ser puesto en relación con los naturales. Simplemente basta pensar que entre 0 y 1 hay infinitos (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 2/3, 2/5, ….) pero también hay infinitos entre 0 y 0,1 o entre 0 y 0,001. De todas formas Cantor encontró una manera de relacionarlos y demostrar que “son la misma cantidad”.

Se puede hacer una tabla como la siguiente (click para agrandar):

y comenzar a contar. Si se barriera una fila (o una columna) no se acabaría nunca, ya que cada fila (y cada columna) son infinitamente largas, nunca se pasaría a la siguiente. Entonces el secreto está en contar en diagonal, como se puede ver en la figura; de esta manera se obtiene que cada número racional es barrido y por ende se le puede asignar un número natural correspondiente. El método es bastante sencillo al igual que riguroso. Así tenemos que los primeros 3 conjuntos son numerables es decir que se pueden poner en relación 1 a 1 con los naturales. Veamos qué pasa entonces con los Reales.

Para trabajar con los Reales se usa una técnica que se llama Reducción al absurdo; generalmente se plantea una hipótesis y mediante deducciones lógicas de principios ya demostrados o de axiomas se deduce la veracidad de la afirmación. Por el contrario se podría plantear la anti-hipótesis y observar a qué conclusiones se llega. Si se llega a un absurdo quiere decir que la anti-hipótesis es falsa, por lo que la hipótesis es verdadera. Veamos eso en acción:

Supongamos que tenemos todos los números entre el 0 y el 1. Los escribimos en una lista, como se puede ver más abajo (a forma de ejemplificación. ) r₁ = 0. 5 1 0 5 1 1 0…
r₂ = 0. 4 1 3 2 0 4 3…
r₃ = 0. 8 2 4 5 0 2 6…
r₄ = 0. 2 3 3 0 1 2 6…
r₅ = 0. 4 1 0 7 2 4 6…
r₆ = 0. 9 9 3 7 8 3 8…
r₇ = 0. 0 1 0 5 1 3 5…

Ahora supongamos que se pueden poner en relación 1 a 1 con los naturales, eso quiere decir que al primero le asignamos un 1, al segundo un 2, etc. Ahora es cuando llegaremos a un absurdo: podemos tomar de cada número de la lista y formar un nuevo número, de forma tal que el primer dígito sea diferente del primer dígito del número 1, el segundo diferente del segundo del número 2, etc. (números en negrita.) De esa forma construimos un número que no estaba en la lista, porque es diferente del primero, del segundo, del tercero… Pero que es parte de los números entre 0 y 1. Ahora, esto es un absurdo porque habíamos dicho que teníamos todos los números entre 0 y 1; este absurdo surge de suponer que se pueden poner en relación “1 a 1″ con los naturales, por lo que debemos concluir que los números reales “son más” que los naturales (y por ende que los enteros y los racionales también).

Se puede demostrar que existen conjuntos más grandes todavía que los reales, y más sorprendentemente, que no existen conjuntos entre los naturales y los reales. El desarrollo de este tipo de matemática llevó a grandes problemas y paradojas en la teoría de conjuntos que hasta entrado el siglo XX no pudieron ser resueltos.

Esto nos muestra que efectivamente existen infinitos más grandes que otros. En matemática es usual asignarle un nombre (o un símbolo) a estos tipos de infinitos; para los primeros (naturales, etc.) se usa el

mientras que para los reales se usa el

y se lo llama de cardinalidad de un conjunto; existen también

,

, etc. que indican conjuntos con una cardinalidad aún mayor. Estos números son conocidos como números transfinitos, es decir un número mayor que cualquier número natural y la idea fue introducida originalmente por Georg Cantor, el matemático que dio impulso a este tipo de razonamientos a principios del siglo XIX.

La próxima vez que se piense en infinitos, entonces, se deberá distinguir qué tipo de infinito es el que estamos imaginando.

En los comentarios que se fueron dejando en el post en el que se plantea la pregunta de si existen infinitos más grandes que otros, encontré un tema recurrente que es el de que la parte siempre tiene que tener menos elementos que el todo; Esta concepción fue radicalmente modificada en el siglo XIX, pero había permanecido en la mente de las personas desde los griegos.

Es interesante estudiar algunas propiedades de los números, especialmente cuando su cantidad es infinita: La idea de conjunto es bastante simple: se trata de objetos que se pueden colocar juntos, como dentro de una bolsa, y que son distinguibles uno del otro, aunque sea intelectualmente. Entonces uno puede tener un conjunto de personas, por ejemplo, o un conjunto de números.

En particular interesan los conjuntos de números y dentro de estos se tienen algunos más relevantes:

• Números Naturales, representados por la letra

  , formados por 1, 2, 3, 4, …

• Números Enteros, representados por la letra

  , que incluyen a los naturales y agregan los negativos y el 0: … , -3, -2, -1, 0, 1, 2, …

• Números Racionales, representados por la letra

  , que incluyen a los anteriores y agregan todos los que se pueden escribir como una división: -4/5, 3/8, 1, 2, 8/3, 9/5, … Es importante destacar que cualquier número con coma, que presente una cierta periodicidad, por ejemplo 0,333333… 0,142857142857… pueden ser escritos en forma de división (1/3 y 1/7, en los ejemplos anteriores.)

• Números Reales, representados por la letra

  , que incluyen a los anteriores y agregan todos los demás, por ejemplo

  ,

  , etc. etc.

Como se puede ver, cada uno de los conjuntos de arriba es infinito, es decir que no puedo decir cuántos elementos tiene. Si alguien me dice que tal conjunto tiene n elementos, y me muestra una lista, yo siempre voy a poder encontrar un elemento "n+1". Es interesante entonces ver cómo se trabaja con conjuntos que son infinitos; existe una historia conocida como “Hotel de Hilbert” que cuenta lo siguiente:

"Había un hotel que tenía infinitas habitaciones. Un día llega un nuevo huésped para alojarse allí, pero el conserje le dice que tenía mala suerte, que estaban todas llenas. El huésped, indignado llama al gerente, y le pregunta cómo era posible en un hotel con infinitas habitaciones. El gerente le da la razón, pero dice que no puede hacer nada, entonces el huésped responde rápidamente: ‘ya se lo que se puede hacer; al que esté en la habitación 1 lo manda a la habitación 2, al de la habitación 2 a la 3 y así sucesivamente, entonces la habitación 1 quedará libre para mi.’ El gerente encontró maravillosa esta solución y así lo hizo. "Algunos días después llega otro huésped y pide de alojarse, a lo que le responden que el hotel estaba lleno, pero que no se preocupara, que sabían cómo solucionarlo. Entonces este huésped dice que había un problema, que él no estaba solo, sino con un grupo de amigos… y que era un grupo infinito. El gerente, otra vez consternado no sabía qué hacer, pero el huésped, también muy hábil, le dice que no se preocupe, que mande al de la habitación 1 a la 2, al de la 2 a la 4, al de la 3 a la 6 y así sucesivamente. De esa forma todas las habitaciones con números impares quedarían libres para sus infinitos amigos."

Esta bonita historia, que si bien parece tirada de los pelos está mostrando 2 propiedades muy importantes de los conjuntos infinitos. Primero, que al agregar un elemento al conjunto infinito (primera parte de la historia) el infinito no se modifica. El hotel sigue siendo el mismo y con la misma cantidad de habitaciones. Lo mismo habría sucedido si se agregaban 10, 20, 30, … elementos (bastaba mandar al huésped de la habitación 1 a la 11, 21, 31, etc.) La segunda parte muestra que agregar infinitos elementos al conjunto tampoco modifica la cantidad total. Al mismo tiempo muestra algo muy peculiar, y es que la cantidad de habitaciones pares (o impares) en el hotel es la misma que la cantidad de habitaciones totales. En general uno estaría tentado a pensar que la parte es siempre menor que el todo, pero para un conjunto infinito esto estaría fallando. Es de aquí de donde surgieron las sospechas de los matemáticos, que llevaron a una teoría sobre los infinitos y a un desarrollo de la matemática verdaderamente sorprendente.

Algo que estamos muy acostumbrados a hacer es a contar. Cuando uno va al supermercado, por ejemplo, y compra 5 manzanas, cómo hizo para saber que eran 5? Simplemente colocó a cada una de las manzanas al lado de un número natural (en lenguaje técnico hizo una biyección entre los elementos de dos conjuntos) y se fijó cuál era el mayor. Este mismo método para contar lo podemos trasladar a conjuntos infinitos. Es decir que lo que intentaremos hacer es construir una relación entre los números naturales y los demás, demostrando de esa forma que hay tantos naturales cuanto enteros, etc. etc.

Es fácil ver (en el ejemplo del hotel) que hay tantos naturales como naturales pares, o naturales impares. Basta a cada natural n asignarle el número 2n+1 o 2n-1. De esa forma no quedará ni natural ni par (o impar) libre, cada uno estará ligado a otro. Con los enteros es el mismo caso, ya que basta ordenarlos de una manera inteligente para que se los pueda “contar”, por ejemplo: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …. De esa forma también podremos asignarle a cada natural un número entero y viceversa.

Por esto se puede decir que generar una biyección es la forma de controlar si ambos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos, el mismo infinito. El siguiente paso sería ver si de la lista de conjuntos de números de arriba (o alguno que se les pueda ocurrir), alguno tiene más elementos que otro, así se habrá probado que efectivamente no todos los infinitos son iguales.

La semana que viene vendrá la resolución completa, que por cierto ya algunas personas mencionaron en los comentarios, sólo que sin explicar demasiado.

Actualización 11/06/2008: Se encuentra disponible la solución.

Es una pregunta simple: ¿Existen infinitos más grandes que otros?

Estas cuestiones despertaron el interés de grandes mentes, desde Arquímedes hasta Russel. Lo que os propongo es reflexionar un poco sobre la posibilidad de que existe efectivamente un infinito "mayor" o "menor" que otro.

La respuesta será dada la próxima semana.

Actualización 6 de Junio: está disponible una "pequeña" ayuda en este post. La respuesta definitiva será dada la semana que viene.

Actualización 11 de Junio: Se encuentra disponible la solución.