Llevábamos mucho tiempo sin un nuevo post en la serie sobre números primos, pero hoy por fin acaba la espera. En entregas anteriores hemos hablado fundamentalmente de distintos tipos de números primos y conjeturas que hablan sobre ellos. Hoy daremos una pequeña vuelta de tuerca y jugaremos un poco con los números primos y los números complejos. En concreto, hablaremos de los primos gaussianos.

Como sabemos, los números complejos son del tipo x + yi, donde x (la “parte real”) e y (la “parte imaginaria”) son números reales, mientras que i es la llamada “unidad imaginaria”, es decir, la raíz cuadrada de -1. Todas las ecuaciones algebraicas tienen solución en los números complejos, cosa que no siempre sucede con los reales (por ejemplo, la ecuación x² = -1 no tiene solución real, pero tiene dos soluciones complejas: i y -i).

Los enteros de Gauss (o gaussianos) son un subconjunto particular de los complejos, donde tanto x como y son enteros. Por ejemplo, 5 + 3i es un entero de Gauss. Por simplificar, llamaremos Z a dicho conjunto. Los “elementos primos” de Z son todos aquellos que no se puedan factorizar (descomponer) en otros elementos de Z. Se les llama también primos gaussianos, pero no debéis confundiros con la terminología. Los llamados primos gaussianos no son (necesariamente) números primos (ya que los números primos son números naturales). Para evitar dudas, los seguiremos denominando elementos primos de Z.

Nuestra pregunta es: ¿son todos los números primos elementos primos de Z? y la respuesta es no, empezando por el primero: 2 = i·(1-i)·(1-i), no es un elemento primo de Z. Otro ejemplo puede ser 5 = (1 + 2i)·(1 – 2i). Pero sí que existen números primos que son elementos primos de Z, como por ejemplo, 7. De hecho, existen infinitos números primos que son además primos gaussianos.

¿Existe alguna forma de predecir qué números primos serán elementos primos de Z? de hecho, sí. Todos los que son de forma 4n + 3 lo son. Por ejemplo, 3, 7, 11, 19, 23, etc. Sin embargo, los que no siguen esa fórmula se pueden descomponer en factores, como sucedía con 2 y 5, y sucede con 13, 17, etc.

Los enteros de Gauss son una mera curiosidad matemática, sin embargo tienen aplicaciones concretas en determinadas demostraciones. En concreto, Gauss los utilizó para demostrar con más facilidad la ley de reciprocidad cuadrática (relacionada con los números primos). También existen unas cuantas cuestiones sin resolver respecto a ellos, por ejemplo, la conjetura de que existan infinitos primos gaussianos de forma 1 + ni, que no ha sido resuelta aún.

Por cierto, la imagen que encabeza el artículo representa todos los primos gaussianos con norma menor de 500. Los números complejos se suelen representar en dos dimensiones como en un sistema de coordenadas, donde el eje de abscisas es la parte real y el eje de ordenadas es la parte imaginaria. La norma de un entero gaussiano, por cierto, es x² + y². El patrón que dibujan los primos gaussianos es bastante curioso, y de hecho ya hay que lo ha usado en motivo textil.

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En la anterior entrega de la serie hablamos de la Conjetura de Goldbach, que asegura que cualquier número par mayor que 2 es la suma de dos primos. Aunque aún no se ha podido demostrar, se cree que es cierta. Existe otra conjetura muy famosa sobre los números primos que es la que presentamos hoy.

Conjetura de los primos gemelos

Recordemos (como vimos en el segundo capítulo) que los primos gemelos son aquellos que están separados tan solo por una unidad. Por ejemplo, 11 y 13. Según la conjetura:

Existen infinitas parejas de primos gemelos

Se trata de un enunciado apócrifo, pero que al igual que la conjetura de Goldbach, ha atraído durante años la atención de muchos de los mejores matemáticos.

Intuitivamente, podríamos estar tentados de pensar que es improbable que haya infinitos primos gemelos. Sabemos que la distribución de los números primos es cada vez menos densa, es decir, los números primos están, en general, cada vez más separados entre sí, de hecho, su separación promedio es ln(N). Por ello el sentido común nos dice que para cantidades elevadas sería prácticamente imposible encontrar dos primos separados por tan solo una unidad.

Y sin embargo, se han encontrado primos gemelos extraordinariamente grandes. A día de hoy, los más grandes que se conocen son 65516468355 · 2³³³³³³ ± 1. Tienen la friolera de 100355 dígitos. En realidad, se cree que la conjetura es correcta y se han dado pasos importantes hacia su demostración.

Teoremas de Brun y de Chen

Viggo Brun consiguió demostrar que la suma de los recíprocos de los primos gemelos (es decir, (1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13) + ...) converge a una determinada constante. Si dicha constante fuese irracional (cosa que aún no sabemos), esto implicaría la certeza de la conjetura.

Paul Erdős demostró que existen infinitos primos que cumplen que p’ – p < c·ln(p), siendo p y p’ dos primos consecutivos. En 2005 se demostró que la constante c puede ser arbitrariamente pequeña. Esto no demuestra necesariamente la conjetura (ya que equivalentemente p puede ser arbitrariamente grande), pero nos deja prácticamente a las puertas.

Reforzando la idea de que la conjetura es cierta, el 2º Teorema de Chen afirma que existen infinitas parejas de números p y p + 2, donde o bien los dos números son primos (es decir, serían primos gemelos) o bien uno de los dos es primo y el otro es semiprimo (es decir, producto de dos números primos).

Constante de los números primos y conjetura de Hardy-Littlewood

Se define la constante de los números primos como

C₂ = Π_p≥3 (1 – ¹/_(p-1)²) = 0,6601618158…

donde p son los números primos (mayores o iguales que 3) y el operador Π representa el producto de infinitos factores.

Pues bien, si llamamos π₂(x) al número de parejas de primos gemelos menores que x, la conjetura de Hardy-Littlewood asegura que π₂(x) ~ 2·C₂·Li(x) (donde la función Li(x) es el logaritmo integral desplazado que ya introdujimos en el cuarto capítulo). Precisamente el gráfico que ilustra la entrada es la representación de π₂(x) hasta x = 100000.

Si esta conjetura fuese cierta, también sería cierta la conjetura de los primos gemelos, ya que π₂(x) podría crecer indefinidamente. Sin embargo, no se ha llegado a demostrar (aunque sí a justificar su resultado).

Como veis, el tema de los números primos sigue dando de sí. Estoy pensando aún de que tratará la novena entrega, que quizá sea la última. No me atrevo a garantizarlo, porque inicialmente la serie iba a tener tres o cuatro posts y ya veis donde estamos ahora :)

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En la anterior entrega de la serie prometíamos habloar de una de las grandes cuestiones sin resolver de las matemáticas, que está relacionada con los números primos. Como quizá muchos hayáis adivinado, me refería a la…

Conjetura de Goldbach

En 1742, el matemático prusiano Christian Goldbach le propuso a su homólogo Euler la siguiente conjetura:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos

Euler contestó que lo consideraba como un teorema completamente cierto, pero que no podía probarlo… ni nadie lo ha logrado hasta hoy. Por eso, sigue siendo una conjetura.

De momento, se ha comprobado empíricamente, com métodos de computación distributiva, que todos los pares menores que 10¹⁸ cumplen la conjetura. Estadísticamente, sería toda una sorpresa que algún número mayor no cumpliera la conjetura, ya que (como se aprecia intuitivamente) cuanto mayor es el número más posibilidades existen de descomponerlo en sumandos primos.

La imagen que ilustra la entrada precisamente muestra la cantidad de posibilidades que tenemos para escribir un número par (entre 4 y 1000) como suma de dos primos. Bajo estas líneas, tenemos la misma imagen pero llegando hasta un millón.

Se aprecia la tendencia de que cuanto más grande es el número más posibilidades existen de escribirlo como suma de dos números primos. De hecho, del Teorema de los Números Primos se puede llegar a la conclusión de que el número de posibles combinaciones de dos sumandos primos para un número par n sería del orden de n / (2·ln²n).

Con estos datos en la mano, sería una rareza estadística de gran magnitud pensar que podemos encontrar un número par mayor que 10¹⁸ que no cumpla la conjetura de Goldbach (comparable a la de los infinitos monos que aporrean aleatoriamente máquinas de escribir, y que consiguen escribir, por completo azar, una obra de Shakespeare). Y sin embargo, aunque la probabilidad sea minúscula, técnicamente es posible hasta que alguien demuestre fehacientemente lo contrario.

Remarcamos un detalle: los dos primos a los que se refiere el teorema no tienen por qué ser necesariamente distintos, puede ser el mismo sumando repetido, por ejemplo 4 = 2+2. Además, 4 es el único caso donde puede aparecer el sumando 2 (¿por qué? os lo dejo como pasatiempo, es muy fácil). De modo que podríamos modificar el teorema del siguiente modo:

Todo número par mayor que 4 puede escribirse como la suma de dos números primos impares

Conjetura débil de Goldbach

Se trata de una hipótesis que Goldbach formuló previamente a la anterior. Asegura que

Cualquier número impar mayor que 7 se puede escribir como la suma de tres números primos impares

Se le llama ‘débil’ porque puede ser demostrada a partir de la original (o ‘fuerte’), pero no al contrario. Si suponemos válida la conjetura fuerte, es muy sencillo: como cualquier número par mayor que 4 puede ser escrito como suma de dos primos impares, sumando el 3 (que es otro primo impar) obtendremos cualquier número impar mayor que 7.

Se ha demostrado matemáticamente que la conjetura débil es cierta para números mayores que 10¹³⁴⁶. Bastaría comprobar todos los impares menores para darla como válida y convertirla en teorema. Sin embargo, este número es demasiado grande como para intentar comprobaciones de fuerza bruta.

Se ha demostrado también que la Hipótesis Generalizada de Riemann implica la conjetura débil de Goldbach. Esto reduciría mucho el campo de búsqueda. Pero la hipótesis de Riemann es precisamente otra de las grandes incógnitas de las matemáticas, tan difícil de demostrar como la de Goldbach.

Demostración de la conjetura de Goldbach

Aunque nadie ha dado con la clave de una demostración universal, son muchos los matemáticos que dedican sus investigaciones a ello, y han alcanzado resultados prometedores. Lo que sí ha quedado demostrado es que la proporción de números que pudieran no cumplir la conjetura tiende a cero a medida que avanzamos hacia cantidades más grandes.

En la literatura, sin embargo, son varias las menciones a matemáticos que creen haber demostrado la conjetura. La novela griega ‘El tío Petros y la conjetura de Goldbach‘ alcanzó fama mundial cuando los editores de la traducción inglesa ofrecieron un millón de dólares a quien pudiese demostrar la conjetura en un plazo de dos años. El premio quedó desierto.

La sorprendente película española ‘La habitación de Fermat‘ está protagonizado por un joven matemático que cree haber demostrado la conjetura pero al que le han robado los papeles donde contenía sus cálculos.

Sin embargo, libros y películas al margen, el problema continúa sin resolver. En el próximo capítulo, continuaremos por esta senda de misterios matemáticos.

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Más información | Herramienta para descomponer números en dos sumandos primos
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Tras una semana de ausencia, llega una nueva entrega de la serie sobre números primos. Hoy hablaremos de algoritmos para extraer, de forma gráfica, todos los números primos por debajo de un umbral dado.

Esta vez no habrá densos teoremas ni fórmulas matemáticas, ya que se trata de dos algoritmos muy sencillos y antiguos: la Criba de Eratóstenes y la Criba de Euler. En algunos textos se usa la expresión ‘tamiz’ o ‘filtro’ en vez de ‘criba’. Viene a ser lo mismo.

La Criba de Eratóstenes

Se trata de un algoritmo eficiente para calcular los primos hasta el orden de 10⁷ (es decir, diez millones). Su filosofía es muy sencilla, se basa en ir tachando los números compuestos hasta que en un momento dado podemos garantizar que todos los que quedan son primos.

¿Cómo? es muy simple. Supongamos que queremos calcular todos los primos menores que N. Hacemos una lista con todos los números naturales entre 2 y N. El primer número de la lista (2) es primo. Tachamos todos los múltiplos de 2 (es decir, todos los pares).

Volvemos al principio: el primer número sobrante (3) es primo. Tachamos todos los múltiplos de 3 (es decir, uno de cada 3 números). Ahora, al llegar al principio de la lista, 4 está ya tachado (es múltiplo de 2). El primer número sobrante que encontramos es el 5, pues también lo marcamos como primo y repetimos el proceso.

¿Cuándo podemos detener el proceso? iremos avanzando al principio de la lista hasta que llege el turno de comprobar un número p que cumpla p² > N.

Es muy sencillo de entender con el ejemplo gráfico que mostramos para calcular todos los primos hasta 120. Tachamos los múltiplos de 2, luego los de 3, los de 5, los de 7, y el siguiente paso sería tachar los múltiplos de 11. Pero 11² = 121, que es mayor que 120. Llegados a este punto ya podemos parar el proceso, todos los números que queden sin tachar son primos.

Este algoritmo es bastante fácil de implementar en los lenguajes de programación habituales y por lo tanto es bastante popular. Sin embargo, como hemos dicho, para umbrales muy grandes deja de ser eficiente y es mejor utilizar otro tipo de métodos de cálculo.

No quiero dejar pasar la ocasión de mencionar que Eratóstenes fue una de las mentes más brillantes de la época clásica. Su mayor hazaña es estimar el radio de la Tierra en el siglo III a. C., obteniendo un resultado con un margen de error inferior al 2% sobre su valor real.

La Criba de Euler

Se trata de una versión refinada de la anterior. No es inmediata desde el punto de vista gráfico, pero sí es más eficiente computacionalmente, ya que cada número compuesto es ‘tachado’ una sola vez.

Por simplificar las cosas supondremos el mismo ejemplo numérico que antes, es decir, N = 120. Empezamos por el primer número de la lista, 2. Lo marcamos como primo. Ahora multiplicamos todos los números de la lista por 2 (vamos obteniendo 4, 6, 8, 10…) hasta que el producto sobrepase N (es decir, hasta llegar a 61·2 = 122). Tachamos todos los números obtenidos.

En nuestra lista nos han quedado 3, 5, 7, 9, etc., hasta 119. Volvemos al principio. Marcamos el 3 como primo y multiplicamos 3 por todos los números que quedan sin tachar (obtenemos 9, 15, 21…), hasta sobrepasar el 120 (es decir, hasta 41·3 = 123). Eliminamos los productos obtenidos.

En este momento ya sólo nos quedan 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc., hasta 119, que no fue eliminado en el paso anterior. Marcamos el 5 como primo y repetimos el proceso (obtenemos 25, 35, 55, 65…) hasta llegar a 25·5 = 125. Quitamos todos estos.

Nuestra lista es ya muy reducida. Repetimos la operación con el 7, obtenemos 49, 77, etc., hasta que llegamos a 19·7 = 133. El siguiente número a comprobar sería 11, pero como 11² = 121, ya hemos terminado el proceso, y todos los supervivientes son primos.

En la siguiente entrega (¿será la última?) hablaremos de un tema fascinante, uno de los mayores misterios sin resolver de las Matemáticas. Y como no podía ser de otra forma, está relacionado con los números primos.

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Nuestro anterior post hablaba de la distribución de los números primos, en concreto, del Teorema de los Números Primos, que nos da una idea de con qué frecuencia aparecen.

Como lo prometido es deuda, en esta ocasión toca hablar de propiedades curiosas de la distribución de los números primos. Y es que, a veces, colocándolos de una forma determinada, pasan cosas sorprendentes.

La espiral de Ulam

El matemático polaco Stanisław Ulam descubrió esta espiral de casualidad. Aburrido durante una conferencia, empezó a organizar los números naturales en una espiral, empezando con el número uno en el centro, tal y como se muestra en la imagen. Después, rodeó con un círculo todos los números primos, y observó un hecho sorprendente.

¿Habéis hecho la prueba? ¿notáis algo especial? tal vez no se aprecie en un primer vistazo, pero si se observa con atención… parece que los números primos aparecen en determinadas diagonales. Y en efecto, podemos ampliar la espiral tanto como queramos y nos daremos cuenta de que los números primos tienden a aparecer con mucha más frecuencia en determinadas diagonales.

Vemos en la imagen una espiral de Ulam de 200×200, donde aparecen representados 40000 números. Los primos están marcados con píxeles negros.

El resultado es de gran trascendencia, y llegó a aparecer en la prestigiosa revista Scientific American. Se puede comprobar que este tipo de diagonales aparecen aunque iniciemos la espiral en un número que no sea 1.

Analizándolo matemáticamente, esto implica que existen muchas constantes a y b tales que los números generados por la fórmula 4n² + an + b son primos en una proporción inusualmente elevada. Este hecho no tiene una explicación matemática aparente.

La espiral de Sacks

Se trata de una variante de la anterior. En lugar de colocar los números formando una ‘espiral cuadrada’ como en el caso de Ulam, se colocan en forma de espiral de Arquímedes. Y sorprendentemente, de nuevo aparecen determinadas líneas con una alta densidad de números primos, incluso de forma más notoria.

Las curvas corresponden a determinados polinomios. Una de ellas contiene los primos de la forma n² + n + 41. Ya en el siglo XVIII el gran Euler se dio cuenta de que ese polinomio ‘generaba’ una cantidad sorprendentemente alta de primos.

Estos curiosos descubrimientos son relativamente recientes. La espiral de Sacks data de 1994 y la de Ulam de 1963. Quién sabe qué otras sorpresas no descubiertas aún nos pueden deparar los números primos.

Por cierto, para todos los que estéis ya aburridos de tanto número primo, la serie ya se está acercando a su fin ;)

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Más información | The Sacks Number Spiral
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Tras el breve paréntesis del puente, retomamos nuestro monográfico sobre los números primos. En la primera entrega mencionábamos una cita de Don Zagier en la que afirma que los números primos muestran una asombrosa regularidad, hay leyes que gobiernan su comportamiento y que ellos obedecen con precisión casi militar.

Esta idea no concuerda muy bien con lo que hemos visto hasta ahora. Los números primos tienen un comportamiento errático, no obedecen a fórmulas matemáticas específicas y su aparición es impredecible. Sin embargo, su distribución sí se ajusta a determinados patrones.

El Teorema de los Números Primos

Este teorema no nos permite adivinar qué números son primos, pero sí nos permite estimar cuántos números primos hay por debajo de cierto número, o en un determinado intervalo. Para ello, definimos la función π(x) = {cantidad de números primos por debajo de x}. Por ejemplo, π(12) = 5, ya que hay cinco primos menores que 12 (2,3,5,7,11).

Pues bien, el teorema asegura que

es decir, la cantidad de primos menores que x es aproximadamente x/ln(x) (ln es el logaritmo neperiano). Dicho en palabras más llanas:

• Para un número natural arbitrario N, la probabilidad de que dicho número sea primo es aproximadamente 1/ln(N). Es decir, cuanto más grande sea el número, menos probable es que sea primo.
• Equivalentemente, esto significa que alrededor de N, la distancia media entre dos números primos será ln(N). Por ejemplo, en torno a 1000, aproximadamente uno de cada siete números es primo, mientras que en torno a 1000000 sería uno de cada 14.
• Otra consecuencia inmediata es que el enésimo número primo p_n será de una magnitud comparable a n·ln(n). (El margen de error absoluto es elevado, pero nos sirve para hacernos idea del tamaño del número).

El genial Carl Friedrich Gauss encontró una aproximación aún más exacta usando la función logaritmo integral desplazado Li(x) en lugar de x/ln(x):

Siendo estrictos desde el punto de vista matemático, el límite sólo implica al cociente y no a la diferencia de π(x) con Li(x) ó x/ln(x). Es decir, la resta π(x) – x/ln(x) no se hace arbitrariamente pequeña a medida que nos acercamos a infinito, de hecho crece indefinidamente. Lo que tiende a cero es el error relativo entre la aproximación y la cantidad real de números primos existente.

La imagen que ilustra el post representa todos los números primos hasta 76800: cada píxel negro en la matriz representa un número primo (están ordenados de izquierda a derecha y de arriba a abajo).

Se observa que la densidad de números primos va disminuyendo a medida que los números se hacen más grandes, pero es un descenso muy paulatino. Esto concuerda con los resultados obtenidos, ya que la función logaritmo crece muy lentamente.

Los teoremas de Betrand y Erdős

Son consecuencia directa del teorema de los números primos. La conjetura del matemático francés Bertrand señalaba que para cualquier número natural n mayor que 1, existe un número primo p que cumple n < p < 2n. La demostración llegaría años más tarde de la mano de Chebyshev.

Traducido a un lenguaje más sencillo: para cualquier número entero mayor que 1, siempre va a existir al menos un número primo que sea mayor que dicho número y menor que el doble de dicho número. Es decir, que siempre hay como mínimo un número primo entre 5 y 10, entre 43 y 86, entre 1000 y 2000, o cualquier otro ejemplo que se nos ocurra, tan grande como queramos.

Por su parte, el húngaro Erdős sostuvo que para cualquier entero positivo k, es posible encontrar un número N que verifique lo siguiente: para todo número natural n > N existen al menos k números primos. entre n y 2n.

Se trata de una proposición más fuerte que la anterior. Implica que podemos encontrar tantos primos como queramos en el intervalo entre un determinado número natural y su doble, siempre que dicho número sea suficientemente grande.

Los teoremas que hemos comentado en el post pueden parecer bastante áridos y poco interesantes desde un punto de vista práctico. Nada más lejos de la realidad. Ya desde la primera entrega comprobamos que los números primos son infinitos. Con estos resultados, comprobamos “cuán infinitos” son, es decir, tenemos una idea de cuál es la densidad de los números primos. Y como ya habíamos predicho, tiene una regularidad matemática sorprendente.

De todas formas, el siguiente post será de nuevo más “informal”, y nos centraremos en algunas propiedades curiosas de la distribución de los números primos.

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Ya en la anterior entrega hablamos de distintos tipos de números primos con determinadas propiedades matemáticas, y hoy seguimos haciéndolo pero desde un punto de vista más informal. En este artículo veremos que los números primos a veces se comportan de una manera muy curiosa… y que algunos matemáticos tienen demasiado tiempo libre ;)

Como nota matemática, y atendiendo a los comentarios del post anterior: las propiedades que veremos a continuación son, en general, sólo válidas usando la base decimal (mientras que las del post anterior eran universales, un primo de Mersenne siempre lo es independientemente de la base utilizada). En otras bases, también pueden existir primos que cumplan las siguientes propiedades, pero serán otros.

‘Omirps’

Se trata de números primos que al darles la vuelta se convierten en otro primo distinto. O por llamarlos de alguna manera, ‘primos reversibles’. Al margen de los primos de una sola cifra, los siguientes en la lista son 13 / 31, 17 / 71 y 37 / 73. El ‘omirp’ más grande que se conoce es 10¹⁰⁰⁰⁶+941992101×10⁴⁹⁹⁹+1, con más de 10.000 cifras.

Primos capicúa

Se trata de números capicúa que además tienen la propiedad de ser primos. A parte de los de una cifra, el más pequeño es 11, los siguientes son 101, 131, 151, 181 y 191. Los primos capicúa no son ‘omirps’. La condición para ser ‘omirp’ es que al darle la vuelta sea otro primo distinto, no el mismo.

Paulo Ribenboim definió en su ‘Nuevo Libro de los Récords de los Números Primos’ (suponemos que con mucho tiempo libre) los llamados ‘primos triplemente capicúa’. Son primos capicúa que tienen n cifras, donde n es un primo capicúa. Además n tiene m cifras, donde m es otro primo capicúa. El ejemplo más pequeño es 10000500001: es primo capicúa, tiene 11 cifras, 11 también es primo capicúa y tiene 2 cifras. Evidentemente 2 también es primo capicúa.

Como anécdota, la palabra capicúa es una de las pocas de la lengua castellana que proceden del catalán, en concreto de la expresión “cap i cua” que significa literalmente “cabeza y cola”.

Primos ‘repunit’

Se trata de números primos que sólo constan del dígito ‘1’ repetido. De ahí su nombre: repunit = repeated unit. El más bajo es 11, el siguiente es 1111111111111111111 y los siguientes ya tienen 23, 317 y 1031 cifras. No puede existir ningún primo formado sólo por un dígito repetido salvo que este dígito sea un ‘1’. En cualquier otro caso, sería divisible por un repunit: Por ejemplo, 77 = 11*7. No se sabe si hay infinitos repunits, aunque se sospecha que sí.

Primos permutables

Son los primos que siguen siendo primos si reordenamos sus digitos, de la forma que sea. Todos los permutables son omirps, pero no todos los omirps son permutables (salvo que tengan menos de 3 cifras). Por ejemplo, 107 es omirp ya que 701 es primo, pero no es permutable, ya que 710 es compuesto. El primo permutable más pequeño de tres cifras es 113, ya que 131 y 311 también son primos. Todos los repunits son permutables, evidentemente.

Existen nueve primos permutables de tres cifras: 113, 131, 199, 311, 337, 373, 733, 919, 991. El siguiente ya tiene ¡18 cifras! y además es un repunit. Se cree que todos los primos permutables de más de tres cifras son repunits, porque de hecho no se conoce ninguno que no lo sea.

Primos truncables

Son los primos que siguen siendo primos si se empiezan a eliminar dígitos por sus extremos. Pueden ser truncables por la derecha, por la izquierda (en este caso no pueden contener ceros) o por ambos lados. Por ejemplo, 3137 es un primo truncable por ambos lados. Por la derecha: 313, 31 y 3 son primos. Por la izquierda: 137, 37 y 7 son primos.

El conjunto de los primos truncables es limitado. El truncable por la izquierda más grande es 357686312646216567629137, por la derecha 73939133 y por ambos lados 739397 (sólo hay 15 primos truncables por los dos lados). Es normal que haya muchos menos primos truncables por la derecha, ya que cada vez que dejamos como último dígito un número par o un ‘5’, sabemos que el número obtenido ya no será primo.

Pimos de Smarandache-Wellin

Son aquellos que están formados por la concatenación consecutiva de los números primos empezando por el menor (es decir, 23571113171923…). Se conocen siete primos de Smardanche-Wellin. los primeros son 2, 23 y 2357. El siguiente tiene 355 cifras y acaba en 719.

Primos diédricos

Ya para el final, mi clasificación favorita y la clara demostración del mucho tiempo libre que tienen algunos matemáticos :). Los primos diédricos son aquellos que, representados en un display de siete segmentos (los típicos números ‘hechos con palotes’ de las calculadoras) siguen siendo primos si damos la vuelta al display o lo reflejamos en un espejo.

Espero que la imagen que ilustra la entrada aclare este concepto. El número 120121 es un primo diédrico porque, al ser representado en siete segmentos resulta que al rotarlo o reflejarlo de todas las formas posibles seguimos obteniendo números primos, en este caso 150151, 121021 y 151051. Otros ejemplos más pequeños son 2, 5, 11, 101 y 181.

En la siguiente entrega ya dejaremos el tema de los diferentes tipos de números primos y nos adentraremos en algo más interesante como es su distribución.

En Genciencia | Los díscolos números primos (I), (II)
Más información | List of prime numbers

Continuamos hablando de números primos. En el post anterior vimos su carácter aleatorio. Aparecen aquí y allá sin que alguien pueda predecir dónde. No hay una fórmula conocida que nos devuelva siempre números primos, y de hecho, se debe verificar computacionalmente si los posibles ‘candidatos’ a número primo realmente lo son.

Sin embargo, hay ciertos números primos que siguen determinadas fórmulas matemáticas. (Ojo, esto no quiere decir que todos los números que siguen dichas fórmulas sean necesariamente primos). En algunas ocasiones, esto implica curiosas propiedades matemáticas, como veremos a continuación.

Primos de Mersenne

Un número de Mersenne es de forma N = 2^p – 1, donde p es primo. No todos los números de Mersenne son primos, de hecho, sólo se conocen 47 primos de Mersenne. Sucede algo interesante: los nueve mayores números primos que se conocen son de Mersenne. ¿Por qué?

Para empezar, sólo podemos encontrar un primo de Mersenne a partir de otro primo. Esto ya reduce sensiblemente nuestro campo de búsqueda. Pero además, la fórmula de los números de Mersenne es muy simple, y esto supone que hay algoritmos de búsqueda relativamente sencillos.

En concreto, el más famoso es el algoritmo de Lucas-Lehmer. N = 2^p – 1 es primo si y sólo si es divisor de S_p-2. Los términos de la sucesión S_j se definen por S_j = S_j-1² – 2, con S₀ = 4.

Existe un interesante proyecto de computación colaborativa, llamado GIMPS (Great Internet Marsenne Prime Search), en la que miles de usuarios de todo el mundo colaboran en la búsqueda de primos de Marsenne instalando un programa en su ordenador. No hace falta el supercomputador más potente del mundo, como intuían algunos de nuestros lectores en la anterior entrada. En este caso, la unión hace la fuerza.

De hecho, los nueve primos más grandes conocidos hasta la fecha han sido gracias a la fundación GIMPS, es decir, gracias a miles de usuarios anónimos cediendo una pequeña parte de la potencia de su ordenador para hacer estos cálculos.

Nos podríamos preguntar cuál es la utilidad real de encontrar números primos cada vez más grandes en lugar de dedicar recursos informáticos a otras cosas. Como bien dijo alguno de vosotros en los comentarios del post anterior, los números primos son muy útiles para cifrar información, y cuanto más grandes, mejor. Si usásemos números compuestos, se podría de hecho descomponer el problema en varios problemas más sencillos y mucho más fáciles de resolver.

Primos de Fermat

Son de la forma N = 2²ⁿ+ 1. Sólo se conocen cinco primos de Fermat: 3, 5, 17, 257 y 65537. Estos números tienen una propiedad geométrica muy curiosa: un polígono regular de n lados se puede construir de forma directa con regla y compas si y sólo si n = 2^k·p, donde k es cualquier número entero no negativo y p es un primo de Fermat. Así que no intentéis buscar un método directo para dibujar el heptágono regular, ya que 7 no cumple la condición.

Primos de Sophie Germain y primos seguros

Un número p es un primo de Sophie Germain si es primo y además N = 2p + 1 también es primo. Por ejemplo, el 11 lo es ya que 11·2 + 1 = 23 es primo. En este caso, al número N (por ejemplo, 23) lo llamaríamos ‘primo seguro’. Este nombre se debe a que dicho tipo de primos es útil en aplicaciones de criptografía y cifrado. Salvo el 5 y el 7, no existe ningún primo seguro que sea además de Mersenne o de Fermat (los primos de Fermat, comparativamente, serían ‘menos seguros’ ya que derivan de una fórmula matemática concreta en la que no intervienen otros números primos).

Primos de Euclides

Son los números de forma p# + 1. El número p# es el llamado primorial de p. Sólo un número primo puede tener primorial. El primorial de p estaría formado por el producto de p por todos los primos menores que él. Por ejemplo: el primorial de 5 sería 5# = 5·3·2 = 30. Si nos fijamos en el número primo 31, resulta que 31 = 30 + 1 = 5# + 1, por tanto 31 es un primo de Euclides.

Estos primos están directamente relacionados con la demostración de la infinitud de los números primos dada por Euclides y que vimos en el primer post sobre números primos.

Primos gemelos

Son parejas de primos que están separados por sólo una unidad. Por ejemplo, 3 y 5, ó 17 y 19. Una de las grandes cuestiones de la teoría de números es precisamente saber si existen infinitas parejas de primos gemelos. Intuitivamente, uno tendería a pensar que la aparición de primos es cada vez menos frecuente a medida que los números se van haciendo mayores, por lo tanto debería ser cada vez más difícil encontrar dos primos separados tan solo por una unidad.

La pregunta es, ¿existe realmente algún momento en el que ya no podamos encontrar primos gemelos? no se sabe, pero la mayoría de hipótesis suponen que existen infinitas parejas de primos gemelos. Aunque esto choque con la intuición, concuerda con las sorprendentes propiedades de la distribución de números primos.

Veremos esto en la cuarta entrega de la serie, pero antes, en el siguiente post, seguiremos viendo más tipos de primos. En este caso, nos acercaremos de un modo informal y veremos números con propiedades curiosas y divertidas.

Imagen | Número de dígitos de los primos de Mersenne conocidos
En Genciencia | Los díscolos números primos (I)

Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de los que les quiero convencer de una forma tan contundente que quede grabada en sus corazones. El primero es que [...] los números primos crecen como malas hierbas entre los números naturales, aparentemente sin obedecer ninguna ley a parte del azar, y nadie puede predecir dónde florecerá el siguiente. El segundo hecho es todavía más sorprendente, ya que implica exactamente lo contrario: los números primos muestran una asombrosa regularidad, hay leyes que gobiernan su comportamiento y que ellos obedecen con precisión casi militar.

Don Zagier.

El estudio de los números primos es uno de los campos que más ha apasionado a los grandes matemáticos de la Historia. De caracter aparentemente impredecible, lo cierto es que los primos obedecen muchas leyes y aparecen en muchos teoremas matemáticos. Sin embargo, sólo con los ordenadores más potentes del mundo se puede seguir prediciendo qué números son primos y cuáles son compuestos.

Euclides enunció hace más de dos milenios el teorema que lleva su nombre y que establece que hay infinitos números primos. La prueba del Teorema de Euclides es muy sencilla:

Supongamos que sólo hay N números primos (siendo N finito), a los que llamamos P₁, P₂, ..., P_N. Imaginemos el número que resulta de multiplicar todos estos números primos y sumale una unidad:

Q = (P₁ · P₂ · ... · P_N) + 1.

El número Q no es divisible por ninguno de los números primos de la lista, ya que al realizar la división el resto siempre es 1. Por tanto, una de dos, o bien Q es primo también, o si no, debe ser forzosamente divisible por otro primo R que no está en la lista [Actualización: el comentario 1 da un buen ejemplo numérico de esto].

No importa lo grande que sea N, por muchos números primos que tengamos, como hemos visto en la demostración de Euclides siempre podremos añadir un nuevo número primo, hasta el infinito.

Por tanto, sabemos que existen infinitos números primos, pero ¿podemos predecir su existencia? la respuesta es no. De momento, no se conoce ninguna fórmula matemática práctica que nos permita predecir que un determinado número es primo. Para cada posible ‘candidato’ se debe comprobar su primalidad mediante diversos algoritmos de ‘fuerza bruta’ en potentes ordenadores.

El primo más grande conocido hasta ahora es 2^43112609-1, descubierto el pasado ocho de agosto. Tiene casi 13 millones de dígitos y es un primo de Mersenne. Los nueve primos más grandes que se conocen son de Mersenne. Estos primos siguen determinada fórmula que hace relativamente fácil comprobar su primalidad.

Por tanto, es cierto que existen fórmulas que nos permiten obtener conjuntos limitados de números primos, y que nos dan esos hipotéticos ‘candidatos’ a número primo. Además, a pesar de su aparente aleatoriedad, los números primos se distribuyen de una forma regular, a veces muy sorprendente. Lo veremos en la próxima entrega.

En Genciencia | Test de primalidad
Más información | The largest known primes

• 2: Si el número es par


• 3: Si la suma de sus dígitos es divisible por 3


• 4: Si los dos últimos dígitos es un número divisible por 4


• 5: Si el último dígito es 5 o 0


• 6: Si el número es par y divisible por 3


• 7: Si al suprimir la cifra de las unidades y restar del número que queda el doble de la cifra suprimida queda un número multiplo de 7


• 8: Si el número es divisible por 4 y el resultado es par


• 9: Si la suma de sus dígitos es divisible por 9


• 10: Si el último dígito es 0


• 11: Si el valor absoluto de la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y la suma de las cifras de lugar impar

Sacado de Prime Number Determiner