No es la primera vez que hablamos por aquí de un libro de Antonio J. Durán. Este catedrático de Análisis Matemático de la Universidad de Sevilla ya nos había sorprendido con Pasiones, piojos, dioses… y matemáticas.

Ahora lo vuelve a hacer con Crónicas matemáticas: una breve historia de la ciencia más antigua y sus personajes.

El lenguaje universal

Decía el matemático británico Harold Hardy: “Se recordará a Arquímedes aun cuando Esquilo haya sido olvidado, pues los lenguajes perecen mientras que las ideas matemáticas no mueren nunca”.

Antonio J. Durán nos ha explicado la historia de las matemáticas ondeando esta bandera, incidiendo también en el servicio que nos prestan, en su caracter universal, en la importancia de conocer sus orígenes.

Y de la mezcla entre lógica y pasión. Porque como podemos leer en la misma sinopsis:

Esta obra pone de manifiesto que la célebre frialdad lógica de las matemáticas solo reside en las demostraciones, mientras que los procesos de indagación y descubrimiento son guiados por la más desaforada de las pasiones. Incorporar ese componente apasionado tan característico de las matemáticas es uno de los hallazgos de este libro.

Ha fallecido a los 97 años de edad, en Berkeley (Estados Unidos), este 6 de septiembre el creador de la lógica difusa: Lotfi A. Zadeh.

La lógica difusa es una técnica que ha hecho posible que los ordenadores, y las máquinas en general, entiendan instrucciones imprecisas como 'frena suavemente' o 'refrigera hasta que el aire esté fresco'. En los últimos 50 años, la lógica difusa ha generado más de 50.000 patentes sólo en Japón y Estados Unidos.

Lotfi A. Zadeh

Zadeh (Azerbaiyán, 1921) describió por primera vez en 1965 los "conjuntos difusos" en una publicación que se convertiría en una de las más citadas del siglo XX, con más de 35.000 menciones. A partir de ello, se desarrolló la llamada lógica difusa.

Lo que es difuso, borroso, impreciso o vago no es la lógica en sí, sino el objeto que estudia: expresa la falta de definición del concepto al que se aplica. Se basa en reglas heurísticas de la forma SI (antecedente) ENTONCES (consecuente), donde el antecedente y el consecuente son también conjuntos difusos.

En Inteligencia artificial, la lógica difusa, o lógica borrosa se utiliza para la resolución de una variedad de problemas, principalmente los relacionados con control de procesos industriales complejos y sistemas de decisión en general, la resolución y la compresión de datos.

Autor de 245 'papers', sus investigaciones han sido citadas en más de 90.000 ocasiones. Lotfi Zadeh también se le atribuye, junto con John R. Ragazzini , en 1952, la que fue pionera en el desarrollo de la transformada z, método de procesamiento de señales discretas de tiempo y análisis. Estos métodos son ahora el estándar en el procesamiento digital de señales, control digital, y otros sistemas de tiempo discreto en la industria y la investigación. También ocupó cargos editoriales en 75 revistas especializadas. En 2012, Zadeh recibió el Premio Fundación BBVA Fronteras del Conocimiento en la categoría de Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC).

Un circuito denso, en tres dimensiones, que opera en un tipo convencional de lógica que podría, en teoría, ser embalado en un bloque no más grande que 50 nanómetros de lado. Este diseño para un dispositivo de cálculo funcional a nanoescala ha sido desarrollado por ingenieros eléctricos e informáticos en la Universidad de California Santa Barbara (UCSB).

Así del esarrollo y fabricación de componentes cada vez más pequeños está haciendo que un dispositivo de computación de tamaño virus se acerque más a la realidad.

La clave de este avance reside es el uso de un sistema de lógica, llamado lógica de implicación material, combinado con elementos memristores: elementos de circuito cuya resistencia depende de las cargas y direcciones de corrientes que han fluido a través de ellos de forma más inmediata. Además, los investigadores han reconfigurado la arquitectura tradicional de dos dimensiones del memristor en un bloque de tres dimensiones.

Según Gina Adam, investigadora postdoctoral en el Departamento de Ciencias de la Computación y autora principal del estudio, publicado en la revista Nano Research:

En un ordenador normal, el procesamiento de datos y almacenamiento de memoria están separados, lo que ralentiza el cálculo. El procesamiento de datos directo dentro de una estructura de memoria tridimensional permitiría que más datos sean almacenados y procesados mucho más rápido.

Vía | EuropaPress

Los alumnos singapurenses de 14 años deben enfrentarse a preguntas como la que sigue. Una arcana pregunta de lógica, al menos para el que suscribe. Es una pregunta tan compleja y más aún para un adolescente, que se ha convertido en viral desde que una televisión local lo compartiera en Facebook.

Incluso en el programa En el aire, de Buenafuente, han intentado resolverlo sin mucho éxito, como podéis ver en el vídeo que encabeza la entrada. La cuestión os la transcribo a continuación:

Albert y Bernard se han hecho amigos de Cheryl y quieren saber cuándo es su cumpleaños. Cheryl les da una lista de 10 posibles fechas:

15 de mayo, 16 de mayo, 19 de mayo, 17 de junio, 18 de junio, 14 de julio, 16 de julio, 14 de agosto, 15 de agosto y 17 de agosto.

Cheryl cuenta a Albert y a Benard, por separado, el mes y el día de su cumpleaños respectivamente.

Albert: «Yo no se cuándo es el cumpleaños de Cheryl, pero sé que Bernard tampoco lo sabe».

Bernard: «Al principio, yo no sabía cuándo era el cumpleaños de Cheryl, pero ahora lo sé».

Albert: «Entonces, yo también sé cuando es el cumpleaños de Cheryl».

Así que, ¿cuándo es el cumpleaños de Cheryl?

En el propio vídeo de Buenafuente podéis escuchar la explicación de la respuesta.

Una de las asunciones más tristes que uno debe aceptar a poco que estudie cómo funciona el cerebro es que éste no fue diseñado necesariamente para ser lógico, racional, objetivo y equidistante. Más bien al contrario.

Es algo que podemos comprobar continuamente en cualquier tertulia televisiva, donde la emoción, el share y la falta de tiempo propician que el cerebro aún funcione peor de lo que lo hace generalmente. También lo podemos observar en los comentarios de muchos blogs, que generalmente desprenden bilis, o la demostración empírica de que no se ha leído el texto con atención, en el mejor de los casos, o directamente no se entiende lo que se lee, en el peor (nada del otro mundo habida cuenta el reciente informe de comprensión lectora).

Como señala Gary Marcus en su libro Kluge, nuestro cerebro, más bien, es un órgano jalonado de parches evolutivos. Así que, incluso habiendo leído con sosiego un texto, habiéndolo reflexionado, habiendo madurado la respuesta, y habiéndola escrito con meticulosidad, borrando y reelaborando las partes más débiles, incluso así mucha gente (todos, en realidad, según el momento) tropieza en alguna falacia lógica.

Del grupo de falacias lógicas más comunes, seguramente las siguientes son las más frecuentes, además de ser, irónicamente, las más estúpidas y obvias. Podremos dedicar años y años a rebatirlas una a una, a escribir artículos como éste, donde las exponemos claramente, incluso podrán ser ridiculizadas en miles de libros… pero la gente, la mayoría (todos, en realidad), tropezaremos en ellas, una y otra vez, una y otra vez. El top6 de falacias es el siguiente:

1. Argumento de popularidad: “Millones de personas creen esto, ergo es cierto”. O dicho del modo más popular, millones de moscas no pueden equivocarse: coman mierda, señores.

2. Argumento de autoridad: “Altas dosis de vitamina C protegen del resfriado. Lo dijo Linus Pauling, que ganó dos veces el Premio Nobel.” La afirmación es errónea, la vitamina C no previene el resfriado, y además es constituye un perfecto ejemplo de falacia lógica. Este argumento tiene muchas formas, incluso puede articularse a la inversa: “como no eres un experto o no tienes formación académica sobre psicoterapia transpersonal, entonces no tienes razón.”

3. Ejemplo de Galileo: “También se rieron de Galileo por sus opiniones, pero hoy se considera uno de los grandes sabios.” Esto puede ser cierto, pero no por ello hemos de hacerlo extensible a la idea objeto de análisis: todos los que presenten ideas estrambóticas y son ridiculizados por ello no se convertirán necesariamente en revolucionarios de la ciencia.

4 Ejemplo de Hitler: esto propio de nazis, esto es propio de Hitler. Siempre que afirmemos algo que podría haberlo sostenido también Hitler, nos pueden acusar de ser como Hitler. Por supuesto, sirven otros personajes paradigmáticamente maléficos como Goebbels: el propio canciller Helmut Kohl, en 1986, en una entrevista con la revista Newseek sobre el dirigente soviético Gorbachov, dijo lo siguiente: “Es un líder comunista moderno… que sabe bastante de relaciones públicas. Goebbels también estaba versado en relaciones públicas. Hay que poner los puntos sobre las íes”. Una divertida derivada de esta falacia es la ley de Godwin: "A medida que una discusión online se alarga, la probabilidad de que aparezca una comparación en la que se mencione a Hitler o a los nazis, tiende a uno".

5 Antecedentes: esta falacia lógica es tan común que creo que nadie ha estado a salvo de cometerla alguna vez en su vida adulta, tal y como lo explica Christoph Drösser en su libro La seducción de la lógica:

en este caso se utiliza un detalle de la biografía del adversario o un rasgo de su personalidad que no tiene nada que ver con la cuestión debatida para desacreditar su punto de vista. “Al señor X le condenaron una vez por exceso de velocidad, por eso su postura sobre la defensa del medio ambiente no merece ninguna confianza.” En EEUU se seleccionan los candidatos a las elecciones presidenciales sobre todo a la luz de su vida sexual, y quien tenga un pasado agitado o fuera de lo común en este terreno está condenado al fracaso.

6 Argumento de tradición: todo lo antiguo es bueno, todo lo que lleva haciéndose durante años, décadas o siglos es bueno, un libro que lleva vendiéndose desde hace siglos es bueno, si lo hacía la abuela es bueno, etc. Una extensión de este argumento es el sofistma naturalista: “Todo lo “natural” es bueno; lo artificial es malo”.

Bonus Track Y tú también: esta falacia lógica tengo que incluirla porque, a pesar de ser sumamente infantil (“y tú también”), me la han repetido muchísimas veces a lo largo de mi vida. Se puede disfrazar de falta de coherencia, o de no predicar con el ejemplo. Es decir, que si yo afirmo ser partidario de una alimentación vegetariana, pueden argüirme que un día comí pollo asado o que llevo una chaqueta de piel. La credibilidad de un argumento nunca puede ponerse en entredicho en base a lo que uno hace en su vida personal el que vierte el argumento, ni siquiera si hace un tiempo creía justo lo contrario: los argumentos deben rebatirse con otros argumentos, como si las personas que los emiten no existieran.

Bonus Track Special Science Blog: este argumento suele proliferar particularmente en los blogs de divulgación científica y adopta múltiples formas que estriban, en esencia, en la misma premisa: “lo que has escrito me ofende”. Particularmente, a mí nada me ofende (y para determinados límites de escarnio público me ampara el código civil), si acaso hay una cosa que sí que me ofende: que alguien afirme que algo le ofende, con la instrucción tácita de que debe censurarse. Como dijo hace poco en su twitter Ricky Gervais, que algo te ofende no significa necesariamente que sea correcto o equivocado, sólo pone en evidencia tu barómetro emocional. Como he señalado, esta clase de argumento también se disfraza con ropajes del tipo “esto que has escrito no se corresponde con un blog de ciencia”, “esto no es ciencia”, “sólo escribes basura, no me extraña que escribas X”, y un largo etcétera.

Generalmente, tales críticas o recomendaciones nunca van acompañadas de alternativas, consejos constructivos o cierto grado de humildad: el crítico siempre sabe más que el redactor acerca de la línea editorial del blog, de la acepción de ciencia, de lo que gusta o no gusta a la mayoría, e incluso del número de lectores que tiene el blog. También suele ocurrir que si él hace ese comentario seguramente hay mucha gente que opina como él, generalmente la mayoría; idea que se solidifica si otro comenta en la misma línea (ya son 2 o 3, y por tanto estadísticamente son mayoría, a su juicio). El consejo perdonavidas “haz esto y te irá mejor en la vida”, pues, probablemente esconde una ofensa tácita presente o pasada, o tal vez algún oscuro acicate emocional. Consejo, si uno no quiere discutir por deporte: “ladran, luego cabalgamos”. Podéis leer más al respecto en ¿Por qué hay algunos comentaristas tan agresivos en Genciencia?

Naturalmente, los comentarios de aquí abajo están para señalar, enmendar, construir, mejorar, discutir, entablar y lo que uno estime oportuno, y frente a todo ello siempre he de admitir que aprendo tanto recabando información para escribir estos artículos como leyendo vuestros comentarios. Con excepción de los que se engloban en el Bonus Track Special Science Blog, claro.

En un esfuerzo para construir chips más rápidos cada día, muchos investigadores están trabajando en la posibilidad de construir ordenadores ópticos. En estos ordenadores, la información está codificada en forma de fotones en lugar de electrones, permitiendo que grandes cantidades de datos se procesen simultáneamente.

Pero antes de que podamos pensar en un ordenador óptico, hace falta diseñar una estructura que pueda manipular la luz a nuestro antojo. Actualmente, los ordenadores funcionan a partir de semiconductores que permiten que la electricidad los atraviese o no. De esa forma somos capaces de diseñar puertas lógicas (AND, OR, XOR, etc.) Por analogía, los computadores ópticos deberían emplear semiconductores ópticos que permitan que una amplica gama de longitudes de onda los atraviese o no a voluntad.

La fabricación de estructuras 3D que permitan controlar la luz, no es una tarea sencilla, ya que la tecnología actual implica la construcción de estas estructuras capa por capa sobre el propio chip. Esta técnica resultaría muy lenta y costosa para la fabricación de chips ópticos 3D.

Sin embargo, un equipo de investigadores de los Países Bajos, dirigido por el profesor Willem Vos del MESA+ Institute en la Universidad de Twente (Eindhoven), la empresa ASML y el Instituto TNO, han desarrollado la primera estructura 3D capaz de controlar la emisión de luz. Este elemento está formado por cristales fotónoicos que poseen una estructura artificial de diamante que está grabado en una oblea de silicio usando métodos compatibles con CMOS (uso de transistores pMOS y nMOS para la construcción de transistores).

“Para poder conseguir una banda fotónica prohibida, es fundamental contar con estructuras 3D a nuestro antojo. Nuestro trabajo es la demostración, por primera vez, del control radical de la emisión espontánea de luz por medio de una banda prohibida fotónica”, afirman Willem Tjerkstra y Léon Woldering, de la Universidad de Twente.

Los investigadores describieron cómo fabricar estas estructuras 3D en dos recientes estudios. A partir de obleas de silicio cristalino, los investigadores grabaron, en primer lugar, un conjunto de poros en un patrón rectangular en la parte superior de las obleas. Para ello, utilizaron técnicas avanzadas de litografía UV, en el que una cámara gigante emplea luz ultraviolea para proyectar la estructura de poros sobre la superficio de silicio. Esta luz crea una máscara con millones de diminutos poros. A continuación, emplearon un proceso de grabado de plasma que se utiliza comúnmente en la fabricación de chips para crear una serie de nanoporos sobre la oblea de silicio.

Tras esto, el grupo de científicos grabaron un conjunto de poros en la misma forma rectangular en la parte delgada de la oblea, por lo que este conjunto de poro atraviesa al conjunto inicial en un ángulo de 90º. El patrón de la máscara debe estar alineado con la mayor precisión posible, con el fin de que los poros queden perpendicularmente alineados con el primer conjunto.

Tal y como explicaron los investigadores, este proceso de fabricación resulta en dos avances significativos: se compone únicamente de dos pasos de grabado y no requiere un equipo especializado. Estos resultados se han publicado en Journal of Vacuum Science and Technology y en Advanced Functional Materials.

Vía | R.W. Tjerkstra, L.A. Woldering, J.M. van den Broek, F. Roozeboom, I.D. Setija, and W.L. Vos. “A method to pattern etch masks in two inclined planes for three-dimensional nano- and microfabrication.” Journal of Vacuum Science and Technology B. (soon online)

Vía | J. M. van den Broek, L. A. Woldering, R. W. Tjerkstra, F. B. Segerink, I. D. Setija, and W. L. Vos. “Inverse-Woodpile Photonic Band Gap Crystals with a Cubic Diamond-like Structure Made from Single-Crystalline Silicon.” Adv. Funct. Mater. 2011. DOI:10.1002/adfm.201101101

Superfreakonomics es la segunda parte de Freakonomics, que ya reseñamos en Xataka Ciencia. Como aquél, el principal atractivo de la obra de Steven D. Levitt y Stephen J. Dubner reside no tanto en la solidez de sus postulados como en su capacidad de formular preguntas y en la audacia de sus respuestas.

En ese sentido, pues, Superfreakonomics es la versión supervitaminada de Freakonomics: más grande, más divertido, más inteligente, más lleno de ideas heterodoxas: no siempre las segundas partes fueron malas. Al menos no en este caso.

Prueba de ello fue que el libro nos inspiró uno de los artículos más celebrados de Xataka Ciencia, que también fue portada en Menéame: Otra forma de entender la crisis económica: los monos de Wall Street (I) y (y II).

O también: Avances de la ciencia que fueron malos, pero luego buenos… o las dos cosas a la vez, ¿Caminar borracho es más peligroso que conducir borracho? y Myhrvold, el dueño del laboratorio más alucinante del mundo.

Además de plantear toda clase de temas de una forma inmensamente interesante, didáctica, subversiva y entretenida, los autores han empleado una prosa para exponer sus ideas que resulta ingeniosa, brillante, entreverada de guiños populares, chascarrillos y una cantidad de dobles sentidos como los que encontramos en un capítulo tipo de Las chicas Gilmore.

¿Puede un cambio de sexo elevar tu salario? ¿En qué se parece una prostituta al Santa Claus de unos grandes almacenes? ¿Por qué los médicos se lavaban tan poco las manos? ¿Cuál es la mejor manera de atrapar a un terrorista? ¿Provocó la televisión un incremento del crimen? ¿Qué tienen en común los huracanes, los ataques al corazón y las muertas en carretera? ¿Podemos salvar el planeta comiendo canguro? ¿Qué genera más valor añadido, un proxeneta o un agente inmobiliario?

La simple portada del libro ya resulta una tentación: una ristra de titulares desconcertantes que (os aseguro) los autores desarrollaran de una manera profunda, y distinta a la que podáis imaginar.

Editorial Debate 320 páginas ISBN: 9788483068731

Los fenómenos sociales son ciertamente complejos, a pesar de que los científicos sociales anhelen encontrar explicaciones simples, mecanismos que otorguen sentido al comportamiento de la gente, tanto a nivel individual como colectivo. Por ello, esta clase de libros son una especie de faros en la oscuridad: vemos una parte del escenario, pero ni siquiera atisbamos el teatro por entero.

Con todo, La lógica oculta de la vida, de Tim Harford, tiene fragmentos muy disfrutables, y muestra los resultados de algunos experimentos empíricos muy exhaustivos.

Por ello ha inspirado artículos como Las ciudades son más ecológicas que el campo, Toda nuestra historia (económica) resumida en 365 días o Las velocidad lógica de las cajas del supermercado.

La idea central que trata de defender Harford es que la mayoría de los comportamientos que observamos en los demás, aunque parezcan esencialmente irracionales (como ejercer la prostitución sin profiláctico si el cliente paga un precio extra, como si entonces el riesgo de contraer VIH fuera menos importante), en el fondo son totalmente racionales.

Pero si todos nosotros somos tan racionales y ponderados (aunque a nivel inconsciente), ¿por qué la realidad nos parece tan caótica? ¿Por qué la gente fuma a pesar de ser tan peligroso? ¿Por qué hay barrios que prosperan y otros que se convierten en zonas de guerra sin motivo aparente? ¿Por qué muchas oficinas, empresas o editoriales están dirigidas por completos ineptos?

La misión de Harford es encontrar la lógica que subyace en todas estos escenarios aparentemente ilógicos.

Sin duda, muchas de las teorías de Harford serán discutibles, y otras directamente incompletas, pero su visión racionalista y, sobre todo, matemática, abrirá sendas de la percepción de la realidad que pocas veces han sido transitadas por los pensadores. Y en ese sentido, entonces, La lógica oculta de la vida se convierte en un libro imprescindible para completar lecturas pretéritas y aparentemente completas de autores como Ortega y Gasset, Erich Fromm o hasta los artículos de costumbres de Larra (todas ellas lecturas que consideraba el cum laude de la lectura intelectual en mi juventud, pero que ahora quedan un poco desvaídas por títulos como el de Harford).

Editorial Temas de Hoy 350 páginas ISBN: 978-84-8460-697-0

En la anterior entrega hablamos de los estudios de Cantor sobre el infinito. Según su teoría, si un conjunto se puede poner en correspondencia uno a uno con los números naturales (enteros positivos), tiene los mismos elementos que el conjunto de los naturales.

Hasta aquí nada extraño, de no ser porque Cantor demostró con facilidad que, al contrario de lo que dice la intuición, esto implica que los números enteros (que incluyen además los negativos) y los racionales (que incluyen las fracciones) son exactamente tantos como los naturales. A esta cantidad (infinita) se le bautizó como ℵ₀. Teniendo en cuenta que puede haber infinitos "más grandes" que otros, en realidad, ¿qué sentido tiene decir que son infinitos? Por esta razón, se acuñó el término de números transfinitos.

La cardinalidad del continuo

Aunque los conjuntos de los números racionales y de los números reales son infinitos, hay más números reales que números racionales (es decir, la cardinalidad de los reales es mayor que la de los racionales). Los números reales corresponden a todos los números con decimales, incluyendo a aquellos que no proceden de una fracción (y por tanto tienen infinitos decimales en una sucesión no periódica), como pueda ser el número π, sin ir más lejos. A conjunto de los números reales se le llama, en este contexto, 'el continuo'.

Por reducción al absurdo, se puede demostrar que para cualquier enumeración de los números reales, podríamos construir otro número real no recogido dentro de ella. Por lo tanto, la cantidad de números reales es infinitamente superior a la de números racionales: Pero, ¿cuánto? Es más fácil de lo que parece. Si contamos los decimales, un número real tiene infinitos dígitos, que no son más que números naturales. Por ejemplo, 5 = 5.00000..., 10/3 = 3.33333..., π = 3.141592...

Es decir, que cada número real tiene ℵ₀ dígitos. El número de posibles permutaciones de dígitos (y por tanto, el número de posibles números reales) es N^ℵ₀, donde N es la base utilizada. Como el resultado es independiente de la base, si tomamos la más pequeña posible, que es la binaria, llegamos a la conclusión de que la cardinalidad del continuo es c = 2^ℵ₀.

Además, c es la cardinalidad del conjunto potencia de los números naturales, es decir, del conjunto formado por todos los posibles subconjuntos de los números naturales. Otros conjuntos importantes con cardinalidad c son el de los números complejos o el de los espacios vectoriales euclídeos de n dimensiones.

Las propiedades de c

El número c tiene también curiosas propiedades. Por ejemplo, es muy fácil de ver que cⁿ = c, donde n es cualquier número finito, ya que cⁿ = 2^ℵ₀·n = 2^ℵ₀ = c. (Esto justifica que los números complejos o los espacios de n dimesiones tengan cardinalidad c). Se puede razonar, de una forma similar, que c^ℵ₀ = c.

Sin embargo, ¿cuánto vale c^c? En este caso, tenemos c^c = 2^ℵ₀·c = 2^c. El número 2^c es la cardinalidad del conjunto potencia de los números reales, y del conjunto de todas las funciones reales.

Continuaremos en el siguiente post hablando de los números aleph (como ℵ₀), los números beth y la hipótesis del continuo.

Imagen | m. a. r. c. En Genciencia | ¿Se puede medir el infinito? (I)

En el reciente post sobre el Teorema de los Infinitos Monos se vio una demostración práctica de que infinito no es una cantidad muy grande, sino que infinito es infinito, y por ello muchas veces no podemos tratarlo como una cantidad 'normal'. Por eso mismo, tiene propiedades muy interesantes, y que a veces desafían nuestros razonamientos lógicos.

Por ejemplo, aunque infinito sea mayor que cualquier cantidad "real" imaginable, resulta que hay infinitos más grandes que otros. Y sin embargo, esa no es la propiedad más sorprendente de los infinitos. Desde la antigüedad clásica, se asume que la parte no puede ser tan grande como el todo como un dogma filosófico. Pues la teoría de los infinitos demuestra que no.

El responsable de estas chocantes conclusiones es el matemático alemán (aunque nacido en Rusia) Georg Cantor. Los resultados que obtuvo atentaban de tal forma a las convenciones que fue tachado de loco por sus coetáneos. No sólo eso, sino que además comenzó a sufrir crisis nerviosas y episodios de demencia cada vez que se daba cuenta de que su mente rechazaba sus propios descubrimientos. Tanto es así que falleció en la pobreza en un psiquiátrico.

Infinitos enumerables

Pero entremos más a fondo en las teorías de Cantor. Empecemos analizando la relación entre los números naturales (0,1,2,3,...) y los enteros (que incluyen también los negativos). Pues bien, según la teoría de Cantor, si podemos establecer una relación "uno a uno" entre dos conjuntos, se deduce que ambos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos (conclusión lógica, por otra parte). En el caso de los naturales y los enteros, es muy fácil: A los números naturales de forma 2·k les asignamos los enteros de forma -k, y a los naturales 2·k + 1, los enteros k.

Pues de esta forma podemos establecer una relación uno a uno entre naturales y enteros. En las siguientes parejas, el primer elemento es el natural, y el segundo, su entero asociado: (0,0), (1,1), (2,-1), (3,2), (4,-2), (5,3), etc. Se ve fácilmente que así asociaríamos todos los enteros a los naturales. Por tanto, hay tantos naturales como enteros, a pesar de que intuitivamente pensaríamos que hay el doble de enteros que de naturales. A esta cantidad infinita, Cantor la llamó ℵ₀ (aleph sub cero).

Más sorprendente resulta saber que la cantidad de números racionales (es decir, todas las fracciones) también es ℵ₀. Aquí, el órdago a la intuición es brutal. ¡Si solamente entre 0 y 1 ya hay infinitos racionales! ¿Cómo es posible que el número total de racionales sea igual que el de naturales? El razonamiento es más complejo (es más fácil de ver en un gráfico, como ya se publicó aquí en Genciencia), pero es igualmente válido En referencia a este hecho, Cantor escribió a otro matemático "lo veo, pero no lo creo".

Estos resultados a priori tan extraños tienen cierto sentido si tenemos en cuenta que el infinito cumple que ∞+1 = ∞, y por tanto, ∞+1 = (∞+1)+1 = (∞+1+1)+1, y así, ad infinitum (nunca mejor dicho). Esto se ve fácilmente en la famosa paradoja del hotel de Hilbert. Sin embargo, es cierto que existen infinitos más grandes que otros. En este caso, el símbolo ∞ pierde su significado, necesitamos una notación que indique las diferencias entre distintos infinitos (de ahí el uso del símbolo ℵ).

A los conjuntos que tienen ℵ₀ elementos (es decir, cuya cardinalidad es ℵ₀) se les denomina enumerables. En la próxima entrega veremos que hay conjuntos cuyos elementos no sólo son infinitos, sino que además no se pueden poner en correspondencia con los números naturales. Hay infinitos que son más grandes que otros, pero no sólo eso, sino que son infinitamente más grandes.

Imagen | m. a. r. c. En Genciencia | Quiz Genciencia: infinitos