La geometría discreta estudia las propiedades combinatorias de puntos, líneas, círculos, polígonos y otros objetos geométricos, y en este campo donde la resolución de este problema resulta importante.

Nos referimos a la conjetura de la zona de László Fejes Tóth, que hacía 40 años que se estaba buscando su posible solución.

La conjetura de la zona

Formulada en 1973, la conjetura postula que si una unidad de esfera está cubierta por varias zonas, su ancho combinado es al menos pi.

Su prueba ha si publicada por matemáticos del Instituto de Tecnología de Israel y Alexandr Polyanskii del Instituto de Física y Tecnología de Moscú (MIPT) en la revista Geometric and Functional Analysis.

Los autores han demostrado que es posible formar un conjunto de puntos en el espacio tridimensional de modo que al menos un punto no quede cubierto por los tablones que constituyen las zonas.

El descubrimiento de una transcripción de cuatro tablillas de la antigua Babilonia, datadas entre el 350 y el 50 a.C, por parte del investigador Mathieu Ossendrijver, de la Universidad Humboldt de Berlín, ha revuelto el panorama de nuestro pasado astronómico.

Al parecer, esta civilización ya empleaba técnicas de geometría avanzada (y no aritmética) para calcular la posición del planeta Júpiter en el Sistema Solar. Hasta ahora se pensaba que las técnicas de geometría avanzada para delimitar las posiciones y trayectorias de los cuerpos celestes se habían inventado en el siglo XIV en Europa.

Según explica Ossendrijver, cuyo hallazgo ha sido publicado en la portada de la revista Science:

La idea de calcular el desplazamiento de un cuerpo en un espacio con la velocidad y el tiempo se suele remontar a la Europa del siglo XIV, pero yo muestro que en cuatro antiguas tablillas cuneiformes babilónicas, el desplazamiento de Júpiter a lo largo de la eclíptica se calcula sobre la superficie de una figura trapezoidal obtenida dibujando su desplazamiento diario respecto al tiempo.

Las tablillas presenta siete líneas que se pueden traducir con estos datos aparentemente crípticos, pero que ayudan a trazar gráficas sobre el movimiento del planeta Júpiter. En ellas se describen dos intervalos del periodo en el que Júpiter aparece por primera vez en el horizonte, calculando su posición a los 60 y los 120 días:

• Línea 1: El día cuando aparece: 0; 12, hasta 1,0 días, 0; 9,30.
• Línea 2: 0;12 y 0; 9,30 es 0; 21,30, tiempos de 0, 30.
• Línea 3: es 0; 10,45, 1,0 veces es 10; 45.
• Línea 4: después de completar 1,0 días, hasta 1,0 días 0; 1,30

Y así sucesivamente.

Mientras que los antiguos griegos usaban figuras geométricas para describir configuraciones en el espacio físico, estas tablillas utilizan la geometría en un sentido abstracto para definir el tiempo y la velocidad.

¿Cómo pudo perderse ese conocimiento durante 14 siglos? No se sabe la respuesta, pero puede estar pasando en la actualidad debido a la destrucción del patrimonio en Mesopotamia.

El Museo Británico de Londres albergaba las dos primeras tablillas desde el año 1955. Ossendrijver necesitaba una prueba más para traducir las tablillas de arcilla, y ella llegó gracias a Hermann Hunger, un asiriólogo retirado de la Universidad de Viena, quien le enseñó en 2014 fotografías de tablillas descatalogadas.

Vía | Sinc

Las matemáticas, esa espina que tenemos clavada muchos estudiantes, es una disciplina esencial para entender la complejidad del mundo que nos rodea.

La Real Sociedad Matemática y la Fundación La Caixa organizan una nueva exposición que nos abre la imaginación al mundo de las matemáticas, “IMAGINARY. Una mirada matemática“.

La idea en la que se basa la exposición IMAGINARY consiste en, como bien indica su nombre, usar los componentes estéticos y visuales de las Matemáticas como estímulo para explicar a los visitantes el contenido matemático subyacente de una forma interactiva. Se ilustra lo imaginario e inimaginable de las Matemáticas, para lo que se recurre a imágenes que uno mismo puede crear.

Las ecuaciones nos permiten construir modelos matemáticos que nos ayudan a estudiar mejor la forma de las cosas. La figura de la imagen [x² + z² = y³ (1 – y)³] no es un limón. Es un modelo matemático que nos ayuda a entender mejor las propiedades de la forma que tiene el limón.

Visitando IMAGINARY te podrás dejar cautivar por sus figuras; participando en el diálogo entre geometría y álgebra, y explorando las propiedades de cada una de las formas. En sus ecuaciones aprenderás a encontrar simetrías o singularidades y descubrirás algunos misterios que esos conceptos involucran.

Asimismo, Cosmocaixa ofrece a los visitantes la posibilidad de descargarse el programa Surfer para seguir practicando en casa y poder convertir cualquier ecuación que se nos ocurra en una figura geométrica.

La exposición podrá visitarse en la sede de CosmoCaixa de Alcobendas (Madrid) hasta el 5 de junio de 2011.

Vía | CosmoCaixa Madrid

Imaginad que debéis plantearos la instalación de cámaras de vigilancia en un museo lleno de obras de arte muy jugosas para los ladrones de guante blanco. Lo que pretendéis, pues, es que ninguna zona del museo quede ciega.

Para proceder a ello tenéis dos alternativas. La primera es la bestia, sin importaros el dinero que vais a gastar: poner cámaras en todos lados, sin ton ni son, de manera redundante y disparatada.

Pero si queréis ser un poco más lógicos y gastar lo menos posible, entonces lo mejor es usar la geometría. Una herramienta que también se usa para escoger la distribución de guardias, la iluminación, los detectores de humo, etc.

Ante cualquier planta poligonal, basta con una sola cámara instalada en un único vértice (aunque el polígono sea cóncavo, con entradas). Pero esta solución sólo funciona en polígonos con 3, 4 o 5 lados.

Para los polígonos con 6 o más lados, entonces hacen falta más puntos de control.

Victor Klee en 1973 ya conjeturó (y con razón) que para polígonos con n vértices (n ≥ 6) se precisan el entero más cercano por exceso a n/3. Para determinar estos puntos de control (siguiendo el llamado método de Fisk) se procede de la siguiente manera: dado el polígono, éste se divide en triángulos entre sus vértices. Escogido un triángulo se le asignan a cada vértice un color diferente y fijada ya esta terna de colores se colorean con ellos los otros triángulos. Entonces los controles, cámaras, guardias, etc., deben asignarse a los vértices del color que sea el menos repetido.

Tenedlo en cuenta si pensáis en fugaros de alguna cárcel que use este sistema de distribución de cámaras o guardias.

Vía | Vitaminas matemáticas de Claudi Alsina

Algunas personas, cuando sufren migrañas, sienten una especie de aura: destellos que atraviesan su campo visual, zigzagueando. Este fenómeno no entraña ningún misterio. Sin embargo, con menos frecuencia, hay pacientes que se refieren a figuras geométricas más intrincadas: retículas, espirales, embudos y telarañas que se mueve, giran y se transforman constantemente.

Uno de los primeros libros que se refieren a este extraño fenómeno fue On Megrim, Sick-Headache, and Some Allied Disorders: A Contribution to the Pathology of Nerve Stonns de Edward Liveing, escrito en la década de 1860. En On Sensorial Vision, John Frederick Herschel, hijo de Frederick Herschel, ambos astrónomos que padecían migrañas “visuales”, también escribieron sobre ello.

El joven Herschel se aventuraba a especular sobre la posible naturaleza y sobre el origen de estos fenómenos. Pensaba que podían representar “una suerte de capacidad caleidoscópica”, una primitiva fuerza generadora de la mente de las etapas previas a la percepción.

El neurólogo Oliver Sacks relaciona estos fenómenos con la teoría del caos, que a su juicio emergerían de la interacción entre un amplio número de elementos (en este caso los millones de células nerviosas del córtex visual primario):

Hay “comportamientos universales” que son resultado de estas interacciones; comportamientos que revelan la organización de estos sistemas dinámicos y no lineales. Tienden a adoptar una pauta compleja y reiterativa en el espacio y en el tiempo (precisamente el upo de retículas, embudos, espirales y telarañas que aparecen en las alucinaciones geométricas de la migraña. Este tipo de comportamientos caóticos se ha observado actualmente en una amplia gama de sistemas naturales, desde los excéntricos movimientos de Plutón hasta las sorprendentes pautas que siguen ciertas reacciones químicas, o la multiplicación de los hongos según los caprichos climáticos. Un fenómeno hasta el momento insignificante o desatendido, como el de las visiones geométricas del aura migrañosa, cobra así una nueva importancia. Nos muestra, bajo la apariencia de una alucinación, no sólo una actividad elemental del córtex cerebral, sino también el funcionamiento global de un sistema autónomo, de un comportamiento universal.

¿Tal vez una idea demasiado aventurada por parte de Oliver Sacks?

Vía | Historias de la ciencia y del olvido de Oliver Sacks

Situado en Vantaa, Finlandia, el Centro de la Ciencia Heureka se concibió en la década de 1980 para divulgar la ciencia experimentándola en primera persona. Probablemente sea uno de los mejores centros de ciencia del mundo.

Pero lo más llamativo de su arquitectura es el acceso al edificio, cuyo suelo está construido con un mosaico no periódico o mosaico de Penrose.

Las losetas que cubren los suelos siempre habían sido periódicas, es decir, son traslaciones a lo largo y ancho del plano, asegurando la repetición. Pero también son posibles los recubrimientos aperiódicos, es decir, sin repeticiones.

En 1964, Robert Berger describió una colección de 20.426 losetas diferentes que permitían recubrimientos no periódicos. Hasta que en 1975, el físico y matemático Roger Penrose halló la misma solución con sólo 2 piezas.

La física del estado sólido estudia también los llamados cuasicristales: materiales que presentan un orden similar al de los cristales pero sin su periodicidad. En ellos la aparición de caras en forma de pentágonos, icosaedros y otras formas bilateralmente asimétricas, determinan su carácter. Fueron descubiertos en 1984, en una aleación de aluminio y manganeso. (De hecho, la mayoría de los cuasicristales se forman con aleaciones de aluminio).

Antes de su descubrimiento, el matemático inglés Roger Penrose había logrado “cubrir el plano” en una forma no periódica mediante el empleo de mosaicos de forma diferente: por ejemplo, rombos de ángulos distintos. Los mosaicos de Penrose funcionan, pues, como moldes dentro de los que se forman los cuasicristales al llenarse el patrón con los átomos de un elemento apropiado.

Vía | Geometría para turistas de Claudi Alsina
Sitio Oficial | Web de Heureka
Más info | El blog de Luis Enrique Alcalá