Tras una semana de ausencia, llega una nueva entrega de la serie sobre números primos. Hoy hablaremos de algoritmos para extraer, de forma gráfica, todos los números primos por debajo de un umbral dado.

Esta vez no habrá densos teoremas ni fórmulas matemáticas, ya que se trata de dos algoritmos muy sencillos y antiguos: la Criba de Eratóstenes y la Criba de Euler. En algunos textos se usa la expresión 'tamiz' o 'filtro' en vez de 'criba'. Viene a ser lo mismo.

La Criba de Eratóstenes

Se trata de un algoritmo eficiente para calcular los primos hasta el orden de 10⁷ (es decir, diez millones). Su filosofía es muy sencilla, se basa en ir tachando los números compuestos hasta que en un momento dado podemos garantizar que todos los que quedan son primos.

¿Cómo? es muy simple. Supongamos que queremos calcular todos los primos menores que N. Hacemos una lista con todos los números naturales entre 2 y N. El primer número de la lista (2) es primo. Tachamos todos los múltiplos de 2 (es decir, todos los pares).

Volvemos al principio: el primer número sobrante (3) es primo. Tachamos todos los múltiplos de 3 (es decir, uno de cada 3 números). Ahora, al llegar al principio de la lista, 4 está ya tachado (es múltiplo de 2). El primer número sobrante que encontramos es el 5, pues también lo marcamos como primo y repetimos el proceso.

¿Cuándo podemos detener el proceso? iremos avanzando al principio de la lista hasta que llege el turno de comprobar un número p que cumpla p² > N.

Es muy sencillo de entender con el ejemplo gráfico que mostramos para calcular todos los primos hasta 120. Tachamos los múltiplos de 2, luego los de 3, los de 5, los de 7, y el siguiente paso sería tachar los múltiplos de 11. Pero 11² = 121, que es mayor que 120. Llegados a este punto ya podemos parar el proceso, todos los números que queden sin tachar son primos.

Este algoritmo es bastante fácil de implementar en los lenguajes de programación habituales y por lo tanto es bastante popular. Sin embargo, como hemos dicho, para umbrales muy grandes deja de ser eficiente y es mejor utilizar otro tipo de métodos de cálculo.

No quiero dejar pasar la ocasión de mencionar que Eratóstenes fue una de las mentes más brillantes de la época clásica. Su mayor hazaña es estimar el radio de la Tierra en el siglo III a. C., obteniendo un resultado con un margen de error inferior al 2% sobre su valor real.

La Criba de Euler

Se trata de una versión refinada de la anterior. No es inmediata desde el punto de vista gráfico, pero sí es más eficiente computacionalmente, ya que cada número compuesto es 'tachado' una sola vez.

Por simplificar las cosas supondremos el mismo ejemplo numérico que antes, es decir, N = 120. Empezamos por el primer número de la lista, 2. Lo marcamos como primo. Ahora multiplicamos todos los números de la lista por 2 (vamos obteniendo 4, 6, 8, 10...) hasta que el producto sobrepase N (es decir, hasta llegar a 61·2 = 122). Tachamos todos los números obtenidos.

En nuestra lista nos han quedado 3, 5, 7, 9, etc., hasta 119. Volvemos al principio. Marcamos el 3 como primo y multiplicamos 3 por todos los números que quedan sin tachar (obtenemos 9, 15, 21...), hasta sobrepasar el 120 (es decir, hasta 41·3 = 123). Eliminamos los productos obtenidos.

En este momento ya sólo nos quedan 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc., hasta 119, que no fue eliminado en el paso anterior. Marcamos el 5 como primo y repetimos el proceso (obtenemos 25, 35, 55, 65...) hasta llegar a 25·5 = 125. Quitamos todos estos.

Nuestra lista es ya muy reducida. Repetimos la operación con el 7, obtenemos 49, 77, etc., hasta que llegamos a 19·7 = 133. El siguiente número a comprobar sería 11, pero como 11² = 121, ya hemos terminado el proceso, y todos los supervivientes son primos.

En la siguiente entrega (¿será la última?) hablaremos de un tema fascinante, uno de los mayores misterios sin resolver de las Matemáticas. Y como no podía ser de otra forma, está relacionado con los números primos.

Imágenes | sxc.hu, Wikimedia Commons En Genciencia | Los díscolos números primos (I), (II), (III), (IV), (V).

Eratóstenes nació en Cyrene (Libia) en el año 276 a. C. Trabajó en diversos campos como la astronomía, la historia, la literatura y las matemáticas. Estudió en Alejandría y Atenas, y alrededor del año 255 a. C fue el tercer director de la Biblioteca de Alejandría.

Una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronomía fue su trabajo sobre la medición de la Tierra. Eratóstenes, en sus estudios de los papiros de la biblioteca de Alejandría, encontró un informe de observaciones en Siena, actual Assuán, situada cerca del Trópico de Cáncer, a unos 800 kilómetros al sur de Alejandría, en el que se decía que los rayos solares al caer sobre una vara, el mediodía del solsticio de verano, el actual 21 de Junio, no producía sombra. La leyenda hablaba de un pozo cuyas aguas eran iluminadas al mediodía de este 21 de Junio.

La narración más completa sobre la determinación del meridiano terrestre realizada por Eratóstenes se debe al astrónomo Cleomedes que nos dice que sus medidas se basaban en varias hipótesis: * Siena y Alejandría se encuentran en el mismo meridiano. * La distancia entre ambas ciudades era conocida y se cifraba en unos 5.000 estadios, unos 790 kilómetros. Actualmente se cree que 1 estadio equivalía a 158 metros. * Los rayos provenientes del Sol llegan a la Tierra paralelos, lo que equivale a poner al Sol a una distancia prácticamente infinita de la Tierra. * Las líneas que cortan a las rectas paralelas forman ángulos opuestos iguales. * Los arcos de círculo relativos a ángulos iguales son semejantes.

Eratóstenes, al asumir de manera correcta que si el Sol se encontraba a gran distancia sus rayos al alcanzar la Tierra debían llegar en forma paralela, pensó que si ésta era plana como se creía en aquellas épocas, no se deberían encontrar diferencias entre las sombras proyectadas por los objetos a la misma hora del mismo día, independientemente de donde se encontraran. Sin embargo, al demostrarse que si eran diferentes ya que la sombra medida en Alejandría formaba 7º 12’ grados con la vertical, dedujo que la tierra no era plana y utilizando la distancia conocida entre las dos ciudades y el ángulo medido de las sombras estimó la circunferencia de la Tierra en aproximadamente 39.400 kilómetros y su radio en 6271 kilómetros. Actualmente, la circunferencia de la Tierra se cifra en unos 40.000 kilómetros, y su radio en unos 6366 kilómetros.

Aunque la idea de Eratóstenes era genial, en el éxito de su cálculo influyó mucho la suerte, ya que algunos de sus datos era aproximados, pero erróneos. En realidad el Sol no culminaba sobre Siena, que no está en el Trópico de Cáncer, sino 33' más al Norte. Además, Alejandría y Siena no están sobre el mismo meridiano, y la distancia entre ambas ciudades no era conocida con precisión, ya que se estimó en función del tiempo que tardaban en recorrerla las caravanas.

Eratóstenes también cifró la distancia al Sol en 804.000000 estadios y la distancia a la Luna en 780.000 estadios. Midió casi con precisión la Oblicuidad de la eclíptica en 23º 51' 15". Otro de sus trabajos astronómicos fue una compilación en un catálogo de cerca de 675 estrellas. Además, trabajó con problemas de matemáticas, como la duplicación del cubo y números primos. Escribió muchos libros de los cuales sólo se tienen noticias por referencias bibliográficas de otros autores.

Creó uno de los calendarios más avanzados para su época y una historia cronológica del mundo desde la guerra de Troya. Realizó investigaciones en geografía dibujando mapas del mundo conocido, grandes extensiones del río Nilo y describió la región de Eudaimon, actual Yemen, en Arabia.

Eratóstenes al final de su vida fue afectado por la ceguera y murió de hambre por su propia voluntad en el año 194 a. C. en Alejandría.

Vía | Astromía Más información | Eratóstenes