Si habéis escuchado con atención lo dicho en los capítulos anteriores, a estas alturas ya sabréis que en bueno de Edward Lorentz introdujo sus ecuaciones en un computador y descubrió dos fenómenos aparentemente contradictorios:

• En primer lugar, comprobó que el sistema era muy sensible a una pequeña variación en las condiciones iniciales. Incluso redondear una cifra a la cuarta cifra decimal producía un resultado numérico muy diferente al inicial. A esto le llamó efecto mariposa.

• En segundo lugar, se dio cuenta que, independientemente de las condiciones iniciales, el sistema siempre reproducía el mismo gráfico, una figura con dos lóbulos. A esto lo llamó atractor estraño.

Pero, ¿en qué quedamos? ¿El sistema es muy sensible a las condiciones iniciales, o le dan igual? Parece que tenemos una contradicción.

Por supuesto, en realidad no existe ninguna contradicción. Ambos puntos se refieren a cosas diferentes. El efecto mariposa habla de variaciones en los valores numéricos, mientras que los atractores se centran en el comportamiento general cualitativo.

Para entenderlo un poco mejor, permitidme recuperar un ejemplo de hace dos capítulos: la bola de una ruleta. Sabemos que el comportamiento general final siempre será el mismo: la bola terminará moviéndose en círculos dentro de una casilla. Pero es muy difícil predecir en qué casilla va a caer exactamente (si no fuera así, los casinos se irían a pique).

De hecho, la predicción del número que saldrá en la ruleta es un buen ejemplo de efecto mariposa. Cualquier pequeña variación en la velocidad inicial, o en el momento en que el crupier lanza la bola, puede afectar muchísimo a la casilla en que se detendrá la bolita finalmente. No obstante, el comportamiento general es completamente insensible a todo lo que pase antes: la bola siempre quedará atrapada en una casilla, y acabará dando vueltas.

Lo mismo ocurre en el caso del atractor de Lorentz. Por un lado, sabemos que el comportamiento general siempre es el mismo: la partícula está girando en rededor de dos puntos fijos del espacio, siguiendo una trayectoria extraña, que forma dos lóbulos.

Pero, por el otro lado, si nos preguntamos exactamente en qué punto se encuentra la partícula en un instante dado, predecirlo es muy difícil. Y el resultado depende, mucho, del punto concreto donde empiece el movimiento. Incluso variaciones muy pequeñas provocan que la partícula siga trayectorias muy diferentes... pero siempre siguiendo el mismo atractor.

En este sentido, se suele decir que los atractores traen algo de orden al caos.

Las ecuaciones de Lorentz son tan sencillas que sólo tienen un atractor, y siempre sale el mismo. Por supuesto, en la realidad las cosas son aún más complicadas, algunos sistemas reales pueden tener más de un atractor.

Un ejemplo de esto es la propia atmósfera que tanto fascinaba a nuestro amigo Edward. A groso modo, todas las tormentas se parecen entre sí: podemos decir que son atractores del sistema. Pero también podemos decir que todos los días soleados son muy similares, otro atractor del sistema.

En casos de un sistema con varios atractores, el efecto mariposa se torna aún más dramático. Sabemos que, con el tiempo, alguno de los atractores acabará realizándose, pero… ¿cuál de ellos?

Fotos | Jaume

Lorenz era un soñador, y como muchos Físicos anhelaba descubrir una sóla fórmula que lo explicara todo. En este caso, por lo menos, que describiera y predijera por completo el comportamiento de la atmósfera, ya que era meteorólogo. Con ese noble propósito, desarrolló un modelo matemático, que podía utilizar para realizar los cálculos necesarios.

Sin embargo, su sistema de ecuaciones era matemáticamente muy complicado, no se podía resolver. Tan sólo se podían hacer aproximaciones numéricas. Hasta la aparición de las máquinas de cálculo automático, uno estaba limitado a lo que podía calcular con papel, pluma y regla de cálculo, que no era demasiado.

Pero para el postmoderno de Lorenz, eso ya no era necesario. Tomó sus ecuaciones, puso sus ecuaciones en una de las modernas computadoras de la época y se dedicó a hacer simulaciones. Para hacerlo, sólo tenía que decirle al ordenador el estado inicial de la atmósfera.

Un buen día, Edward decidió repetir una de las simulaciones. Pero como estaba un poco cansado, en vez de introducir todos los decimales en la máquina hizo un pequeño redondeo. Por ejemplo, en vez de poner 1,0396, simplemente escribió 1,04 (estos son números inventados por mi a modo de ejemplo). Total, una diferencia tan pequeña no se podía notar.

Para su sorpresa, los resultados obtenidos fueron completamente diferentes. De esta forma descubrió, de la forma más dura posible, que una pequeña diferencia en el estado inicial de sus ecuaciones ocasionaba cambios drásticos. Se imaginó que esa pequeña diferencia podía ser ocasionada por algo tan insignificante como un insecto, y de ahí el nombre de efecto mariposa (supongo que le sonó mejor que efecto moscardón, que también habría valido).

Como os prometí, vamos a repetir la experiencia de Lorenz con un juego matemático muy simple, que todos vosotros podéis replicar con una simple calculadora u hoja de cálculo. Tomamos el valor inicial que dábamos antes como ejemplo, 1,0396, y lo elevamos al cuadrado. Obtenemos 1,0807. Volvemos a elevar este nuevo valor al cuadrado. Y así, sucesivamente.

Después, repetimos el mismo proceso con el valor aproximado, 1,04. Podéis ver el resultado en la tabla de la derecha. Inicialmente, la diferencia es muy pequeña, del 0.04%. Sin embargo, tras cada iteración, la diferencia se incrementa. Tras sólo diez iteraciones, el valor aproximado es prácticamente el doble que el valor exacto, con un error del 48%.

Sólo tres iteraciones más tarde, el valor aproximado es 22 veces mayor que el exacto. Es decir, con apenas 13 iteraciones elevando al cuadrado, el error inicial ha pasado del 0,04% al 2236%. Y esto sólo por redondear un triste decimal.

Foto | NASA, Temari 09

Nos pide Tanausú que hablemos un poco de temas relacionados con la teoría del caos, en especial el efecto mariposa y los atractores extraños. Como vuestros deseos son ordenes sugerencias para nosotros, vamos a ello.

El efecto mariposa de sobra es conocido por todos. Una de las muchas formas de enunciarlo es la siguiente:

El aleteo de una mariposa en Hong Kong provoca una pequeña perturbación en la atmósfera que, con el tiempo, se va incrementando. Al cabo de una semana, la perturbación ha crecido tanto que puede provocar cambios muy importantes: por ejemplo, un huracán que no se iba a formar, termina por arrasar una ciudad del golfo de México.

Esto, por supuesto, es una parábola. No es necesario exterminar todos los insectos alados de la faz de la Tierra para evitar la proliferación de tormentas mortales. Es una alegoría que ejemplifica el hecho que, en algunos sistemas muy complejos, una variación minúscula de las condiciones iniciales se va incrementando hasta producir resultados cualitativamente diferentes.

Esta sensibilidad extrema de las condiciones iniciales es algo a lo que no estamos acostumbrados. Por ejemplo, si tomamos un cañón y realizamos dos disparos con prácticamente la misma velocidad e inclinación, esperamos que el punto de impacto sea prácticamente el mismo. Sabemos que es muy difícil que impacten exactamente en el mismo lugar, es casi imposible que la velocidad y el ángulo sean exactamente idénticos. Pero sí que esperamos que los impactos estén muy próximos entre sí.

Esto es porque el lanzamiento de proyectiles es un sistema simple, determinista. En un sistema complejo puede ocurrir lo que predica el efecto mariposa, que una pequeña variación se vea amplificada con el paso del tiempo. En el fondo, esto significa que los sistemas complejos son, a la práctica, impredecibles, ya que es imposible conocer el estado inicial con precisión absoluta. Cualquier error experimental se ve incrementado, adulterando por completo la predicción.

Pero, ¿cuán complejo tiene que ser un sistema para que llegue a mostrar cambios tan bruscos? Pues no tanto, en el siguiente capítulo veremos un ejemplo que todos vosotros podéis seguir con una simple calculadora. Y lo haremos siguiendo los pasos que llegaron a desarrollar la teoría del caos.

El enunciado del efecto mariposa tiene su base en las investigaciones del meteorólogo estadounidense Edward Lorenz a finales de los años 1960. En perspectiva histórica, aquellas décadas eran apasionantes para la ciencia, ya que contábamos con un nuevo avance que revolucionó la investigación científica para siempre: las computadoras (que, aunque posteriormente se han extendido a la sociedad, revolucionándola por completo inicialmente se desarrollaron para ayudar a los físicos a hacer sus cálculitos).

Foto | Peter Morville

"Una mariposa bate sus alas en Pekín y en Nueva York hay una tormenta", decía el matemático Ian Malcolm en una escena de Jurassic Park. Trataba de flirtear con la Dra. Sattler hablando sobre caos (quizás no sea el tema más adecuado), y sin querer estábamos aprendiendo uno de los conceptos básicos para entender este concepto: Las condiciones iniciales.

Situémonos en el presente: Eurocopa 2008. Cada día se retransmiten partidos, y quieran o no verse, el fútbol contagia a todos. Y entre ellos, a mi hermano Carlos, de 9 años, protagonista de esta historia.

Resulta que viendo uno de los partidos, un chut por parte de un jugador pasó rozando el palo, saliendo fuera de la portería por muy poco. Al final, su equipo perdió 3-2, con lo que fue eliminado.

Habiendo acabado el partido, Carlos hizo el siguiente comentario: "Si la pelota hubiera ido sólo un poquito más a la derecha en el chut, habrían acabado empatando a 3".

Nosotros, que somos adultos, sabemos que esto no es así de fácil. Pero aún así mucha gente comenta cosas del estilo "si Ronaldinho hubiera marcado aquel gol, el partido hubiera ido de otra forma", o "si Casillas no hubiera parado esos balones, el Madrid hubiera acabado perdiendo el partido".

No caigamos en el mismo error que Carlos. El caos forma parte de nuestro mundo, y el fútbol no se escapa de él.

Volvamos al momento del chut.

Pongamos que la secuencia temporal fue la siguiente: Empate a 2, se realiza el chut, el balón sale fuera. Jugada siguiente, saca rápidamente el portero del equipo rojo desde la portería, la recibe el delantero rojo, dribla al defensa azul (que venía corriendo desde el campo contrario), y marca. 3-2.

Volvamos una última vez al chut. Pero esta vez, cambiemos las condiciones iniciales.

Empate a 2, chutan los azules, el balón se mueve un poco a la derecha, y entra. 2-3. El balón ya no sale desde la portería, sino que empieza a jugarse desde el centro del campo. Al volver andando en lugar de corriendo, el defensa azul ha visto a su exnovia en las gradas, con su nuevo novio. Como lo suyo es reciente, coge un gran cabreo, y en la siguiente jugada, entra con fuerza a un jugador rojo. Expulsado.

Con un jugador menos, no son capaces de contener al equipo rojo, y acaban encajando cuatro goles más. 6-3.

¿Qué hemos podido ver? Sin marcar, los azules sólo han perdido de uno. Marcando, han perdido de 3. Y todo ha sido por un pequeño cambio en las condiciones iniciales: un soplo de aire que mueva o no la pelota un poco a la derecha.

El marcar el gol ha sido el aleteo de la mariposa en Pekín (aquí está la condición: si la mariposa bate o no sus alas).

Que el defensa rojo haya visto a su exnovia con otro, una brisa provocada por el aleteo.

El cabreo consecuente, una corriente de aire provocada por la brisa.

La entrada dura, un fuerte viento provocado a partir de la corriente de aire.

Los tres goles encajados, la tormenta en Nueva York.

Y a taparse, que nos mojamos.

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