Las grandes empresas (y muy pocas de ellas, en realidad) han sido el medio más eficiente para organizar la producción y distribución masiva de bienes y servicios. La unión de cadenas de suministro, procesos de producción y canales de distribución, pues, están en muy pocas manos, concretamente en empresas integradas verticalmente.

La gestión centralizada de estas empresas ha permitido reducir drásticamente los costes de transacción, ha aumentado la productividad y la eficiencia, ha reducido los costes marginales de producción y distribución, y naturalmente ha rebajado el precio para el consumidor de bienes y servicios. La tecnología ha sido clave también en esta dinámica, tanto para reforzarla como para aprovehcarse de ella. A pesar de todos estos beneficios, puede resultar inquietante que el pastel se reparta en tan pocas empresas (al menos en el ámbito estadounidense), como veremos a continuación.

Petróleo

Tres de las cuatro empresas más importantes de los Estados Unidos son grandes petroleras: Exxon-Mobil, Chevron y Conoco Phillips, que controlan gran parte del mercado interior del petróleo.

Telecomunicaciones

Si seguimos en el ámbito estadounidense, AT&T y Verizon controlan, entre las dos, casi tres cuartas partes del mercado de las telecomunicaciones.

Electricidad

Jeremy Rifkin explica hasta qué punto el negocio de la electricidad está concentrado en su libro La sociedad del coste marginal cero:

Un estudio publicado en 2010 por el Gobierno federal reveló que, en la mayoría de los Estados, una sola compañía eléctrica controlaba del 25 al 50 % del mercado; en conjunto, solo 38 empreas (el 5 % de un total de 699) controlan el 40 % de la generación de electricidad en los Estados Unidos.

Automoción

Solo cuatro empresas (General Motors, Ford, Chrysler y Toyota) copan el 60 % del mercado.

Medios de comunicación

Cinco grandes grupos mediáticos controlan más de la mitad de los medios de comunicación estadounidenses: News Corp, Google, Garnett, Yahoo y Viacom.

Otros sectores

En sectores como los salones recreativos, la alimentación y el ocio, CEC (Chuck E. Cheese´s) Entertainment, Dave & Busters, Sega Entertainment y Namco Bandai Holdings poseen una cuota de mercado del 96 por ciento. ¿A qué se debe todo esto? Según Rifkin:

Esta concentración sin precedentes (e inimaginable) de poder económico no se debe a la casualidad ni a la codicia insaciable del ser humano. Tampoco se puede achacar solo a la desregulación o a la ineptitud (peor aún, a la colusión y corrupción) de los políticos, aunque estos factores hayan contribuido a ella. En un nivel más fundamental, ha surgido inexorablemente de las matrices de comunicación/energía que han formado la base de la Primera y Segunda Revolución Industrial.

A menudo usamos la coerción para obligar que la gente haga lo correcto o lo que se considera correcto. Sin embargo, el castigo, así como el palo con una zanahoria, son estrategias poco eficientes porque continuamente tienen que estar en vigor para evitar que la gente deje de hacer lo que tiene que hacer. Aunque resulte más difícil, es eficaz convencer a la gente de la conveniencia de hacerlo bien.

Un buen ejemplo de eso lo encontramos en el hecho de buscar un sitio para sentarnos en el Metro o en cualquier otro sitio público.

Generalmente, la norma tácita es que la gente tome asiento a medida que llega, pero esta estrategia no tiene en cuenta a la gente que tiene más o menos necesidad de sentarse, con independencia de cuando llega. A veces se tienen en cuenta factores evidentes como la ancianidad, un embarazo, una pierna escayolada… pero no en todos los contextos: por ejemplo, en el Metro es más probable que ocurra, pero no así desocupando una butaca favorable en el cine, o un lugar agradable en la playa.

¿Qué política podríamos llevar adelante para favorecer esta cesión de asientos más allá del orden de llegada? Todas ellas requerirán pensar a menudo estratégicamente, nada más entrar en el Metro, o a lo largo del viaje, por ejemplo. Ello es dificultoso y hay pocos incentivos para que la gente lo lleve a cabo.

Otra opción es que la gente que necesite el asiento, directamente lo pida. Puede sonar utópico, pero lo cierto es que la gente cede hasta niveles aceptables, como bien sugieren los experimentos de la década de 1989 del psicosociólogo Stanley Milgran, que solicitó a una serie de voluntarias que pidieran sitio en el Metro de forma firme. El resultado fue que una de cada dos veces, bastaba con pedirlo para que la gente aceptara ceder el asiento. El problema de esta estrategia es que hace falta valor para pedir un asiento, como bien describían los voluntarios, que se sentían azorados o nerviosos cuando lo hacían.

Lo que demostró en cierto sentido el experimento de Milgran lo interpreta así James Surowiecki en Cien mejor que uno:

las normas de mayor éxito no se establecen y mantienen sólo externamente, sino que han de llegar a “interiorizarse”. La persona que ocupa un asiento en el Metro no necesita defender o justificar su derecho, porque para los pasajeros sería más incómodo tratar en tela de juicio ese derecho que viajar de pie. Ahora bien, y aunque la interiorización sea crucial para la fluidez de funcionamiento de los usos y costumbres, muchas veces también se necesitan sanciones externas. A veces, como en el caso del reglamento de la circulación viaria, dichas sanciones son legales. Pero es más corriente que sean de tipo informal, como descubrió Milgran cuando se puso a estudiar lo que ocurre cuando alguien trata de infiltrarse en una cola de espera muy larga.

Lo que pasó en el experimento de Milgran sobre las colas es que los voluntarios que pedían colarse, no lo conseguían. Las personas que hacían cola no estaba dispuestas a perder un turno, como los del Metro estaba dispuestos a ceder un asiento. Ello, además, era fiscalizado negativamente por la otras personas que hacían cola, mediante miradas hostiles o comentarios. Pero las mayores críticas siempre venían por parte del que estaba inmediatamente después del que se intentaba colar, no de los puestos más alejados, acaso porque una revuelta demasiado tumultuosa podría haber desorganizado toda la cola.

Al igual que la regla “el primero que llega es el primero que se sienta”, la cola es un mecanismo sencillo pero eficaz de coordinar a las personas. Pero su éxito depende de la disposición de todos a respetar el orden de la cola. Paradójicamente, esto implica que, a veces, la gente prefiere tolerar a los atrevidos que se cuelan antes de arriesgarse a desorganizar toda la espera. Por eso Milgran considera que dicha tolerancia es un signo de fuerza de la cola, que no de debilidad. (…) En las sociedades liberales, la autoridad tiene un alcance limitado en cuanto a la manera en que unos ciudadanos tratan con otros. En vez de la autoridad, ciertos códigos no escritos (impuestos voluntariamente por la gente normal, como ha demostrado Milgram) bastan esencialmente para que los grupos numerosos de personas coordinen su comportamiento sin ninguna necesidad de coerción, y sin necesidad de pensarlo ni de trabajárselo demasiado.

Pero, ¿por qué aparece esta regularidad tan curiosa? ¿Es que a caso los números no pueden empezar por el dígito que les de la gana? En realidad, la respuesta es muy sencilla: la ley de Benford se debe a que empezamos a contar por el uno.

Imaginad, que estamos numerando los edificios de una calle. Resulta que hay 23 portales, por ejemplo. Los nueve primeros obtienen números de un sólo dígito, así que hasta aquí todos los dígitos son igualmente probables. Ahora bien, los diez siguientes, todos ellos, obtienen un número que comienza con la cifra 1.

En definitiva, entre los 23 números tendremos once que comienzan por “1” (esto es, el 47,8%), cinco que comienzan por “2” (21,7%), y sólo uno del resto de dígitos (4,3%).

En este ejemplo tan sencillo no se respetan las proporciones predichas por Benford porque la muestra que tenemos es muy pequeña, pero la tendencia a que el “1” sea el más probable ya se puede observar muy claramente.

El caso es que, en cualquier secuencia de números que se obtenga contando una cantidad limitada de elementos, siempre contendrá más cifras que empiecen por “1”, precisamente porque empezamos a contar por ese número. Siguiendo el mismo razonamiento, el segundo número más probable será el “2”, y así sucesivamente.

Teniendo en cuenta lo dicho, esta ley no se cumplirá en aquellos casos en que los números se elijen arbitrariamente, sin seguir una secuencia numerada. Por desgracia, Benfor no nos hará ricos jugando a la lotería.

De esta forma, lo que nos decía nuestro lector en su mensaje acerca del fisco no es descabellado. Si intentamos inventarnos las cifras de nuestra declaración de la renta, lo más probable es que lo hagamos poniendo números al azar, sin ton ni son. Cómo si jugáramos a la lotería. De esta forma, todas las cifras se vuelven igualmente probables, desobedeciendo la ley de Benford.

Por lo tanto, el ministerio de hacienda podría comprobar la veracidad de las cifras presentadas simplemente mirando cuántas de ellas empiezan por el dígito “1”. O, mejor aún, viendo la frecuencia estadística de cada dígito inicial. De todas formas, haciendo esto sólo podrían sacar un indicio, una indicación de que vale la pena investigar a fondo al contribuyente en cuestión.

Pero nunca, en ningún caso, podrán condenar a alguien únicamente en base a esto. Porque la ley de Benfor es probabilística, no determinista. La cantidad de números que contiene una declaración no es muy representativa, es una muestra más bien pequeña, así que siempre es posible que no se cumpla la ley de Benfor por pura mala suerte.

Eso sí, si te inventas los números, y no quieres que te investiguen, seguro que es buena idea seguir la ley de Benford.

Fotos | Ezra Wolfe

Nos llega a la dirección del blog una pregunta realmente curiosa: ¿Es cierto que el fisco utiliza la Ley de Benford para detectar si intentamos defraudar? Difícilmente podremos dar una respuesta definitiva al tema, ya que ni Sergio ni yo somos agentes fiscales, pero sí que podemos hablar un poco de dicha ley.

En resumidas cuentas, Benford viene a decir que es mucho más probable que una cifra de la vida real empiece por el dígito “1” que cualquier otro, aproximadamente un 30%. De hecho, la probabilidad es decreciente, el segundo dígito más probable es el “2” (18%), y el menos probable es el “9”, con menos de un 5%.

A este efecto, recordad que una cifra no puede empezar por 0, ya que un cero a la izquierda siempre se puede eliminar.

Hay que hacer notar que esta ley se aplica a los números que aparecen en la cotidianidad, no a los números en general. Si tomamos al azar una cantidad de números de entre todos los que existen en un intervalo matemático (por ejemplo, en un sorteo de lotería), esta ley no se cumplirá. Pero si lo que hacemos es recopilar cifras de la vida real, por ejemplo todas las que aparecen en un periódico, su distribución se acercará bastante a lo predicho por Benford.

Al parecer, el primero en darse cuenta de esta regularidad fue Simon Newcomb al rededor de 1881 (se cumple la ley de Stingler, según la cual los descubrimientos científicos raramente reciben el nombre de su descubridor original), quien se dio cuenta que los libros de tablas de logaritmos estaban más gastados en sus primeras páginas que en las últimas.

Un poco de contexto histórico: por aquél entonces no existían ordenadores ni calculadoras, así que cada vez que había que calcular un logaritmo con suficiente precisión se acudía a las tablas. Al ver que las primeras páginas estaban mucho más usadas, Newcomb infirió que sus compañeros en la universidad realizaban cálculos con números que empiezan por dígitos bajos de forma mucho más frecuente. Frank Bedford realizó una observación similar, de forma independiente (o eso se cree), en 1938.

A partir de esta observación, infirió una sencilla ley logarítmica que permitía calcular la probabilidad de que un número concreto comience por un dígito determinado. De hecho, su fórmula se podía extender para calcular la probabilidad que un número en concreto comience con una secuencia concreta de dígitos, no sólo el primero. Por ejemplo, según esta ley, la probabilidad de que un número comience por 79 es del 0.055%.

No os voy a poner la fórmula, pero seguro que los interesados la podéis encontrar muy fácilmente por internet. Además, podéis jugar un poco con ella usando esta sencilla calculadora on-line de la Ley de Benford.

Fotos | Bark

¿Habéis oído hablrar alguna del 'intervalo de confianza' de una encuesta?. Los que estén más familiarizados con la estadística y la econometría seguramente estén hartos de oírlo, y probablemente sepan también que estos márgenes de confianza se calculan con la famosa función t de Student. Es menos probable, sin embargo, que sepan que esta función matemática nació en la fábrica de cerveza Guinness.

La historia de la función t

A finales del siglo XIX, la fábrica de Saint James's Gate, en Dublín, era la cervecería más grande del mundo. La Guinness no sólo se consumía a espuertas en Irlanda y Gran Bretaña, sino que comenzaba a exportarse por todo el mundo. Como líder mundial, a los dueños de Guinness les preocupaba la calidad de su producto, y fueron pioneros en establecer rigurosos controles de calidad.

En el marco de esta campaña, en 1899 deciden contratar a William Sealy Gosset, un reputado estadístico inglés, que se traslada a Dublín para mejorar tanto el proceso de fermentación como la selección de materias primas. Gosset tendría como objetivo analizar muestras para optimizar ambos procesos. Su problema, matemáticamente hablando, era obtener resultados estadísticamente significativos a partir de un número comparativamente reducido de muestras.

Con la ayuda del matemático Karl Pearson, Gosset obtuvo unos resultados a los que en principio no se concedió mucha importancia, pero que acabarían siendo claves para la estadística moderna. Había un pequeño problema: Guinness prohibía la publicación de las investigaciones realizadas por la compañía, puesto que lo consideraba como un secreto industrial. Gosset decidió entonces utilizar el seudónimo "Student" y publicarlas igualmente, con la esperanza de no ser descubierto.

El trabajo de Gosset pasó inicialmente inadvertido. Envió sus tablas al padre de la bioestadística Ronald Fisher, diciéndole que creía que sería el único que las fuese a utilizar. Fisher comprendió el gran alcance del trabajo de Gosset, y lo aplicó a sus propias investigaciones, completándolo y mejorándolo. La función t de Student se hizo famosa, de hecho, gracias a Fisher.

Se da la circunstancia de que, al parecer, Fisher y Pearson tenían una gran rivalidad personal, con lo cual no dejaba de ser irónico el éxito de Fisher basándose precisamente en las fórmulas que Pearson había contribuido a conseguir, aunque despreciase su importancia. Gosset, sin embargo, era un hombre modesto, y en cierta ocasión respondió a un admirador de su trabajo que "Fisher lo habría descubierto tarde o temprano, de todas formas".

La importancia de la función t

La t de Student está relacionada con el estudio de poblaciones muy grandes a partir de una muestra comparativamente muy pequeña. La función surge al querer estimar la media de una determinada variable en cierta población, que se supone normalmente distribuida, pero de la cual se desconoce la varianza, es decir, la tendencia de las muestras a desviarse del valor promedio.

Pues bien, este es precisamente el caso de las encuestas realizadas sobre la población de un territorio. Por ejemplo, el objetivo de una encuesta electoral es estimar el promedio de intención de voto de cada partido, contando con muy pocas muestras aleatorias de la población total. Para evaluar la 'calidad' de la estimación, es necesario recurrir a la función t de Student, de la cual obtenemos un intervalo de confianza.

Es habitual en las encuestas publicar los resultados con un intervalo de confianza del 95 %. Si en la ficha técnica de una encuesta electoral, por ejemplo, se dice que el margen de error es del 2 % y el intervalo de confianza es el 95 %, lo que quiere decir es que según la función t de Student asociada, la posibilidad de que la intención de voto real de la población estudiada esté fuera de los márgenes de error es del 5 %.

Matemáticamente, la función de distribución t es de la forma Z / √(v/V), donde Z es una distribución normal (también llamada gaussiana), y V es una distribución de tipo χ², con v grados de libertad. La forma de esta distribución de probabilidad se muestra en el trazo rojo de la imagen. Es similar a la distribución normal (la famosa 'campana de Gauss', en azul) aunque los flancos son algo más 'pesados', es decir, la posibilidad de obtener valores muy desviados de la media es mayor.

Seguramente el bueno de Gosset jamás se imaginaría que sus trabajos en la producción de Guinness alcanzaran nunca esta repercusión.

En Genciencia | La mortal historia de la centralita telefónica

Nuestro anterior post hablaba de la distribución de los números primos, en concreto, del Teorema de los Números Primos, que nos da una idea de con qué frecuencia aparecen.

Como lo prometido es deuda, en esta ocasión toca hablar de propiedades curiosas de la distribución de los números primos. Y es que, a veces, colocándolos de una forma determinada, pasan cosas sorprendentes.

La espiral de Ulam

El matemático polaco Stanisław Ulam descubrió esta espiral de casualidad. Aburrido durante una conferencia, empezó a organizar los números naturales en una espiral, empezando con el número uno en el centro, tal y como se muestra en la imagen. Después, rodeó con un círculo todos los números primos, y observó un hecho sorprendente.

¿Habéis hecho la prueba? ¿notáis algo especial? tal vez no se aprecie en un primer vistazo, pero si se observa con atención... parece que los números primos aparecen en determinadas diagonales. Y en efecto, podemos ampliar la espiral tanto como queramos y nos daremos cuenta de que los números primos tienden a aparecer con mucha más frecuencia en determinadas diagonales.

Vemos en la imagen una espiral de Ulam de 200x200, donde aparecen representados 40000 números. Los primos están marcados con píxeles negros.

El resultado es de gran trascendencia, y llegó a aparecer en la prestigiosa revista Scientific American. Se puede comprobar que este tipo de diagonales aparecen aunque iniciemos la espiral en un número que no sea 1.

Analizándolo matemáticamente, esto implica que existen muchas constantes a y b tales que los números generados por la fórmula 4n² + an + b son primos en una proporción inusualmente elevada. Este hecho no tiene una explicación matemática aparente.

La espiral de Sacks

Se trata de una variante de la anterior. En lugar de colocar los números formando una 'espiral cuadrada' como en el caso de Ulam, se colocan en forma de espiral de Arquímedes. Y sorprendentemente, de nuevo aparecen determinadas líneas con una alta densidad de números primos, incluso de forma más notoria.

Las curvas corresponden a determinados polinomios. Una de ellas contiene los primos de la forma n² + n + 41. Ya en el siglo XVIII el gran Euler se dio cuenta de que ese polinomio 'generaba' una cantidad sorprendentemente alta de primos.

Estos curiosos descubrimientos son relativamente recientes. La espiral de Sacks data de 1994 y la de Ulam de 1963. Quién sabe qué otras sorpresas no descubiertas aún nos pueden deparar los números primos.

Por cierto, para todos los que estéis ya aburridos de tanto número primo, la serie ya se está acercando a su fin ;)

Imágenes | Wikimedia Commons Más información | The Sacks Number Spiral En Genciencia | Los díscolos números primos (I), (II), (III), (IV).

Tras el breve paréntesis del puente, retomamos nuestro monográfico sobre los números primos. En la primera entrega mencionábamos una cita de Don Zagier en la que afirma que los números primos muestran una asombrosa regularidad, hay leyes que gobiernan su comportamiento y que ellos obedecen con precisión casi militar.

Esta idea no concuerda muy bien con lo que hemos visto hasta ahora. Los números primos tienen un comportamiento errático, no obedecen a fórmulas matemáticas específicas y su aparición es impredecible. Sin embargo, su distribución sí se ajusta a determinados patrones.

El Teorema de los Números Primos

Este teorema no nos permite adivinar qué números son primos, pero sí nos permite estimar cuántos números primos hay por debajo de cierto número, o en un determinado intervalo. Para ello, definimos la función π(x) = {cantidad de números primos por debajo de x}. Por ejemplo, π(12) = 5, ya que hay cinco primos menores que 12 (2,3,5,7,11).

Pues bien, el teorema asegura que

es decir, la cantidad de primos menores que x es aproximadamente x/ln(x) (ln es el logaritmo neperiano). Dicho en palabras más llanas:

• Para un número natural arbitrario N, la probabilidad de que dicho número sea primo es aproximadamente 1/ln(N). Es decir, cuanto más grande sea el número, menos probable es que sea primo.

• Equivalentemente, esto significa que alrededor de N, la distancia media entre dos números primos será ln(N). Por ejemplo, en torno a 1000, aproximadamente uno de cada siete números es primo, mientras que en torno a 1000000 sería uno de cada 14.

• Otra consecuencia inmediata es que el enésimo número primo p_n será de una magnitud comparable a n·ln(n). (El margen de error absoluto es elevado, pero nos sirve para hacernos idea del tamaño del número).

El genial Carl Friedrich Gauss encontró una aproximación aún más exacta usando la función logaritmo integral desplazado Li(x) en lugar de x/ln(x):

Siendo estrictos desde el punto de vista matemático, el límite sólo implica al cociente y no a la diferencia de π(x) con Li(x) ó x/ln(x). Es decir, la resta π(x) - x/ln(x) no se hace arbitrariamente pequeña a medida que nos acercamos a infinito, de hecho crece indefinidamente. Lo que tiende a cero es el error relativo entre la aproximación y la cantidad real de números primos existente.

La imagen que ilustra el post representa todos los números primos hasta 76800: cada píxel negro en la matriz representa un número primo (están ordenados de izquierda a derecha y de arriba a abajo).

Se observa que la densidad de números primos va disminuyendo a medida que los números se hacen más grandes, pero es un descenso muy paulatino. Esto concuerda con los resultados obtenidos, ya que la función logaritmo crece muy lentamente.

Los teoremas de Betrand y Erdős

Son consecuencia directa del teorema de los números primos. La conjetura del matemático francés Bertrand señalaba que para cualquier número natural n mayor que 1, existe un número primo p que cumple n < p < 2n. La demostración llegaría años más tarde de la mano de Chebyshev.

Traducido a un lenguaje más sencillo: para cualquier número entero mayor que 1, siempre va a existir al menos un número primo que sea mayor que dicho número y menor que el doble de dicho número. Es decir, que siempre hay como mínimo un número primo entre 5 y 10, entre 43 y 86, entre 1000 y 2000, o cualquier otro ejemplo que se nos ocurra, tan grande como queramos.

Por su parte, el húngaro Erdős sostuvo que para cualquier entero positivo k, es posible encontrar un número N que verifique lo siguiente: para todo número natural n > N existen al menos k números primos. entre n y 2n.

Se trata de una proposición más fuerte que la anterior. Implica que podemos encontrar tantos primos como queramos en el intervalo entre un determinado número natural y su doble, siempre que dicho número sea suficientemente grande.

Los teoremas que hemos comentado en el post pueden parecer bastante áridos y poco interesantes desde un punto de vista práctico. Nada más lejos de la realidad. Ya desde la primera entrega comprobamos que los números primos son infinitos. Con estos resultados, comprobamos "cuán infinitos" son, es decir, tenemos una idea de cuál es la densidad de los números primos. Y como ya habíamos predicho, tiene una regularidad matemática sorprendente.

De todas formas, el siguiente post será de nuevo más "informal", y nos centraremos en algunas propiedades curiosas de la distribución de los números primos.

Imágenes | Wikimedia Commons En Genciencia | Los díscolos números primos (I), (II), (III)