distribución

Nos llega a la dirección del blog una pregunta realmente curiosa: ¿Es cierto que el fisco utiliza la Ley de Benford para detectar si intentamos defraudar? Difícilmente podremos dar una respuesta definitiva al tema, ya que ni Sergio ni yo somos agentes fiscales, pero sí que podemos hablar un poco de dicha ley.

En resumidas cuentas, Benford viene a decir que es mucho más probable que una cifra de la vida real empiece por el dígito “1” que cualquier otro, aproximadamente un 30%. De hecho, la probabilidad es decreciente, el segundo dígito más probable es el “2” (18%), y el menos probable es el “9”, con menos de un 5%.

A este efecto, recordad que una cifra no puede empezar por 0, ya que un cero a la izquierda siempre se puede eliminar.

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¿Habéis oído hablrar alguna del ‘intervalo de confianza’ de una encuesta?. Los que estén más familiarizados con la estadística y la econometría seguramente estén hartos de oírlo, y probablemente sepan también que estos márgenes de confianza se calculan con la famosa función t de Student. Es menos probable, sin embargo, que sepan que esta función matemática nació en la fábrica de cerveza Guinness.

La historia de la función t

A finales del siglo XIX, la fábrica de Saint James’s Gate, en Dublín, era la cervecería más grande del mundo. La Guinness no sólo se consumía a espuertas en Irlanda y Gran Bretaña, sino que comenzaba a exportarse por todo el mundo. Como líder mundial, a los dueños de Guinness les preocupaba la calidad de su producto, y fueron pioneros en establecer rigurosos controles de calidad.

En el marco de esta campaña, en 1899 deciden contratar a William Sealy Gosset, un reputado estadístico inglés, que se traslada a Dublín para mejorar tanto el proceso de fermentación como la selección de materias primas. Gosset tendría como objetivo analizar muestras para optimizar ambos procesos. Su problema, matemáticamente hablando, era obtener resultados estadísticamente significativos a partir de un número comparativamente reducido de muestras.

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Nuestro anterior post hablaba de la distribución de los números primos, en concreto, del Teorema de los Números Primos, que nos da una idea de con qué frecuencia aparecen.

Como lo prometido es deuda, en esta ocasión toca hablar de propiedades curiosas de la distribución de los números primos. Y es que, a veces, colocándolos de una forma determinada, pasan cosas sorprendentes.

La espiral de Ulam

El matemático polaco Stanisław Ulam descubrió esta espiral de casualidad. Aburrido durante una conferencia, empezó a organizar los números naturales en una espiral, empezando con el número uno en el centro, tal y como se muestra en la imagen. Después, rodeó con un círculo todos los números primos, y observó un hecho sorprendente.

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Tras el breve paréntesis del puente, retomamos nuestro monográfico sobre los números primos. En la primera entrega mencionábamos una cita de Don Zagier en la que afirma que los números primos muestran una asombrosa regularidad, hay leyes que gobiernan su comportamiento y que ellos obedecen con precisión casi militar.

Esta idea no concuerda muy bien con lo que hemos visto hasta ahora. Los números primos tienen un comportamiento errático, no obedecen a fórmulas matemáticas específicas y su aparición es impredecible. Sin embargo, su distribución sí se ajusta a determinados patrones.

El Teorema de los Números Primos

Este teorema no nos permite adivinar qué números son primos, pero sí nos permite estimar cuántos números primos hay por debajo de cierto número, o en un determinado intervalo. Para ello, definimos la función π(x) = {cantidad de números primos por debajo de x}. Por ejemplo, π(12) = 5, ya que hay cinco primos menores que 12 (2,3,5,7,11).

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