El supuesto código de letras que esconde la Biblia ha generado incontables libros de análisis conspiranoico y los fenicios frotamientos de manos de muchas editoriales sin escrúpulos. El código secreto de la Biblia, de Michael Drosnin, es un ejemplo manifiesto de ello: incluso se atrevía a afirmar que la Biblia contenía profecías de hechos contemporáneos.

Las matemáticas, sin embargo, con una lánguida elegancia, desmontan el mito en pocos segundos.

El último intento de encontrarle un significado profundo a la Biblia tuvo lugar a raíz de la publicación de un artículo en una revista de estadística que sugería que la Torá, los 5 primeros libros de la Biblia, contenía secuencias de letras equidistantes que profetizaban relaciones significativas entre personas, eventos y fechas.

El matemático John Allen Paulos explica así esta supuesta conexión estadística:

Una secuencia de letras equidistantes es un conjunto ordenado de letras, en este caso hebreas, cada una de las cuales (salvo la primera) sigue a su precedente por un número fijo de otras letras. (No se cuentan los espacios entre palabras.) Un ejemplo simple es la palabra “nazi” (geNerAliZacIón), si se toma un intervalo entre letras de longitud 2. Habitualmente, los intervalos entre letras son mucho más largos: 23, 47, 69 o 92 letras, e incluso más. Los autores del artículo citado habían identificado en el texto de la Torá secuencias de letras equidistantes correspondientes a los nombres (o algunas variantes) de rabinos famosos que vivieron en siglos posteriores a los tiempos bíblicos, junto con secuencias a menudo contiguas correspondientes a sus fechas de nacimiento u otros eventos relacionados, la probabilidad de lo cual era minúscula.

El análisis matemático, sin embargo revela que estos hallazgos numerológicos parecen haber sido formulados por Rappel o Aramís Fuster: son superfluas y predicen poco, incluso menos de lo normal.

Vayamos a las probabilidades matemáticas de encontrar 4 letras concretas en posiciones equidistantes dentro de cualquier texto, incluida la Biblia. Todo lo que se requiere es multiplicar las probabilidades de aparición de cada una de las 4 letras en la secuencia.

Allen Paulos lo calcula así:

Por ejemplo, si la lengua es el inglés, entonces, en cualquier posición dada, las probabilidades respectivas de las letras l, i, f y e son 0,039, 0,068, 0,022 y 0,124, así que la probabilidad de la sencuencia “life” en cuatro posiciones dadas es simplemente 0,039 × 0,068 × 0,022 × 0,124, lo que da aproximadamente 0,0000072. El producto de estos cuatro números (llamémoslo P) es una probabilidad muy pequeña. Las secuencias de letras equidistantes más largas serían aún más improbables.

Estas cifras hacen pensar a cualquiera que la probabilidad de encontrar la palabra “life” en un texto es remota. Sin embargo, el proceso empleado para descubrir la secuencia “life” en un texto incluye un matiz que se ha pasado por alto. En nuestro cálculo de probabilidades presuponemos que la secuencia de letras y las posiciones estaban especificadas DE ANTEMANO, y que el texto se seleccionó y observó DESPUÉS.

Cuando desarrollemos ese matiz, os daréis cuenta de que las probabilidades no son tan altas.

Vía | Elogio de la irreligión de John Allen Paulos

Continuamos hablando de números primos. En el post anterior vimos su carácter aleatorio. Aparecen aquí y allá sin que alguien pueda predecir dónde. No hay una fórmula conocida que nos devuelva siempre números primos, y de hecho, se debe verificar computacionalmente si los posibles 'candidatos' a número primo realmente lo son.

Sin embargo, hay ciertos números primos que siguen determinadas fórmulas matemáticas. (Ojo, esto no quiere decir que todos los números que siguen dichas fórmulas sean necesariamente primos). En algunas ocasiones, esto implica curiosas propiedades matemáticas, como veremos a continuación.

Primos de Mersenne

Un número de Mersenne es de forma N = 2^p - 1, donde p es primo. No todos los números de Mersenne son primos, de hecho, sólo se conocen 47 primos de Mersenne. Sucede algo interesante: los nueve mayores números primos que se conocen son de Mersenne. ¿Por qué?

Para empezar, sólo podemos encontrar un primo de Mersenne a partir de otro primo. Esto ya reduce sensiblemente nuestro campo de búsqueda. Pero además, la fórmula de los números de Mersenne es muy simple, y esto supone que hay algoritmos de búsqueda relativamente sencillos.

En concreto, el más famoso es el algoritmo de Lucas-Lehmer. N = 2^p - 1 es primo si y sólo si es divisor de S_p-2. Los términos de la sucesión S_j se definen por S_j = S_j-1² - 2, con S₀ = 4.

Existe un interesante proyecto de computación colaborativa, llamado GIMPS (Great Internet Marsenne Prime Search), en la que miles de usuarios de todo el mundo colaboran en la búsqueda de primos de Marsenne instalando un programa en su ordenador. No hace falta el supercomputador más potente del mundo, como intuían algunos de nuestros lectores en la anterior entrada. En este caso, la unión hace la fuerza.

De hecho, los nueve primos más grandes conocidos hasta la fecha han sido gracias a la fundación GIMPS, es decir, gracias a miles de usuarios anónimos cediendo una pequeña parte de la potencia de su ordenador para hacer estos cálculos.

Nos podríamos preguntar cuál es la utilidad real de encontrar números primos cada vez más grandes en lugar de dedicar recursos informáticos a otras cosas. Como bien dijo alguno de vosotros en los comentarios del post anterior, los números primos son muy útiles para cifrar información, y cuanto más grandes, mejor. Si usásemos números compuestos, se podría de hecho descomponer el problema en varios problemas más sencillos y mucho más fáciles de resolver.

Primos de Fermat

Son de la forma N = 2²ⁿ+ 1. Sólo se conocen cinco primos de Fermat: 3, 5, 17, 257 y 65537. Estos números tienen una propiedad geométrica muy curiosa: un polígono regular de n lados se puede construir de forma directa con regla y compas si y sólo si n = 2^k·p, donde k es cualquier número entero no negativo y p es un primo de Fermat. Así que no intentéis buscar un método directo para dibujar el heptágono regular, ya que 7 no cumple la condición.

Primos de Sophie Germain y primos seguros

Un número p es un primo de Sophie Germain si es primo y además N = 2p + 1 también es primo. Por ejemplo, el 11 lo es ya que 11·2 + 1 = 23 es primo. En este caso, al número N (por ejemplo, 23) lo llamaríamos 'primo seguro'. Este nombre se debe a que dicho tipo de primos es útil en aplicaciones de criptografía y cifrado. Salvo el 5 y el 7, no existe ningún primo seguro que sea además de Mersenne o de Fermat (los primos de Fermat, comparativamente, serían 'menos seguros' ya que derivan de una fórmula matemática concreta en la que no intervienen otros números primos).

Primos de Euclides

Son los números de forma p# + 1. El número p# es el llamado primorial de p. Sólo un número primo puede tener primorial. El primorial de p estaría formado por el producto de p por todos los primos menores que él. Por ejemplo: el primorial de 5 sería 5# = 5·3·2 = 30. Si nos fijamos en el número primo 31, resulta que 31 = 30 + 1 = 5# + 1, por tanto 31 es un primo de Euclides.

Estos primos están directamente relacionados con la demostración de la infinitud de los números primos dada por Euclides y que vimos en el primer post sobre números primos.

Primos gemelos

Son parejas de primos que están separados por sólo una unidad. Por ejemplo, 3 y 5, ó 17 y 19. Una de las grandes cuestiones de la teoría de números es precisamente saber si existen infinitas parejas de primos gemelos. Intuitivamente, uno tendería a pensar que la aparición de primos es cada vez menos frecuente a medida que los números se van haciendo mayores, por lo tanto debería ser cada vez más difícil encontrar dos primos separados tan solo por una unidad.

La pregunta es, ¿existe realmente algún momento en el que ya no podamos encontrar primos gemelos? no se sabe, pero la mayoría de hipótesis suponen que existen infinitas parejas de primos gemelos. Aunque esto choque con la intuición, concuerda con las sorprendentes propiedades de la distribución de números primos.

Veremos esto en la cuarta entrega de la serie, pero antes, en el siguiente post, seguiremos viendo más tipos de primos. En este caso, nos acercaremos de un modo informal y veremos números con propiedades curiosas y divertidas.

Imagen | Número de dígitos de los primos de Mersenne conocidos En Genciencia | Los díscolos números primos (I)

El objetivo de al autentificación de usuarios en un sistema determinado consiste en permitir que accedan al sistema los usuarios que están autorizados y rechazar a los que no lo estén. Su eficacia se mide mediante dos índices: la tasa de rechazos indebidos, que indica el porcentaje de usuarios legítimos que han sido rechazados, y la tasa de aceptaciones indebidas, que es porcentaje de usuarios no autorizados que han sido aceptados. Los métodos más usados en sistemas son las comprobaciones mediante información secreta, ya que no necesitan dispositivos especiales para implantarlos, pero es posible que el usuario comunique el secreto a otras personas no autorizadas, o que un intruso averigüe las respuestas.

Generalmente, los sistemas operativos usan algoritmos criptográficos diseñados de forma que no se pueda realizar la operación inversa; es decir, se considera que a partir de la contraseña codificada no se pueda obtener la original. Por lo tanto, al comprobar la identidad del usuario, el sistema operativo solicita la contraseña, la codifica inmediatamente y comprueba que el resultado coincide con la que tiene almacenada. En consecuencia, la codificación debe ser unívoca, de modo que dos contraseñas distintas nunca produzcan la misma contraseña codificada.

A pesar de estas medidas, como el usuario debe memorizar la contraseña, tiende a usar palabras fáciles de recordar. Se ha llegado a comprobar en alguna instalación que el 86% de las contraseñas eran palabras de un diccionario. Como el algoritmo de codificación es público es muy sencillo procesar un archivo de palabras y obtener la forma codificada. En los sistemas UNIX, tradicionalmente, las contraseñas se almacenan en el archivo /etc/passwd, que pueden leer todos los usuarios. Por lo tanto, se pueden cruzar las dos informaciones y averiguar las contraseñas originales. Para colmo, la mayoría de los procesadores de texto tienen un archivo de vocabulario, como soporte para la comprobación de palabras (spell en UNIX), así el curioso ni siquiera tiene que molestarse en teclearlo. Por ello se recomienda siempre el uso de contraseñas aleatorias, pseudoaleatorias, alfanuméricas, con mayúsculas y minúsculas (para sistemas case sensitive), ...

Por otra parte, existen otros métodos de autentificación en sistemas como pueden ser las técnicas biométricas. En estos métodos, la aceptación se basa en las características personales del usuarios; algunas de ellas, se pueden obtener con cierta facilidad, y sin invadir demasiado su intimidad. Estas características se pueden dividir en dos grupos:

• Características físicas: Huellas digitales, rasgos faciales, geometría de la mano, distribución de los capilares en la retina, ...

• Características de comportamiento: Análisis de la voz, ritmo de pulsaciones en el teclado, firma con un lápiz electrónico, ...

Estas últimas suelen cambiar con el estado de ánimo, la salud o el desarrollo físico del usuario (por ejemplo la voz cambia durante nuestro desarrollo vital), por lo que presentan una tasa de rechazos indebidos bastante alta. En cambio, algunas características físicas como las huellas digitales o los capilares de la retina son muy estables. Por ejemplo, examinando la retina se obtiene una aceptación indebida entre 3 millones, que se reduce a una entre un billón si se comprueban los dos ojos. Estos métodos se usan en entornos que necesitan gran seguridad.