Al ser datada hace 13.000 años, una estatuilla de un pájaro en miniatura tallada en un hueso quemado se ha convertido en la obra de arte tridimensional china y del este asiático más antigua conocida.

Estas obras son los primeros ejemplos de humanos prehistóricos que representan tridimensionalmente el mundo que los rodea.

Pájaro cantor

La figura tiene forma de un pájaro cantor en un pedestal. Utilizando la datación por radiocarbono en los restos de animales quemados descubiertos (incluido un hueso con marcas de ranuras antropogénicas también observadas en la talla del ave), los autores pudieron estimar que la edad de la figura del ave y el material óseo asociado es de entre aproximadamente 13.400 y 13.200 años.

Hallado en el yacimiento paleolítico de Lingjing, en Henan (China), el estudio de su hallazgo se describe en un estudio llevado a cabo por Zhanyang Li, de la Universidad de Shandong, y sus colegas que ha sido publicado en Plos One:

Este descubrimiento identifica una tradición artística original y hace retroceder en más de 8.500 años la representación de las aves en el arte chino.

Las representaciones de aves son un tema en el arte neolítico chino, con el ejemplo más antiguo de un pájaro cantor de jade que data de aproximadamente 5.000 años. La figura difiere tecnológica y estilísticamente de otros especímenes encontrados en Europa Occidental y Siberia, podría ser el eslabón perdido que rastrea el origen del arte estatuario chino hasta el Paleolítico.

En la anterior entrega hablamos de los estudios de Cantor sobre el infinito. Según su teoría, si un conjunto se puede poner en correspondencia uno a uno con los números naturales (enteros positivos), tiene los mismos elementos que el conjunto de los naturales.

Hasta aquí nada extraño, de no ser porque Cantor demostró con facilidad que, al contrario de lo que dice la intuición, esto implica que los números enteros (que incluyen además los negativos) y los racionales (que incluyen las fracciones) son exactamente tantos como los naturales. A esta cantidad (infinita) se le bautizó como ℵ₀. Teniendo en cuenta que puede haber infinitos "más grandes" que otros, en realidad, ¿qué sentido tiene decir que son infinitos? Por esta razón, se acuñó el término de números transfinitos.

La cardinalidad del continuo

Aunque los conjuntos de los números racionales y de los números reales son infinitos, hay más números reales que números racionales (es decir, la cardinalidad de los reales es mayor que la de los racionales). Los números reales corresponden a todos los números con decimales, incluyendo a aquellos que no proceden de una fracción (y por tanto tienen infinitos decimales en una sucesión no periódica), como pueda ser el número π, sin ir más lejos. A conjunto de los números reales se le llama, en este contexto, 'el continuo'.

Por reducción al absurdo, se puede demostrar que para cualquier enumeración de los números reales, podríamos construir otro número real no recogido dentro de ella. Por lo tanto, la cantidad de números reales es infinitamente superior a la de números racionales: Pero, ¿cuánto? Es más fácil de lo que parece. Si contamos los decimales, un número real tiene infinitos dígitos, que no son más que números naturales. Por ejemplo, 5 = 5.00000..., 10/3 = 3.33333..., π = 3.141592...

Es decir, que cada número real tiene ℵ₀ dígitos. El número de posibles permutaciones de dígitos (y por tanto, el número de posibles números reales) es N^ℵ₀, donde N es la base utilizada. Como el resultado es independiente de la base, si tomamos la más pequeña posible, que es la binaria, llegamos a la conclusión de que la cardinalidad del continuo es c = 2^ℵ₀.

Además, c es la cardinalidad del conjunto potencia de los números naturales, es decir, del conjunto formado por todos los posibles subconjuntos de los números naturales. Otros conjuntos importantes con cardinalidad c son el de los números complejos o el de los espacios vectoriales euclídeos de n dimensiones.

Las propiedades de c

El número c tiene también curiosas propiedades. Por ejemplo, es muy fácil de ver que cⁿ = c, donde n es cualquier número finito, ya que cⁿ = 2^ℵ₀·n = 2^ℵ₀ = c. (Esto justifica que los números complejos o los espacios de n dimesiones tengan cardinalidad c). Se puede razonar, de una forma similar, que c^ℵ₀ = c.

Sin embargo, ¿cuánto vale c^c? En este caso, tenemos c^c = 2^ℵ₀·c = 2^c. El número 2^c es la cardinalidad del conjunto potencia de los números reales, y del conjunto de todas las funciones reales.

Continuaremos en el siguiente post hablando de los números aleph (como ℵ₀), los números beth y la hipótesis del continuo.

Imagen | m. a. r. c. En Genciencia | ¿Se puede medir el infinito? (I)

En el reciente post sobre el Teorema de los Infinitos Monos se vio una demostración práctica de que infinito no es una cantidad muy grande, sino que infinito es infinito, y por ello muchas veces no podemos tratarlo como una cantidad 'normal'. Por eso mismo, tiene propiedades muy interesantes, y que a veces desafían nuestros razonamientos lógicos.

Por ejemplo, aunque infinito sea mayor que cualquier cantidad "real" imaginable, resulta que hay infinitos más grandes que otros. Y sin embargo, esa no es la propiedad más sorprendente de los infinitos. Desde la antigüedad clásica, se asume que la parte no puede ser tan grande como el todo como un dogma filosófico. Pues la teoría de los infinitos demuestra que no.

El responsable de estas chocantes conclusiones es el matemático alemán (aunque nacido en Rusia) Georg Cantor. Los resultados que obtuvo atentaban de tal forma a las convenciones que fue tachado de loco por sus coetáneos. No sólo eso, sino que además comenzó a sufrir crisis nerviosas y episodios de demencia cada vez que se daba cuenta de que su mente rechazaba sus propios descubrimientos. Tanto es así que falleció en la pobreza en un psiquiátrico.

Infinitos enumerables

Pero entremos más a fondo en las teorías de Cantor. Empecemos analizando la relación entre los números naturales (0,1,2,3,...) y los enteros (que incluyen también los negativos). Pues bien, según la teoría de Cantor, si podemos establecer una relación "uno a uno" entre dos conjuntos, se deduce que ambos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos (conclusión lógica, por otra parte). En el caso de los naturales y los enteros, es muy fácil: A los números naturales de forma 2·k les asignamos los enteros de forma -k, y a los naturales 2·k + 1, los enteros k.

Pues de esta forma podemos establecer una relación uno a uno entre naturales y enteros. En las siguientes parejas, el primer elemento es el natural, y el segundo, su entero asociado: (0,0), (1,1), (2,-1), (3,2), (4,-2), (5,3), etc. Se ve fácilmente que así asociaríamos todos los enteros a los naturales. Por tanto, hay tantos naturales como enteros, a pesar de que intuitivamente pensaríamos que hay el doble de enteros que de naturales. A esta cantidad infinita, Cantor la llamó ℵ₀ (aleph sub cero).

Más sorprendente resulta saber que la cantidad de números racionales (es decir, todas las fracciones) también es ℵ₀. Aquí, el órdago a la intuición es brutal. ¡Si solamente entre 0 y 1 ya hay infinitos racionales! ¿Cómo es posible que el número total de racionales sea igual que el de naturales? El razonamiento es más complejo (es más fácil de ver en un gráfico, como ya se publicó aquí en Genciencia), pero es igualmente válido En referencia a este hecho, Cantor escribió a otro matemático "lo veo, pero no lo creo".

Estos resultados a priori tan extraños tienen cierto sentido si tenemos en cuenta que el infinito cumple que ∞+1 = ∞, y por tanto, ∞+1 = (∞+1)+1 = (∞+1+1)+1, y así, ad infinitum (nunca mejor dicho). Esto se ve fácilmente en la famosa paradoja del hotel de Hilbert. Sin embargo, es cierto que existen infinitos más grandes que otros. En este caso, el símbolo ∞ pierde su significado, necesitamos una notación que indique las diferencias entre distintos infinitos (de ahí el uso del símbolo ℵ).

A los conjuntos que tienen ℵ₀ elementos (es decir, cuya cardinalidad es ℵ₀) se les denomina enumerables. En la próxima entrega veremos que hay conjuntos cuyos elementos no sólo son infinitos, sino que además no se pueden poner en correspondencia con los números naturales. Hay infinitos que son más grandes que otros, pero no sólo eso, sino que son infinitamente más grandes.

Imagen | m. a. r. c. En Genciencia | Quiz Genciencia: infinitos