Las matemáticas, esa espina que tenemos clavada muchos estudiantes, es una disciplina esencial para entender la complejidad del mundo que nos rodea.

La Real Sociedad Matemática y la Fundación La Caixa organizan una nueva exposición que nos abre la imaginación al mundo de las matemáticas, “IMAGINARY. Una mirada matemática“.

La idea en la que se basa la exposición IMAGINARY consiste en, como bien indica su nombre, usar los componentes estéticos y visuales de las Matemáticas como estímulo para explicar a los visitantes el contenido matemático subyacente de una forma interactiva. Se ilustra lo imaginario e inimaginable de las Matemáticas, para lo que se recurre a imágenes que uno mismo puede crear.

Las ecuaciones nos permiten construir modelos matemáticos que nos ayudan a estudiar mejor la forma de las cosas. La figura de la imagen [x² + z² = y³ (1 – y)³] no es un limón. Es un modelo matemático que nos ayuda a entender mejor las propiedades de la forma que tiene el limón.

Visitando IMAGINARY te podrás dejar cautivar por sus figuras; participando en el diálogo entre geometría y álgebra, y explorando las propiedades de cada una de las formas. En sus ecuaciones aprenderás a encontrar simetrías o singularidades y descubrirás algunos misterios que esos conceptos involucran.

Asimismo, Cosmocaixa ofrece a los visitantes la posibilidad de descargarse el programa Surfer para seguir practicando en casa y poder convertir cualquier ecuación que se nos ocurra en una figura geométrica.

La exposición podrá visitarse en la sede de CosmoCaixa de Alcobendas (Madrid) hasta el 5 de junio de 2011.

Vía | CosmoCaixa Madrid

Algunos de nuestros lectores reclaman la demostración matemática del algoritmo de los campesinos rusos que publicamos ayer.

En realidad, lo que estamos haciendo es descomponer el número de la derecha en potencias de dos. En el ejemplo de ayer, teníamos 105×68. Si descomponemos 68 en potencias de dos, tenemos que 68 = 64 + 4 = 2^6 + 2^2. Como la multiplicación es distributiva, está claro que 105×68 = 105×(64+4) = 105×64 + 105×4.

¿Cómo se conecta esto con el algoritmo? Comencemos por la columna de la derecha. En la primera fila, si el número de la derecha es par, quiere decir que a la hora de descomponerlo en potencias de dos, no aparecerá 2^0 = 1, por eso lo tachamos. (En caso de que el número de la derecha fuese impar, sí que aparecería el 1 en su descomposición. Por ejemplo, 5 = 4 + 1 = 2^2 + 2^0).

Ahora pasamos a la segunda fila. A la derecha, hemos dividido todo por 2. Sigamos con nuestro ejemplo: si 68 = 2^6 + 2^2, al dividir por dos tenemos 34 = 2^5 + 2. Ahora llega el paso clave: si el sumando 2^0 = 1 apareciese al descomponer el número de la segunda fila, equivaldría a que el sumando 2^1 = 2 apareciese en la primera fila (donde tenemos el número original).

En nuestro ejemplo, 34 vuelve a ser par. Esto quiere decir que 2^0 no aparece al descomponer 34 en potencias de dos. Si multiplicamos por dos, equivale a decir que 2^1 no aparece al descomponer 68 (nuestro número original) en potencias de dos.

¿Seguís el hilo? bien, pasemos a la tercera fila. En este caso tenemos 17 = 2^4 + 2^0. Si deshacemos el camino andado y multiplicamos por 4, tenemos que 68 = 2^6 + 2^2. Es decir, como el sumando 1 aparece al descomponer 17, esto equivale a que el sumando 4 aparezca al descomponer 68 = 17×4.

A la hora de dividir por dos nuevamente, como ya hemos contado la influencia del sumando 1, lo restamos: 17 – 1 = 16, 16 / 2 = 8. Por eso se redondea a la baja. 8 vuelve a ser par, tachamos la fila. En la siguiente iteración, 4 es par, tachamos la fila. Una vez más, 2 es par, tachamos la fila. Al final del todo, en la sexta iteración, obtenemos 1, que es impar, lo cual quiere decir que en nuestro número original aparecerá 2^6 en su descomposición.

Ya hemos acabado con la columna de la derecha. En ella, hemos visto como 68 se descompone en 2^6 + 2^2, y por tanto nuestra multiplicación original se descompone de la siguiente forma: 105×68 = 105×(64+4) = 105×64 + 105×4 = 105×(2^6) + 105×(2^2).

¿Y qué hemos hecho en la columna de la izquierda? Pues precisamente ir multiplicando nuestro número original (105) sucesivamente por 2^0 = 1, 2^1 = 2, 2^2 = 4, etc. De modo que al final, cuando hemos descartado las filas que no nos interesan, precisamente nos ha quedado 105×(2^2) y 105×(2^6). Haciendo la suma, obtenemos el valor de la multiplicación original 105×68.

Demostración genérica

Para los que queráis una demostración matemática estricta, usaremos el principio de inducción (si no sabes lo que es, puedes dejar de leer aquí ;)). Denotemos A×B el producto de dos números naturales A y B usando el algoritmo habitual (la multiplicación de toda la vida con todas sus propiedades asociadas), y A*B el producto de dos números A y B usando el método de los campesinos rusos (sobre el cual a priori conocemos su ‘mecanismo’, pero no sus propiedades). Para B = 1, comprobamos que se cumple A×B = A*B, independientemente de cual sea el número A. Vamos a aplicar el principio de inducción sobre la variable B.

Supongamos la hipótesis de que para un B natural cualquiera se cumple 2A×[B/2] = 2A*[B/2]. ([n] denota la parte entera redondeando a la baja). Entonces, aplicando el algoritmo de los campesinos rusos, tenemos que

A*B = 2A*[B/2] + x, siendo x = A si B es impar, x = 0 si B es impar (!!).

Por otro lado, por las propias características de la multiplicación habitual, es inmediato que

A×B = 2A×[B/2] + x, siendo x = A si B es impar, x = 0 si B es par.

Como hemos supuesto 2A×[B/2] = 2A*[B/2], podemos extender nuestra hipótesis a que A×B = A*B.

Veamos ahora que si nuestra hipótesis es cierta para B, también lo es para B+1:

A*(B+1) = 2A*[(B+1)/2] + x, siendo x = A si B+1 es impar (es decir, si B es par) y x = 0 si B+1 es par (es decir, si B es impar).

Y aquí hemos hecho una pirueta muy interesante, atención: si B es par, resulta que al hacer A*B tenemos que x = 0, de modo que A*B = 2A*[B/2]. Ahora, al hacer A*(B+1) tenemos que x = A… ¡pero [(B+1)/2] = [B/2]! (ya que estamos redondeando a la baja). Es decir, que

A*(B+1) = A*B + A.

Por otro lado,

A×(B+1) = A×B + A.

Aquí no tenemos que demostrar nada ya que en la multiplicación tradicional damos por sentada la propiedad distributiva. Como en un principio hicimos la hipótesis A×B = A*B, resulta que

A*(B+1) = A*B + A = A×B + A = A×(B+1).

Aplicando el principio de inducción, hemos demostrado que para cualquier número natural par B, A×B = A*B, es decir, el algoritmo ruso es totalmente equivalente al tradicional. Para los B impares, la demostración es totalmente análoga, a partir de la ‘pirueta’ simplemente hay que considerar B impar y los resultados salen igual. Os lo dejo como ejercicio ;)

Y como no hemos impuesto restricciones sobre A, queda demostrado que para cualquier pareja de números naturales, el algoritmo de los campesinos rusos (al que hemos denotado como A*B) es totalmente equivalente a la operación tradicional de multiplicación, denotada por A×B.

Actualización: me acabo de dar cuenta de que la igualdad marcada con (!!) no es ni mucho menos inmediata y también requiere una explicación, ¿alguien se anima?. Recordad que el asterisco (*) no denota el producto habitual, sino el producto dado por el algoritmo de los campesinos rusos, de la que a priori no sabemos sus propiedades (precisamente el objetivo de la demostración es probar que en realidad la operación que hemos denotado como (*) equivale al producto de toda la vida).

El sistema de multiplicación que todos aprendimos en el colegio es el más habitual en todo el mundo desde que se extendió la numeración arábiga (el sistema decimal que usamos en la actualidad), sin embargo hay otros muchos métodos para obtener el resultado de la multiplicación.

Uno de los más conocidos es el llamado método de los campesinos rusos (o simplemente, de los campesinos), un sistema que podemos definir como “lento pero seguro”. Los únicos conocimientos requeridos son saber sumar, así como dividir y multiplicar por dos, sin saberse ninguna otra tabla de multiplicación.

Comenzamos escribiendo los dos multiplicandos al principio de sendas columnas. En la de la izquierda, iremos duplicando progresivamente el valor del número obtenido, y en la de la derecha iremos dividiendo por dos, redondeando a la baja cuando sea necesario.

Cuando en la columna de la derecha lleguemos al uno, detenemos el proceso. Entonces nos deshacemos de todas las filas para las cuales el número de la derecha sea par. Después sumamos todas las filas restantes de la columna izquierda, y obtenemos el resultado.

Lo ilustraremos con un ejemplo, 105×68 (las medidas estándar de un campo de fútbol). Comenzamos haciendo las columnas, da igual qué número pongamos a cada lado:

105 | 68
210 | 34
420 | 17
840 | 8
1680 | 4
3360 | 2
6720 | 1

Ahora tachamos todas las filas en las cuales el número de la derecha es par:

105 | 68
210 | 34
420 | 17
840 | 8
1680 | 4
3360 | 2
6720 | 1

Sumamos los valores restantes de la columna de la izquierda: 420 + 6720 = 7140, que es exactamente el valor de 105×68, es decir, el área en metros cuadrados de un campo de fútbol estándar.

Desde luego, no es el método más efectivo para hacer una multiplicación, pero es una buena demostración de que en matemáticas siempre hay más de un camino.

Imagen | Thomas Clavierole

Se define una matriz A de orden m x n, a una reunión de m x n elementos colocados en 'm' filas y 'n' columnas. Cada elemento que forma la matriz A se denota como aij donde i corresponde a la fila del elemento y j a la columna.

A continuación vemos algunos tipos de matrices:

La matriz traspuesta de A, denotada con At es la matriz obtenida a partir de cambiar las filas de A por columnas.

Se denomina matriz columna a la matriz que tiene m x 1 elementos, y se llama matriz fila a la matriz de 1 x m elementos.

A es una matriz cuadrada si el número de filas es igual al número columnas, es decir, n = m. Se dice, entonces que la matriz es de orden n. La diagonal principal de una matriz cuadrada es la formada por los elementos aii de la matriz.

La matriz nula es aquella matriz cuyos elementos son todos 0.

Se define la matriz identidad I como una matriz cuadrada que cumple la propiedad de ser el elemento neutro del producto de matrices, es decir, que el producto de cualquier matriz por la matriz identidad, siempre que ese producto esté definido, como otro día veremos, no tiene ningún efecto. En la matriz identidad, los elementos de la diagonal principal son 1, y los elementos fuera de la diagonal principal son 0.

Otro día veremos las operaciones que se pueden realizar con matrices, sus propiedades y sus aplicaciones.

Paul Adrien Maurice Dirac fue un físico inglés del siglo XX considerado un pionero en el campo de la física cuántica. Dirac es recordado como un genio excéntrico por sus ideales y sus brillantes intervenciones. Cuenta la historia que Dirac se encontraba en la Universidad de Göttingen, donde los físicos y matemáticos de la época jugaban a escribir todos los números del 1 al 100 usando todo tipo de operaciones algebraicas únicamente con el número 2. Por ejemplo para 1 tenemos 2/2, para 2 tenemos 2/1, para 3 tenemos 2^2 - (2/2), ... Cuando le plantearon el problema a Dirac dió como solución la siguiente ecuación

donde el número de radicales es igual al número dado N. Con esta solución general, se dejó de jugar en la Universidad de Göttingen.

Referencias | Històries de la Ciència Referencias | Wikipedia

Toda transformada wavelet considera una función (que se supone dependiente del tiempo) en términos de oscilaciones tanto en el tiempo como en la frecuencia. La transformada de Fourier descompone funciones (o señales como diría un ingeniero) en combinaciones lineales de funciones exponenciales. La función exponencial satisface unas simples ecuaciones diferenciales (f'(x) = f(x) y f''(x) = -f(x)). Con esto tenemos que para algunas aplicaciones es útil llevar wavelets a bloques básicos. Las wavelets de Daubechies están basadas en ecuaciones de dilatación, las cuales tienen la siguiente forma

Esto motiva a introducir una nueva clase de funciones, las cuales vamos a llamar temporalmente Funciones P-Di, que son soluciones de ecuaciones de la forma

donde c_k,j son polinomios de x. Introduce el operador doble T_x por T_xf(x) = f(2x).

Las Funciones P-Di son exactamente esas funciones Φ(x) que se encuentran canceladas por operadores de la forma P(T_x, E_x, x), donde E_x es el operador shift en x: E_xf(x) = f(x+1).

No tenemos que pararnos en una variable. Consideremos las funciones F(x,y) que son diholonómicas (una función holonómica satisface una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes polinómicos). Por ejemplo, satisface un sistema de dos ecuaciones independientes

P(x, T_x, E_x, y,T_y, E_y)F(x, y) = 0, Q(x, T_x, E_x, y,T_y, E_y)F(x, y) = 0

Entonces debe de ser posible efectuar la eliminación en el anillo K(x, T_x, E_x, y, E_y, T_y) para eliminar y, consiguiendo un operador R(x, T_x, E_x, T_y, E_y) independiente de y. Ahora, usando

podemos ver inmediatamente que

es anulado por el operador R(x, T_x, E_x, 1/2, 1), obtenido al sustituir E_y por 1 y T_y por 1/2. Por lo tanto a(x) es una Función P-Di de una sola variable.

Referencias | Wikipedia.org Referencias | M.Petkovšek, H.Wilf, A=B, 1997 Referencias | I.Daubechies Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets, 1988