¿Alguien en la sala podría decirme cual es el volumen de la figura resultante de unir los puntos medios de las caras de un cubo cuyo lado es de 3 cm? Muchas gracias 
Nota: Se recomienda no mirar los comentarios e intentar resolverlo, ya que el problema ha sido resuelto 
Resuelto por:
Palafox
Jiuck
juanki
Dios
Enrique
Ramón
Isabel Aguilera
Comentarios
pues sera (3x3x3)-(8x(1.5x1.5x1.5/2)= 13.5 cm3, la mitad del volumen del cubo total.
Según he calculado: 4,5u^3
Dividimos la figura interior en dos pirámides, calculamos los lados de la pirámide por pitágoras y obtenemos la altura dividiendo 3 entre dos, aplicamos la formula del área de la pirámide y me sale eso.
Imaginandome la figura en la cabeza creo que sería la mitad de volumen del cubo…
Salu2!!
Kaiser_v3 y Andrés estáis equivocados. Dibujad la figura para verlo mejor ;)
Palafox has dado en el clavo :)
Saludos!
Si no tiene trampa, es muy sencillo. Un problema de trigonometria base.
Un cuadrado tiene 6 caras, por lo que si tenemos que utilizar el centro de cada cara del cuadrado para construir otro poliedro, resultará un octaedro. Aplicando el teorema de pitágoras encontramos el valor de la arista, raíz de 4,5 y de ahí, aplicando la fórmula para octaedros, deducimos que el área que buscamos es de 4,5 centímetros cúbicos. ^^
Si unes los puntos medios de todas las caras, en teoría el volumen sería cero. Lo que decís anteriormente es en el caso en que tenga forma de diávolo (serían los puntos medios de las caras excluyendo como cara las bases)
francisco explícame eso de que si unimos los puntos medios de las caras de un cubo el volumen es nulo. No nos vayamos por los cerros de Úbeda… es un problema muy sencillo :)
Saludos!
El volumen de un octaedro inscrito es 1/4 del cubo.
Si imaginamos la solucion… tenemos un nuevo cubo.
Cojemos el cubo inicial y lo dividimos en 8 cubos de 1.5 x 1.5 cm.
La sección en un cubito de la nueva figura tendría un lado de 1.5 otro de 1.5 otro la hipotenusa de este triangulo y luego la altura. Pasando de rollos numéricos, con cuatro de estas figuras rellenamos el cubo, por lo que el volumen total sería de 1/4.
Esto es 3x3x3 cm / 4 lo que de por que en matemáticas siempre suspendí.
Y dejar de rallarme coño, que aunque me gusta me rallan estas cosas OSTIA.
Bueno donde digo cubo, quería decir priramide reflejada en el agua, y pese a pensar que mi solución es correcta, necesito que alguien me confirmer.
Y hablando en serio, por mi encantado de que pongais estas cosas.
Un Saludo.
Creo que la manera más sencilla de resolver el problema es proceder por sustracción, restando del volumen total del cubo (L^3) los ocho "recortes" de los ocho vértices del cubo con forma de pirámide de base triangular.
Cada uno de estos "recortes", siendo una pirámide de base un triángulo rectángulo de catetos L/2, tendría un volumen de (L^3)/48 (área de la base=(L^2)/8; altura=L/2).
Restando de L^3 (el volumen total del cubo) el volumen de los ocho recortes, que es (L^3)/6 (8*(L^3)/48), el resultado del volumen de la figura resultante será… tacháaaaan:
5*(L^3)/6
o lo que es lo mismo, para el valor de L=3 cm, el volumen del sólido resultante sería de 22.5 cm3.
Por cierto, el sólido resultante no es un octaedro, ni ningún otro poliedro regular, sino una figura inscrita en el cubo compuesta por catorce caras, seis caras cuadradas (de L/2 de lado), procedentes de cada cara del cubo, y ocho caras triangulares equiláteras de lado también L/2, procedentes de la sección o "recorte" de cada vértice.
guillermo "3x3x3 cm / 4" no es la respuesta correcta :)
fernando mh "22.5 cm3" tampoco es correcto.
Seguid intentándolo :)
Perdón, me acabo de dar cuenta de que el planteamiento era unir los puntos medios de las caras. Al hablar de "Puntos medios" he supuesto automáticamente que se trataba de los puntos medios de las aristas, no de las caras: estas cosas que pasan por no leer despacito el problema antes de ponerse a resolverlo… no escarmentaremos nunca ;-)
Rectificar es de sabios fernando mh. Y sí, muchas veces no leer bien los enunciado nos inducen a resolver otro problema distinto :)
Saludos e inténtalo de nuevo :)
Ya dije mas arriba que es 1/4 del volumen del cubo, asi que son 6,75cm3. El que quiera demostracion grafica que la pida, pero no creo que sea necesario.
No se puede reeditar los mensajes, asi que pongo este otro el valor es 6,75 pero hay que dividirlo por 3 y multiplicar por 2 asi que da 4.5cm3, el calculo grafico lo habia hecho dividiendo cubos pero un prisma triangular no se puede dividir en 2 por diagonales,sino que da 3/2 o 1/3
Estoy de acuerdo con Francisco cuando dice que el volumen podría ser nulo según la interpretación del problema.
Si suponemos que unimos los puntos medios de las caras opuestas lo único que conseguimos son tres aristas cruzadose en el centro del cubo. Volumen total 0.
Según creo que quieres plantear el problema deberías decir: el volumen inscrito por las aristas que se forman al unir los puntos medios de caras adyacentes del cubo. Entonces (creo que) la única interpretación posible sería que la que estás dando por buena.
Repito lo anterior, no irse por los cerros de Úbeda. El problema lo dice muy clarito: "la figura resultante de unir los puntos medios de las caras de un cubo". Los puntos medios de las caras de un cubo señores, no se habla de caras opuestas ni historias raras. En serio, es un problema muy sencillo.
Un saludo!
Exactamente. La figura formada es un octaedro que se divide en 2 pirámides de 3cm de base y 1.5cm de altura cada una, por lo que el resultado del volumen de la figura resultante es igual a 9cm (4.5 de cada pirámide).
Exactamente. La figura formada es un octaedro que se divide en 2 pirámides de 3cm de base y 1.5cm de altura cada una, por lo que el resultado del volumen de la figura resultante es igual a 9cm (4.5 de cada pirámide).
Oops, se puso doble
*Corrijo…no tomé en cuenta lo de los puntos medios. Si es así hay que obtener primero la longitud de la hipotenusa del triángulo formado uniendo los puntos medios de 2 lados por medio del teorema de Pitágoras, lo que nos da 2.121…cm La figura formada es un octaedro que se divide en 2 pirámides de 2.121…cm de base y 1.5cm de altura cada una, por lo que el resultado del volumen de la figura resultante es igual a 4.5cm^3 (2.25 de cada pirámide)………
Lo que se me hizo curioso es que el volumen de dicha figura es igual a el área de la base (el cuadrado formado uniendo los puntos medios) pero elevado ^n+1, es decir, que el área de la base ésta es de 4.5cm2, y el volumen de la figura es 4.5cm3; esto puede tener aplicaciones prácticas…
Yo creo lo siguiente: Distancia entre dos centros de caras contiguas: 2.1213 (aprox)que es el lado del cubo que buscamos (por que buscamos otro cubo), el volumen sera L^3, por tanto 2.1231^3=9.5456 (aprox).
Me encantan
cuando unes los puntos medios de las caras de un cubo, obtienes cuatro cubos mas pekeños, en este caso de 1.5 centimetros de lado, y pues cada uno tiene 3.375 cm3, eso seria la respuesta.
Creo que son 27 por que en ningun momento corta totalmente la pieza
Ups no pense lo siento….
Creo que debe ser la cuarta parte del vólumen del cubo que es su poliedro conjugado, es decir 6.75 centímetros cúbicos. La figura generada es un octaedro.
perdón, el resultado anterior se corresponde solo con la mitad del octaedro, el volumen sería el doble (13.5)
angelote no es correcto. Lee el probema bien :)
Saludos!
Vamos a ver, es muy facil: Unimos las caras desde su punto central y nos queda un nuevo cubo exactamente igual pero girado. Si el volumen de un cubo es arista al cubo, y nuestra nueva arista es arista original entre raiz de dos, pues calculamos eso al cubo, y nos salen 9,5 cm3.
Se forman dos pirámides de base cuadrada. El lado del cuadrado se obtiene por Pitágoras siendo la hipotenusa de un triángulo cuyo cateto es 1,5.
Resulta ser raiz de 4,5.
La superficie del cuadrado es hipotenusa al cuadrado, es decir 4,5 cm2.
Volumen de cada una de las dos pirámides: Sup de la base x 1/3 de la altura: 4,5 x 1/3 de 3/2.
Volumen de las dos pirámides:
4,5 x 1/3 x 3/2 x 2 = 4,5 cm3
(que resulta ser 1/6 del volumen del cubo)
La respuesta es 3.375
Rectificacion…si puedo…
La verdad es que lo pense muy rápido, demasiado rápido. El volumen buscado es el de un octaedro formado por dos piramides de lado 2.1213 (aprox)y de altura 1.5 [su volumen es ((2.1213^2)*1.5)/3]y que en total son 4.5 cm3 (las dos piramides).
La solución es 3,5 cm cúbicos
Después de pensarlo y dibujarlo, sin ser matemático creo que cero.
Feliz año
Perdón, el resultado es 4,5 cm3. Se forma un octaedro regular de arista la raiz cuadrada de 4,50. Si calculamos su volumen como el doble de una pirámide cuadrangular regular sería 2x(Abase x altura)/3. El área de la base es 4,5 y coincide con el valor del volumen del octaedro sólo en el caso de un cubo de arista 3. La altura de la pirámide es 1,5 por 2 es 3 que se anula con el 3 del denominador de la fórmula del volumen de la pirámide. Respondiendo a dios que pregunta si el que coincida el área de la base con el volumen del octaedro tendrá aplicaciones prácticas, que no sé si quiere decir si puede generalizarse de alguna forma.
pues no tengo el resultado pero creo que se hace asi:
los puntos medios de las caras deben ser el centro, entonces se unen los centros de todas las caras dandonos un cubo mas pequeño dentro del original. Para saber el tamaño del lado del cubo (Hipotenusa)pequeño se utiliza el teorema de pitagoras: Hipotenusa al cuadrado = 1.5 al cuadrado mas 1.5 al cuadrado, despues se saca el volumen del cubo cuyos lados son la hipotenusa…
A ver, tengo una dura, cual de estas dos figuras es la resultante? la primera son dos piramides unicas en sus bases y la segunda es una figura sin volumen pq sus caras estan acopladas, no hay volumen entre ellas
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