Existen ciertos problemas matemáticos donde es necesario usar herramientas matemáticas para resolverse rápidamente. Esto ocurre en problemas donde nos piden unos resultados que requieren una cantidad de operaciones aritméticas básicas previas bastante grandes (algunas excesivas). Para ello es importante conocer métodos o teoremas que nos ayudarán a resolverlos con sencillez. Hoy os voy a proponer un problema bastante curioso, donde estoy seguro que se generará respuestas bastante interesantes.
Sea 
, calcular y explicar el procedimiento:
a) 
b) 
Nota: Para el apartado b) no es necesario realizar 2005 productos matriciales.
Comentarios
no se si estará correcto, pero hice el algoritmo para M^2 y me dio que:
M := (a a)
(-a a)
…
M^n := (0 na^n)
(na^n 0)
Saludos!
No lo recuerdo muy bien pero, creo recordar que basta con calcular los primeros resultados de M^n, hasta que el primer resultado se repita, puesto que los resultados son cíclicos.
Igual se me ha ido la olla, las mates nunca fueron lo mío :P
Creo que lo he solucionado:
Enlace a la explicación
El método que dice Marc es el de inducción, no sé si se podría hacer para valores enteros de N, pero el método que he seguido yo es para cualquier valor de n real.
De todas formas,Alfonso Jimenez, te has pasado un poquitín con el problema, habría que saber matemáticas de nivel de ingeniería para sacar la solución bien.
Aunque ya digo… no sé si lo he hecho bien o me he ido por los cerros de úbeda que no tenían nada que ver…
Primeras potencias de M:
M^2=( 0 1)
(-1 0)
M^4=(-1 0)
(0 -1)
M^8=M^16=M^32=…=M^512=M^1024=(1 0)
(0 1)
M^2006=M^1024*M^512*M^256^*M^128*M^64*M^16*M^4*M^2
M^2006=(1 0)*M^4*M^2=(0 -1)
(0 1) (1 0)
si no me he equivocado.
Saludos y felicidades por vuestra web.
En mi comentario anterior, los paréntesis de las líneas inferiores salen desplazados. Para ver la matriz correctamente, hay que desplazarlos a la derecha, debajo de los de la línea superior.
Os equivocais en parte. Lo que habria que hacer es calcular la matriz reducida de gaus para hayar su inversa, luego calcular la matriz diagonal y la regular, y simplemente luego se aplica una ecuacion del tipo P^(−1)·M·P = D, se despejaba M,
M = P · D · P^(-1), y ahora lo unico que habria que hacer es elevar a 2005 o 2006, o la cifra deseada la matriz diagonal, con lo que hariamos muchisimos menos calculos
Victor Martin, eso estaría bien si la matriz tuviera autovalores reales y distintos, pero es que la matriz que tratamos tienen autovalores complejos, y el procedimiento es algo distinto. Lo he comprobado y mi solución es correcta que además, coincide con la de Ramon.
Palafox: Tu solución es correcta, pero hay otro método usando aritmética modular (usando M8 = I). La solución de Ramón está muy cerca, aunque se puede describir de una manera más rigurosa.
Saludos!
Estoy de acuerdo con Palafox, como M^8 = I, siendo I la matriz Unidad, y dado que se cumple que I*A=A*I =A, siendo A una matriz cualquiera, entonces:
M^2006= M^(250*8)*M^6=I*M^6=M^6
Como M^6=(0 -1)|(1 0), entonces
M^2006= (0 -1)|(1 0)
Saludos a todos.
Es sencillo tendiendo en cuenta que se trata de una matriz de rotación correspondiente a un ángulo de 45º en el sentido de las agujas del reloj. Las potencias de la matriz se corresponden con rotaciones de ese ángulo compuestas una detrás de otra.