Los números complejos son uno de esos casos en que un concepto puramente matemático, que podría parecer una mera entelequia, llega a ser poco menos que vital para nuestra descripción científica de la naturaleza.
Perdonadme aquellos que seáis unos maestros en su uso, pero para el resto voy a hacer un pequeño repaso de que diablo son estos números que llamamos complejos, pero que en realidad no son tan difíciles.
Si recordáis vuestra más tierna infancia, cuando aprendisteis a multiplicar, un/a esforzado docente usaba reglas nemotecnicas del estilo “menos por menos es más“. Y, por supuesto, “más por más también es más”.
Una interesante conclusión que sí multiplicamos un número por si mismo, es decir si lo elevamos al cuadrado, siempre sale positivo. Porque siempre será “menos por menos” o “más por más”. Elevando al cuadrado nunca tendremos el caso de “más por menos”, o al revés, que es el único que da negativo.
Dicho de otra forma, todos los números positivos tienen raíz cuadrada, pero los negativos no.
Vista esta situación, uno se siente tentado a imaginarse que pasaría si existiera un número cuyo cuadrado fuera negativo. Y como hemos tenido que imaginarnoslo, pues a ese número le llamamos imaginario. Pura lógica, no me lo negaréis.
Si a uno de estos números imaginarios lo multiplicamos por uno real, obtenemos otro número imaginario. El motivo es muy simple, al cuadrificar el número real siempre nos saldrá positivo; mientras que el imaginario siempre dará negativo. Por lo tanto al multiplicar los dos cuadrados estaremos en el caso más por menos, que es negativo. Pues eso, un real por un imaginario tiene cuadrado negativo, ergo es imaginario.
Esto último nos da la idea de que podemos definir un número imaginario básico, y obtener el resto simplemente multiplicándolo por todos los números reales. Esto es lo mismo que obtener todos los números reales como multiplicación de la unidad, por ejemplo 54 = 54·1.
Es decir, sólo necesitamos definir una especie de “uno imaginario“. Para no confundirlo con el uno real, suele denotarse por la letra i, de imaginario. Aunque algunos ingenieros usan la letra j, probablemente porque ya usan la vocal para referirse a la intensidad eléctrica. Su propiedad principal es que i2 = -1. Cualquier otro número imaginario se obtiene multiplicando un real por i, por ejemplo 54i.
Sin embargo, los números imaginarios tienen una propiedad que no gusta nada a los matemáticos. Y es que si multiplicando de ellos, se obtiene un número real (negativo, pero real). El ejemplo más claro, es i·i = -1. A ellos, tan estirados como siempre, les gusta que al aplicar una operación sobre un tipo de número, el resultado sea del mismo tipo. Y, en esto, los imaginarios fracasan.
Con éstas, dado que los imaginario se mezclan ellos solitos con los reales, parece una buena idea mezclarlos desde el principio. Lo que podemos hacer es sumar un número imaginario y uno real. Por ejemplo, 1 + 3i. Y a esta especie de monstruo híbrido se llama número complejo.
Y este tipo de número tiene las propiedades matemáticamente más robustas posibles. Le hagas lo que le hagas a un número complejo, nunca se queja. El resultado siempre es otro complejo.
En el fondo, para determinar un complejo, lo que hacemos es dar dos números reales, uno que va suelto y otro que va multiplicando la i. Eso recuerda mucho a las coordenadas en un plano, la parte real representaría la coordenada horizontal, mientras que la parte imaginaria la vertical. Ello nos da una útil interpretación geométrica de los números complejos.
Pero este es un blog de ciencia, no de mates; y el título promete que vamos a hablar de la naturaleza. Pues hagámoslo: Obviamente, nunca nos encontraremos un aparato de medida que arroje números complejos como resultado de una medición. ¿Alguien ha visto una cinta métrica o un cronómetro donde aparezca una i imaginaria?
Pero eso no significa que no sea útiles para la ciencia. Por ejemplo, porque muchos cálculos son más sencillos en el plano complejo que en la recta real.
Un caso de manifiesta utilidad es aquel en que los números complejos permiten tratar al unísono dos magnitudes relacionadas. Sin números complejos, deberíamos tratar ambas magnitudes por separado, es más fácil tener un complejo que dos reales, especialmente si la relación entre ambas variables es tal que permite aprovechar alguna de las propiedades especiales de los complejos.
Permitirme que use el ejemplo de la corriente eléctrica alterna, concretamente el voltaje o tensión. Nos interesan dos magnitudes, por un lado la tensión total, y por otro el retraso (o adelanto) temporal que dicho valor tiene respecto al ritmo normal de la corriente eléctrica.
Podemos expresar ambas cosas haciendo uso de la interpretación de los complejos como puntos en un plano. El valor total de la tensión se represente mediante la distancia desde cada punto del plano al origen (el punto central, por decir así).
El desfase temporal, por otra parte, se mide mediante la dirección en que el número complejo apunta. Si el ángulo complejo apunta en la dirección de 45º (un cuarto de vuelta) significa que el desfase es de un cuarto de ciclo. Así de fácil.
Este tipo de cosas se utilizan en infinidad de campos en ciencia e ingeniería. El ángulo de un número complejo es ideal para estudiar fenómenos periódicos, como oscilaciones y ondas.
Yendo un poco más lejos, pero enlazado con las ondas que acabo de mencionar, el uso de complejos es vital para la mecánica cuántica, nuestra gran amiga que describe todo lo que es demasiado pequeño. Esto es porque, como sabéis, la cuántica tiene una gran predilección por todo lo ondulatorio. Quizá dedique un día a explicar el motivo, por hoy basta por recordar que tenemos la función de onda, la dualidad onda-corpuscular y que Schödinger decía que la suya era una ecuación se ondas.
Por este íntimo matrimonio ente ondas y cuántica, y como hemos dicho que los complejos son candidatos naturales a describir cualquier cosa oscilan, resulta que la cuántica hace uso innato de los números complejos. Sin duda, la letra que uno más escribe cuando está calculando algo cuántico es la i.
O, lo que es lo mismo, la naturaleza en si es puramente, y simplemente, compleja.
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